MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsds Structured version   Unicode version

Theorem xrsds 17967
Description: The metric of the extended real number structure. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsds.d  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
Assertion
Ref Expression
xrsds  |-  D  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)

Proof of Theorem xrsds
StepHypRef Expression
1 xrsds.d . 2  |-  D  =  ( dist `  RR*s
)
2 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  e. 
RR* )
3 xnegcl 11286 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  -e
x  e.  RR* )
4 xaddcl 11310 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  -e
x  e.  RR* )  ->  ( y +e  -e x )  e. 
RR* )
52, 3, 4syl2anr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y +e  -e x )  e. 
RR* )
6 xnegcl 11286 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  -e
y  e.  RR* )
7 xaddcl 11310 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  -e
y  e.  RR* )  ->  ( x +e  -e y )  e. 
RR* )
86, 7sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x +e  -e y )  e. 
RR* )
9 ifcl 3931 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y +e  -e x )  e. 
RR*  /\  ( x +e  -e y )  e.  RR* )  ->  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  e.  RR* )
105, 8, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  e.  RR* )
1110rgen2a 2892 . . . . 5  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) )  e.  RR*
12 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR* ,  y  e. 
RR*  |->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )  =  ( x  e.  RR* ,  y  e. 
RR*  |->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )
1312fmpt2 6743 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) )  e.  RR*  <->  ( x  e. 
RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_ 
y ,  ( y +e  -e
x ) ,  ( x +e  -e y ) ) ) : ( RR*  X. 
RR* ) --> RR* )
1411, 13mpbi 208 . . . 4  |-  ( x  e.  RR* ,  y  e. 
RR*  |->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) ) : ( RR*  X. 
RR* ) --> RR*
15 xrex 11091 . . . . 5  |-  RR*  e.  _V
1615, 15xpex 6610 . . . 4  |-  ( RR*  X. 
RR* )  e.  _V
17 fex2 6634 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) ) : ( RR*  X. 
RR* ) --> RR*  /\  ( RR*  X.  RR* )  e.  _V  /\ 
RR*  e.  _V )  ->  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )  e.  _V )
1814, 16, 15, 17mp3an 1315 . . 3  |-  ( x  e.  RR* ,  y  e. 
RR*  |->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )  e.  _V
19 df-xrs 14544 . . . 4  |-  RR*s 
=  ( { <. (
Base `  ndx ) , 
RR* >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +e >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  xe >. }  u.  {
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  <_  ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) ) >. } )
2019odrngds 14455 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )  e.  _V  ->  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )  =  ( dist `  RR*s ) )
2118, 20ax-mp 5 . 2  |-  ( x  e.  RR* ,  y  e. 
RR*  |->  if ( x  <_  y ,  ( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )  =  ( dist `  RR*s )
221, 21eqtr4i 2483 1  |-  D  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3070   ifcif 3891   class class class wbr 4392    X. cxp 4938   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    |-> cmpt2 6194   RR*cxr 9520    <_ cle 9522    -ecxne 11189   +ecxad 11190   xecxmu 11191   distcds 14351  ordTopcordt 14541   RR*scxrs 14542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-xrs 14544
This theorem is referenced by:  xrsdsval  17968  xrsxmet  20504
  Copyright terms: Public domain W3C validator