Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrsclat Structured version   Unicode version

Theorem xrsclat 27427
Description: The extended real numbers form a complete lattice. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrsclat  |-  RR*s 
e.  CLat

Proof of Theorem xrsclat
Dummy variables  a 
b  c  d  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrstos 27426 . . 3  |-  RR*s 
e. Toset
2 tospos 27405 . . 3  |-  ( RR*s  e. Toset  ->  RR*s 
e.  Poset )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  RR*s 
e.  Poset
4 xrsbas 18245 . . . . . 6  |-  RR*  =  ( Base `  RR*s )
5 xrsle 18249 . . . . . 6  |-  <_  =  ( le `  RR*s
)
6 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( lub `  RR*s )  =  ( lub `  RR*s
)
7 biid 236 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c ) )  <->  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) )
84, 5, 6, 7, 2lubdm 15469 . . . . 5  |-  ( RR*s  e. Toset  ->  dom  ( lub `  RR*s )  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) } )
91, 8ax-mp 5 . . . 4  |-  dom  ( lub `  RR*s )  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) }
10 rabid2 3039 . . . . 5  |-  ( ~P
RR*  =  { x  e.  ~P RR*  |  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) }  <->  A. x  e.  ~P  RR* E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) )
11 selpw 4017 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P RR*  <->  x  C_  RR* )
12 xrltso 11348 . . . . . . . . 9  |-  <  Or  RR*
1312a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  RR*  ->  <  Or  RR* )
14 xrsupss 11501 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E. a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b  < 
a  ->  E. d  e.  x  b  <  d ) ) )
1513, 14supeu 7915 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b  < 
a  ->  E. d  e.  x  b  <  d ) ) )
16 xrslt 27423 . . . . . . . . 9  |-  <  =  ( lt `  RR*s
)
171a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  RR*  ->  RR*s  e. Toset
)
18 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  RR*  ->  x  C_  RR* )
194, 16, 17, 18, 5toslublem 27414 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c ) )  <->  ( A. b  e.  x  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b  <  a  ->  E. d  e.  x  b  <  d ) ) ) )
2019reubidva 3045 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  RR*  ->  ( E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) )  <->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b  < 
a  ->  E. d  e.  x  b  <  d ) ) ) )
2115, 20mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) )
2211, 21sylbi 195 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c ) ) )
2310, 22mprgbir 2828 . . . 4  |-  ~P RR*  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  a  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  b  <_  c  ->  a  <_  c
) ) }
249, 23eqtr4i 2499 . . 3  |-  dom  ( lub `  RR*s )  =  ~P RR*
25 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( glb `  RR*s )  =  ( glb `  RR*s
)
26 biid 236 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a ) )  <->  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) )
274, 5, 25, 26, 2glbdm 15482 . . . . 5  |-  ( RR*s  e. Toset  ->  dom  ( glb `  RR*s )  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) } )
281, 27ax-mp 5 . . . 4  |-  dom  ( glb `  RR*s )  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) }
29 rabid2 3039 . . . . 5  |-  ( ~P
RR*  =  { x  e.  ~P RR*  |  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) }  <->  A. x  e.  ~P  RR* E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) )
30 cnvso 5546 . . . . . . . . . 10  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
3112, 30mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  `'  <  Or 
RR*
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  RR*  ->  `'  <  Or 
RR* )
33 xrinfmss2 11503 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E. a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a `'  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b `'  <  a  ->  E. d  e.  x  b `'  <  d ) ) )
3432, 33supeu 7915 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a `'  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b `'  <  a  ->  E. d  e.  x  b `'  <  d ) ) )
354, 16, 17, 18, 5tosglblem 27416 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a ) )  <->  ( A. b  e.  x  -.  a `'  <  b  /\  A. b  e.  RR*  (
b `'  <  a  ->  E. d  e.  x  b `'  <  d ) ) ) )
3635reubidva 3045 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  RR*  ->  ( E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) )  <->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  -.  a `'  <  b  /\  A. b  e.  RR*  ( b `'  <  a  ->  E. d  e.  x  b `'  <  d ) ) ) )
3734, 36mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) )
3811, 37sylbi 195 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P RR*  ->  E! a  e.  RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e.  RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a ) ) )
3929, 38mprgbir 2828 . . . 4  |-  ~P RR*  =  { x  e.  ~P RR* 
|  E! a  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  a  <_  b  /\  A. c  e. 
RR*  ( A. b  e.  x  c  <_  b  ->  c  <_  a
) ) }
4028, 39eqtr4i 2499 . . 3  |-  dom  ( glb `  RR*s )  =  ~P RR*
4124, 40pm3.2i 455 . 2  |-  ( dom  ( lub `  RR*s
)  =  ~P RR*  /\ 
dom  ( glb `  RR*s
)  =  ~P RR* )
424, 6, 25isclat 15599 . 2  |-  ( RR*s  e.  CLat  <->  ( RR*s  e.  Poset  /\  ( dom  ( lub `  RR*s
)  =  ~P RR*  /\ 
dom  ( glb `  RR*s
)  =  ~P RR* ) ) )
433, 41, 42mpbir2an 918 1  |-  RR*s 
e.  CLat
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   E!wreu 2816   {crab 2818    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447    Or wor 4799   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ` cfv 5588   RR*cxr 9628    < clt 9629    <_ cle 9630   RR*scxrs 14758   Posetcpo 15430   lubclub 15432   glbcglb 15433  Tosetctos 15523   CLatccla 15597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-xrs 14760  df-poset 15436  df-plt 15448  df-lub 15464  df-glb 15465  df-toset 15524  df-clat 15598
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator