MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrs1mnd Structured version   Unicode version

Theorem xrs1mnd 17977
Description: The extended real numbers, restricted to  RR*  \  { -oo }, form a monoid. The full structure is not a monoid or even a semigroup because associativity fails for  1  +  ( -oo  + +oo )  =  1  =/=  (
1  + -oo )  + +oo  =  0. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
xrs1mnd.1  |-  R  =  ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )
Assertion
Ref Expression
xrs1mnd  |-  R  e. 
Mnd

Proof of Theorem xrs1mnd
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3592 . . . 4  |-  ( RR*  \  { -oo } ) 
C_  RR*
2 xrs1mnd.1 . . . . 5  |-  R  =  ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )
3 xrsbas 17958 . . . . 5  |-  RR*  =  ( Base `  RR*s )
42, 3ressbas2 14349 . . . 4  |-  ( (
RR*  \  { -oo }
)  C_  RR*  ->  ( RR*  \  { -oo }
)  =  ( Base `  R ) )
51, 4mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  ( RR*  \  { -oo } )  =  ( Base `  R ) )
6 xrex 11100 . . . . 5  |-  RR*  e.  _V
7 difexg 4549 . . . . 5  |-  ( RR*  e.  _V  ->  ( RR*  \  { -oo } )  e.  _V )
86, 7ax-mp 5 . . . 4  |-  ( RR*  \  { -oo } )  e.  _V
9 xrsadd 17959 . . . . 5  |-  +e 
=  ( +g  `  RR*s
)
102, 9ressplusg 14400 . . . 4  |-  ( (
RR*  \  { -oo }
)  e.  _V  ->  +e  =  ( +g  `  R ) )
118, 10mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  +e  =  ( +g  `  R ) )
12 eldifsn 4109 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  <->  ( x  e.  RR*  /\  x  =/= -oo ) )
13 eldifsn 4109 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( RR*  \  { -oo } )  <->  ( y  e.  RR*  /\  y  =/= -oo ) )
14 xaddcl 11319 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x +e y )  e.  RR* )
1514ad2ant2r 746 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  x  =/= -oo )  /\  ( y  e.  RR*  /\  y  =/= -oo )
)  ->  ( x +e y )  e.  RR* )
16 xaddnemnf 11316 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  x  =/= -oo )  /\  ( y  e.  RR*  /\  y  =/= -oo )
)  ->  ( x +e y )  =/= -oo )
17 eldifsn 4109 . . . . . 6  |-  ( ( x +e y )  e.  ( RR*  \  { -oo } )  <-> 
( ( x +e y )  e. 
RR*  /\  ( x +e y )  =/= -oo ) )
1815, 16, 17sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  x  =/= -oo )  /\  ( y  e.  RR*  /\  y  =/= -oo )
)  ->  ( x +e y )  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )
1912, 13, 18syl2anb 479 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  /\  y  e.  (
RR*  \  { -oo }
) )  ->  (
x +e y )  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )
20193adant1 1006 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  /\  y  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )  ->  (
x +e y )  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )
21 eldifsn 4109 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( RR*  \  { -oo } )  <->  ( z  e.  RR*  /\  z  =/= -oo ) )
22 xaddass 11324 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  x  =/= -oo )  /\  ( y  e.  RR*  /\  y  =/= -oo )  /\  ( z  e.  RR*  /\  z  =/= -oo )
)  ->  ( (
x +e y ) +e z )  =  ( x +e ( y +e z ) ) )
2312, 13, 21, 22syl3anb 1262 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  /\  y  e.  (
RR*  \  { -oo }
)  /\  z  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )  ->  (
( x +e
y ) +e
z )  =  ( x +e ( y +e z ) ) )
2423adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  /\  y  e.  ( RR*  \  { -oo } )  /\  z  e.  ( RR*  \  { -oo } ) ) )  -> 
( ( x +e y ) +e z )  =  ( x +e
( y +e
z ) ) )
25 0re 9498 . . . 4  |-  0  e.  RR
26 rexr 9541 . . . . 5  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  RR* )
27 renemnf 9544 . . . . 5  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= -oo )
28 eldifsn 4109 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( RR*  \  { -oo } )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  =/= -oo ) )
2926, 27, 28sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )
3025, 29mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  0  e.  ( RR*  \  { -oo }
) )
31 eldifi 3587 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  ->  x  e.  RR* )
3231adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )  ->  x  e.  RR* )
33 xaddid2 11322 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( 0 +e x )  =  x )
3432, 33syl 16 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )  ->  (
0 +e x )  =  x )
35 xaddid1 11321 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x +e 0 )  =  x )
3632, 35syl 16 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )  ->  (
x +e 0 )  =  x )
375, 11, 20, 24, 30, 34, 36ismndd 15564 . 2  |-  ( T. 
->  R  e.  Mnd )
3837trud 1379 1  |-  R  e. 
Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    =/= wne 2648   _Vcvv 3078    \ cdif 3434    C_ wss 3437   {csn 3986   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   RRcr 9393   0cc0 9394   -oocmnf 9528   RR*cxr 9529   +ecxad 11199   Basecbs 14293   ↾s cress 14294   +g cplusg 14358   RR*scxrs 14558   Mndcmnd 15529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-xadd 11202  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-xrs 14560  df-mnd 15535
This theorem is referenced by:  xrs1cmn  17979  xrge0subm  17980  xrge00  26293
  Copyright terms: Public domain W3C validator