MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsreclb Structured version   Unicode version

Theorem xrsdsreclb 18783
Description: The metric of the extended real number structure is only real when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsds.d  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
Assertion
Ref Expression
xrsdsreclb  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/= 
B )  ->  (
( A D B )  e.  RR  <->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )

Proof of Theorem xrsdsreclb
StepHypRef Expression
1 xrsds.d . . . . . 6  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
21xrsdsval 18780 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A D B )  =  if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e
B ) ) )
323adant3 1017 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/= 
B )  ->  ( A D B )  =  if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e
B ) ) )
43eleq1d 2471 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/= 
B )  ->  (
( A D B )  e.  RR  <->  if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e B ) )  e.  RR ) )
5 eleq1 2474 . . . . 5  |-  ( ( B +e  -e A )  =  if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e
B ) )  -> 
( ( B +e  -e A )  e.  RR  <->  if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e B ) )  e.  RR ) )
65imbi1d 315 . . . 4  |-  ( ( B +e  -e A )  =  if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e
B ) )  -> 
( ( ( B +e  -e
A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  <->  ( if ( A  <_  B , 
( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
7 eleq1 2474 . . . . 5  |-  ( ( A +e  -e B )  =  if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e
B ) )  -> 
( ( A +e  -e B )  e.  RR  <->  if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e B ) )  e.  RR ) )
87imbi1d 315 . . . 4  |-  ( ( A +e  -e B )  =  if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e
B ) )  -> 
( ( ( A +e  -e
B )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  <->  ( if ( A  <_  B , 
( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) ) )
91xrsdsreclblem 18782 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/=  B )  /\  A  <_  B )  ->  (
( B +e  -e A )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
10 xrletri 11409 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
11103adant3 1017 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/= 
B )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
1211orcanai 914 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/=  B )  /\  -.  A  <_  B )  ->  B  <_  A )
13 necom 2672 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
14133anbi3i 1190 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/= 
B )  <->  ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  B  =/=  A ) )
15 3ancoma 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  =/= 
A )  <->  ( B  e.  RR*  /\  A  e. 
RR*  /\  B  =/=  A ) )
1614, 15bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/= 
B )  <->  ( B  e.  RR*  /\  A  e. 
RR*  /\  B  =/=  A ) )
171xrsdsreclblem 18782 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  B  =/=  A )  /\  B  <_  A )  ->  (
( A +e  -e B )  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR ) ) )
1816, 17sylanb 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/=  B )  /\  B  <_  A )  ->  (
( A +e  -e B )  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR ) ) )
19 ancom 448 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  <->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )
)
2018, 19syl6ib 226 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/=  B )  /\  B  <_  A )  ->  (
( A +e  -e B )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
2112, 20syldan 468 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/=  B )  /\  -.  A  <_  B )  -> 
( ( A +e  -e B )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
226, 8, 9, 21ifbothda 3919 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/= 
B )  ->  ( if ( A  <_  B ,  ( B +e  -e A ) ,  ( A +e  -e B ) )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )
) )
234, 22sylbid 215 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/= 
B )  ->  (
( A D B )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )
) )
241xrsdsreval 18781 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A D B )  =  ( abs `  ( A  -  B
) ) )
25 recn 9611 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
26 recn 9611 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
27 subcl 9854 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
2825, 26, 27syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
2928abscld 13414 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
3024, 29eqeltrd 2490 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A D B )  e.  RR )
3123, 30impbid1 203 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  =/= 
B )  ->  (
( A D B )  e.  RR  <->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   ifcif 3884   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520   RR*cxr 9656    <_ cle 9658    - cmin 9840    -ecxne 11367   +ecxad 11368   abscabs 13214   distcds 14916   RR*scxrs 15112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-fz 11725  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-xrs 15114
This theorem is referenced by:  xrsxmet  21604  xrsblre  21606  xrsmopn  21607
  Copyright terms: Public domain W3C validator