Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrsclat Structured version   Unicode version

Theorem xrsclat 27820
Description: The extended real numbers form a complete lattice. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrsclat  |-  RR*s 
e.  CLat

Proof of Theorem xrsclat
Dummy variables  a 
b  c  d  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrstos 27819 . . 3  |-  RR*s 
e. Toset
2 tospos 27798 . . 3  |-  ( RR*s  e. Toset  ->  RR*s 
e.  Poset )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  RR*s 
e.  Poset
4 xrsbas 18560 . . . . . 6  |-  RR*  =  ( Base `  RR*s )
5 xrsle 18564 . . . . . 6  |-  <_  =  ( le `  RR*s
)
6 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( lub `  RR*s )  =  ( lub `  RR*s
)
7 biid 236 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c ) )  <->  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) )
84, 5, 6, 7, 2lubdm 15735 . . . . 5  |-  ( RR*s  e. Toset  ->  dom  ( lub `  RR*s )  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) } )
91, 8ax-mp 5 . . . 4  |-  dom  ( lub `  RR*s )  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) }
10 rabid2 3035 . . . . 5  |-  ( ~P
RR*  =  { x  e.  ~P RR*  |  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) }  <->  A. x  e.  ~P  RR* E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) )
11 selpw 4022 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P RR*  <->  x  C_  RR* )
12 xrltso 11372 . . . . . . . . 9  |-  <  Or  RR*
1312a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  RR*  ->  <  Or  RR* )
14 xrsupss 11525 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E. a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b  < 
a  ->  E. d  e.  x  b  <  d ) ) )
1513, 14supeu 7931 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b  < 
a  ->  E. d  e.  x  b  <  d ) ) )
16 xrslt 27816 . . . . . . . . 9  |-  <  =  ( lt `  RR*s
)
171a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  RR*  ->  RR*s  e. Toset
)
18 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  RR*  ->  x  C_  RR* )
194, 16, 17, 18, 5toslublem 27807 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c ) )  <->  ( A. b  e.  x  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b  <  a  ->  E. d  e.  x  b  <  d ) ) ) )
2019reubidva 3041 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  RR*  ->  ( E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) )  <->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b  < 
a  ->  E. d  e.  x  b  <  d ) ) ) )
2115, 20mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) )
2211, 21sylbi 195 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c ) ) )
2310, 22mprgbir 2821 . . . 4  |-  ~P RR*  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) }
249, 23eqtr4i 2489 . . 3  |-  dom  ( lub `  RR*s )  =  ~P RR*
25 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( glb `  RR*s )  =  ( glb `  RR*s
)
26 biid 236 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a ) )  <->  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) )
274, 5, 25, 26, 2glbdm 15748 . . . . 5  |-  ( RR*s  e. Toset  ->  dom  ( glb `  RR*s )  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) } )
281, 27ax-mp 5 . . . 4  |-  dom  ( glb `  RR*s )  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) }
29 rabid2 3035 . . . . 5  |-  ( ~P
RR*  =  { x  e.  ~P RR*  |  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) }  <->  A. x  e.  ~P  RR* E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) )
30 cnvso 5552 . . . . . . . . . 10  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
3112, 30mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  `'  <  Or 
RR*
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  RR*  ->  `'  <  Or 
RR* )
33 xrinfmss2 11527 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E. a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a `'  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b `'  <  a  ->  E. d  e.  x  b `'  <  d ) ) )
3432, 33supeu 7931 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a `'  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b `'  <  a  ->  E. d  e.  x  b `'  <  d ) ) )
354, 16, 17, 18, 5tosglblem 27809 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a ) )  <->  ( A. b  e.  x  -.  a `'  <  b  /\  A. b  e.  RR*  (
b `'  <  a  ->  E. d  e.  x  b `'  <  d ) ) ) )
3635reubidva 3041 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  RR*  ->  ( E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) )  <->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a `'  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b `'  <  a  ->  E. d  e.  x  b `'  <  d ) ) ) )
3734, 36mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) )
3811, 37sylbi 195 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a ) ) )
3929, 38mprgbir 2821 . . . 4  |-  ~P RR*  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) }
4028, 39eqtr4i 2489 . . 3  |-  dom  ( glb `  RR*s )  =  ~P RR*
4124, 40pm3.2i 455 . 2  |-  ( dom  ( lub `  RR*s
)  =  ~P RR*  /\ 
dom  ( glb `  RR*s
)  =  ~P RR* )
424, 6, 25isclat 15865 . 2  |-  ( RR*s  e.  CLat  <->  ( RR*s  e.  Poset  /\  ( dom  ( lub `  RR*s
)  =  ~P RR*  /\ 
dom  ( glb `  RR*s
)  =  ~P RR* ) ) )
433, 41, 42mpbir2an 920 1  |-  RR*s 
e.  CLat
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   E!wreu 2809   {crab 2811    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456    Or wor 4808   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ` cfv 5594   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   RR*scxrs 14916   Posetcpo 15695   lubclub 15697   glbcglb 15698  Tosetctos 15789   CLatccla 15863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-xrs 14918  df-preset 15683  df-poset 15701  df-plt 15714  df-lub 15730  df-glb 15731  df-toset 15790  df-clat 15864
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator