Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrsclat Structured version   Unicode version

Theorem xrsclat 26160
Description: The extended real numbers form a complete lattice. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrsclat  |-  RR*s 
e.  CLat

Proof of Theorem xrsclat
Dummy variables  a 
b  c  d  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrstos 26159 . . 3  |-  RR*s 
e. Toset
2 tospos 26138 . . 3  |-  ( RR*s  e. Toset  ->  RR*s 
e.  Poset )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  RR*s 
e.  Poset
4 xrsbas 17851 . . . . . 6  |-  RR*  =  ( Base `  RR*s )
5 xrsle 17855 . . . . . 6  |-  <_  =  ( le `  RR*s
)
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( lub `  RR*s )  =  ( lub `  RR*s
)
7 biid 236 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c ) )  <->  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) )
84, 5, 6, 7, 2lubdm 15168 . . . . 5  |-  ( RR*s  e. Toset  ->  dom  ( lub `  RR*s )  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) } )
91, 8ax-mp 5 . . . 4  |-  dom  ( lub `  RR*s )  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) }
10 rabid2 2917 . . . . 5  |-  ( ~P
RR*  =  { x  e.  ~P RR*  |  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) }  <->  A. x  e.  ~P  RR* E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) )
11 selpw 3886 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P RR*  <->  x  C_  RR* )
12 xrltso 11137 . . . . . . . . 9  |-  <  Or  RR*
1312a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  RR*  ->  <  Or  RR* )
14 xrsupss 11290 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E. a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b  < 
a  ->  E. d  e.  x  b  <  d ) ) )
1513, 14supeu 7723 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b  < 
a  ->  E. d  e.  x  b  <  d ) ) )
16 xrslt 26156 . . . . . . . . 9  |-  <  =  ( lt `  RR*s
)
171a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  RR*  ->  RR*s  e. Toset
)
18 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  RR*  ->  x  C_  RR* )
194, 16, 17, 18, 5toslublem 26147 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c ) )  <->  ( A. b  e.  x  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b  <  a  ->  E. d  e.  x  b  <  d ) ) ) )
2019reubidva 2923 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  RR*  ->  ( E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) )  <->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b  < 
a  ->  E. d  e.  x  b  <  d ) ) ) )
2115, 20mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) )
2211, 21sylbi 195 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c ) ) )
2310, 22mprgbir 2805 . . . 4  |-  ~P RR*  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) }
249, 23eqtr4i 2466 . . 3  |-  dom  ( lub `  RR*s )  =  ~P RR*
25 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( glb `  RR*s )  =  ( glb `  RR*s
)
26 biid 236 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a ) )  <->  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) )
274, 5, 25, 26, 2glbdm 15181 . . . . 5  |-  ( RR*s  e. Toset  ->  dom  ( glb `  RR*s )  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) } )
281, 27ax-mp 5 . . . 4  |-  dom  ( glb `  RR*s )  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) }
29 rabid2 2917 . . . . 5  |-  ( ~P
RR*  =  { x  e.  ~P RR*  |  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) }  <->  A. x  e.  ~P  RR* E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) )
30 cnvso 5395 . . . . . . . . . 10  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
3112, 30mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  `'  <  Or 
RR*
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  RR*  ->  `'  <  Or 
RR* )
33 xrinfmss2 11292 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E. a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a `'  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b `'  <  a  ->  E. d  e.  x  b `'  <  d ) ) )
3432, 33supeu 7723 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a `'  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b `'  <  a  ->  E. d  e.  x  b `'  <  d ) ) )
354, 16, 17, 18, 5tosglblem 26149 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a ) )  <->  ( A. b  e.  x  -.  a `'  <  b  /\  A. b  e.  RR*  (
b `'  <  a  ->  E. d  e.  x  b `'  <  d ) ) ) )
3635reubidva 2923 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  RR*  ->  ( E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) )  <->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a `'  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b `'  <  a  ->  E. d  e.  x  b `'  <  d ) ) ) )
3734, 36mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) )
3811, 37sylbi 195 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a ) ) )
3929, 38mprgbir 2805 . . . 4  |-  ~P RR*  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) }
4028, 39eqtr4i 2466 . . 3  |-  dom  ( glb `  RR*s )  =  ~P RR*
4124, 40pm3.2i 455 . 2  |-  ( dom  ( lub `  RR*s
)  =  ~P RR*  /\ 
dom  ( glb `  RR*s
)  =  ~P RR* )
424, 6, 25isclat 15298 . 2  |-  ( RR*s  e.  CLat  <->  ( RR*s  e.  Poset  /\  ( dom  ( lub `  RR*s
)  =  ~P RR*  /\ 
dom  ( glb `  RR*s
)  =  ~P RR* ) ) )
433, 41, 42mpbir2an 911 1  |-  RR*s 
e.  CLat
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2734   E.wrex 2735   E!wreu 2736   {crab 2738    C_ wss 3347   ~Pcpw 3879   class class class wbr 4311    Or wor 4659   `'ccnv 4858   dom cdm 4859   ` cfv 5437   RR*cxr 9436    < clt 9437    <_ cle 9438   RR*scxrs 14457   Posetcpo 15129   lubclub 15131   glbcglb 15132  Tosetctos 15222   CLatccla 15296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-fz 11457  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-xrs 14459  df-poset 15135  df-plt 15147  df-lub 15163  df-glb 15164  df-toset 15223  df-clat 15297
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator