MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrs1mnd Structured version   Unicode version

Theorem xrs1mnd 18654
Description: The extended real numbers, restricted to  RR*  \  { -oo }, form a monoid - in contrast to the full structure, see xrsmgmdifsgrp 18653. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
xrs1mnd.1  |-  R  =  ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )
Assertion
Ref Expression
xrs1mnd  |-  R  e. 
Mnd

Proof of Theorem xrs1mnd
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3617 . . . 4  |-  ( RR*  \  { -oo } ) 
C_  RR*
2 xrs1mnd.1 . . . . 5  |-  R  =  ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )
3 xrsbas 18632 . . . . 5  |-  RR*  =  ( Base `  RR*s )
42, 3ressbas2 14777 . . . 4  |-  ( (
RR*  \  { -oo }
)  C_  RR*  ->  ( RR*  \  { -oo }
)  =  ( Base `  R ) )
51, 4mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  ( RR*  \  { -oo } )  =  ( Base `  R ) )
6 xrex 11218 . . . . 5  |-  RR*  e.  _V
7 difexg 4585 . . . . 5  |-  ( RR*  e.  _V  ->  ( RR*  \  { -oo } )  e.  _V )
86, 7ax-mp 5 . . . 4  |-  ( RR*  \  { -oo } )  e.  _V
9 xrsadd 18633 . . . . 5  |-  +e 
=  ( +g  `  RR*s
)
102, 9ressplusg 14833 . . . 4  |-  ( (
RR*  \  { -oo }
)  e.  _V  ->  +e  =  ( +g  `  R ) )
118, 10mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  +e  =  ( +g  `  R ) )
12 eldifsn 4141 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  <->  ( x  e.  RR*  /\  x  =/= -oo ) )
13 eldifsn 4141 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( RR*  \  { -oo } )  <->  ( y  e.  RR*  /\  y  =/= -oo ) )
14 xaddcl 11439 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x +e y )  e.  RR* )
1514ad2ant2r 744 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  x  =/= -oo )  /\  ( y  e.  RR*  /\  y  =/= -oo )
)  ->  ( x +e y )  e.  RR* )
16 xaddnemnf 11436 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  x  =/= -oo )  /\  ( y  e.  RR*  /\  y  =/= -oo )
)  ->  ( x +e y )  =/= -oo )
17 eldifsn 4141 . . . . . 6  |-  ( ( x +e y )  e.  ( RR*  \  { -oo } )  <-> 
( ( x +e y )  e. 
RR*  /\  ( x +e y )  =/= -oo ) )
1815, 16, 17sylanbrc 662 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  x  =/= -oo )  /\  ( y  e.  RR*  /\  y  =/= -oo )
)  ->  ( x +e y )  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )
1912, 13, 18syl2anb 477 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  /\  y  e.  (
RR*  \  { -oo }
) )  ->  (
x +e y )  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )
20193adant1 1012 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  /\  y  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )  ->  (
x +e y )  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )
21 eldifsn 4141 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( RR*  \  { -oo } )  <->  ( z  e.  RR*  /\  z  =/= -oo ) )
22 xaddass 11444 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  x  =/= -oo )  /\  ( y  e.  RR*  /\  y  =/= -oo )  /\  ( z  e.  RR*  /\  z  =/= -oo )
)  ->  ( (
x +e y ) +e z )  =  ( x +e ( y +e z ) ) )
2312, 13, 21, 22syl3anb 1269 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  /\  y  e.  (
RR*  \  { -oo }
)  /\  z  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )  ->  (
( x +e
y ) +e
z )  =  ( x +e ( y +e z ) ) )
2423adantl 464 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  /\  y  e.  ( RR*  \  { -oo } )  /\  z  e.  ( RR*  \  { -oo } ) ) )  -> 
( ( x +e y ) +e z )  =  ( x +e
( y +e
z ) ) )
25 0re 9585 . . . 4  |-  0  e.  RR
26 rexr 9628 . . . . 5  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  RR* )
27 renemnf 9631 . . . . 5  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= -oo )
28 eldifsn 4141 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( RR*  \  { -oo } )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  =/= -oo ) )
2926, 27, 28sylanbrc 662 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )
3025, 29mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  0  e.  ( RR*  \  { -oo }
) )
31 eldifi 3612 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  ->  x  e.  RR* )
3231adantl 464 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )  ->  x  e.  RR* )
33 xaddid2 11442 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( 0 +e x )  =  x )
3432, 33syl 16 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )  ->  (
0 +e x )  =  x )
35 xaddid1 11441 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x +e 0 )  =  x )
3632, 35syl 16 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )  ->  (
x +e 0 )  =  x )
375, 11, 20, 24, 30, 34, 36ismndd 16145 . 2  |-  ( T. 
->  R  e.  Mnd )
3837trud 1407 1  |-  R  e. 
Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823    =/= wne 2649   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4016   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   -oocmnf 9615   RR*cxr 9616   +ecxad 11319   Basecbs 14719   ↾s cress 14720   +g cplusg 14787   RR*scxrs 14992   Mndcmnd 16121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-xadd 11322  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-xrs 14994  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123
This theorem is referenced by:  xrs1cmn  18656  xrge0subm  18657  xrge00  27911
  Copyright terms: Public domain W3C validator