MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsadd Structured version   Unicode version

Theorem xrsadd 17959
Description: The addition operation of the extended real number structure. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrsadd  |-  +e 
=  ( +g  `  RR*s
)

Proof of Theorem xrsadd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xaddf 11306 . . 3  |-  +e : ( RR*  X.  RR* )
--> RR*
2 xrex 11100 . . . 4  |-  RR*  e.  _V
32, 2xpex 6619 . . 3  |-  ( RR*  X. 
RR* )  e.  _V
4 fex2 6643 . . 3  |-  ( ( +e : (
RR*  X.  RR* ) --> RR* 
/\  ( RR*  X.  RR* )  e.  _V  /\  RR*  e.  _V )  ->  +e  e.  _V )
51, 3, 2, 4mp3an 1315 . 2  |-  +e 
e.  _V
6 df-xrs 14560 . . 3  |-  RR*s 
=  ( { <. (
Base `  ndx ) , 
RR* >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +e >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  xe >. }  u.  {
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  <_  ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y +e  -e x ) ,  ( x +e  -e y ) ) ) >. } )
76odrngplusg 14467 . 2  |-  ( +e  e.  _V  ->  +e  =  ( +g  ` 
RR*s ) )
85, 7ax-mp 5 1  |-  +e 
=  ( +g  `  RR*s
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   ifcif 3900   class class class wbr 4401    X. cxp 4947   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    |-> cmpt2 6203   RR*cxr 9529    <_ cle 9531    -ecxne 11198   +ecxad 11199   xecxmu 11200   +g cplusg 14358  ordTopcordt 14557   RR*scxrs 14558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-xadd 11202  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-xrs 14560
This theorem is referenced by:  xrs1mnd  17977  xrs10  17978  xrs1cmn  17979  xrge0subm  17980  imasdsf1olem  20081  xrge0gsumle  20543  xrs0  26282  xrsinvgval  26284  xrsmulgzz  26285  xrge0plusg  26294  xrge0tmdOLD  26521  esumpfinvallem  26669
  Copyright terms: Public domain W3C validator