MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsreval Structured version   Unicode version

Theorem xrsdsreval 18948
Description: The metric of the extended real number structure coincides with the real number metric on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsds.d  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
Assertion
Ref Expression
xrsdsreval  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A D B )  =  ( abs `  ( A  -  B
) ) )

Proof of Theorem xrsdsreval
StepHypRef Expression
1 rexr 9685 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9685 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrsds.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
43xrsdsval 18947 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A D B )  =  if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e
B ) ) )
51, 2, 4syl2an 479 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A D B )  =  if ( A  <_  B , 
( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e B ) ) )
6 rexsub 11526 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B +e  -e A )  =  ( B  -  A
) )
76ancoms 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B +e  -e A )  =  ( B  -  A
) )
87adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( B +e  -e A )  =  ( B  -  A ) )
9 abssuble0 13370 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( abs `  ( A  -  B ) )  =  ( B  -  A
) )
1093expa 1205 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  =  ( B  -  A ) )
118, 10eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( B +e  -e A )  =  ( abs `  ( A  -  B
) ) )
12 rexsub 11526 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e  -e B )  =  ( A  -  B
) )
1312adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  -.  A  <_  B )  ->  ( A +e  -e
B )  =  ( A  -  B ) )
14 letric 9733 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
1514orcanai 921 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  -.  A  <_  B )  ->  B  <_  A )
16 abssubge0 13369 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  <_  A )  ->  ( abs `  ( A  -  B ) )  =  ( A  -  B
) )
17163com12 1209 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  <_  A )  ->  ( abs `  ( A  -  B ) )  =  ( A  -  B
) )
18173expa 1205 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <_  A
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  =  ( A  -  B ) )
1915, 18syldan 472 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  -.  A  <_  B )  ->  ( abs `  ( A  -  B ) )  =  ( A  -  B
) )
2013, 19eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  -.  A  <_  B )  ->  ( A +e  -e
B )  =  ( abs `  ( A  -  B ) ) )
2111, 20ifeqda 3948 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e
B ) )  =  ( abs `  ( A  -  B )
) )
225, 21eqtrd 2470 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A D B )  =  ( abs `  ( A  -  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   ifcif 3915   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   RR*cxr 9673    <_ cle 9675    - cmin 9859    -ecxne 11406   +ecxad 11407   abscabs 13276   distcds 15161   RR*scxrs 15357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-xrs 15359
This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  18950  metrtri  21303  xrsxmet  21738  xrsdsre  21739
  Copyright terms: Public domain W3C validator