MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrs1mnd Structured version   Unicode version

Theorem xrs1mnd 18324
Description: The extended real numbers, restricted to  RR*  \  { -oo }, form a monoid - in contrast to the full structure, see xrsmgmdifsgrp 18323. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
xrs1mnd.1  |-  R  =  ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )
Assertion
Ref Expression
xrs1mnd  |-  R  e. 
Mnd

Proof of Theorem xrs1mnd
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3613 . . . 4  |-  ( RR*  \  { -oo } ) 
C_  RR*
2 xrs1mnd.1 . . . . 5  |-  R  =  ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )
3 xrsbas 18302 . . . . 5  |-  RR*  =  ( Base `  RR*s )
42, 3ressbas2 14560 . . . 4  |-  ( (
RR*  \  { -oo }
)  C_  RR*  ->  ( RR*  \  { -oo }
)  =  ( Base `  R ) )
51, 4mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  ( RR*  \  { -oo } )  =  ( Base `  R ) )
6 xrex 11221 . . . . 5  |-  RR*  e.  _V
7 difexg 4581 . . . . 5  |-  ( RR*  e.  _V  ->  ( RR*  \  { -oo } )  e.  _V )
86, 7ax-mp 5 . . . 4  |-  ( RR*  \  { -oo } )  e.  _V
9 xrsadd 18303 . . . . 5  |-  +e 
=  ( +g  `  RR*s
)
102, 9ressplusg 14611 . . . 4  |-  ( (
RR*  \  { -oo }
)  e.  _V  ->  +e  =  ( +g  `  R ) )
118, 10mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  +e  =  ( +g  `  R ) )
12 eldifsn 4136 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  <->  ( x  e.  RR*  /\  x  =/= -oo ) )
13 eldifsn 4136 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( RR*  \  { -oo } )  <->  ( y  e.  RR*  /\  y  =/= -oo ) )
14 xaddcl 11440 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x +e y )  e.  RR* )
1514ad2ant2r 746 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  x  =/= -oo )  /\  ( y  e.  RR*  /\  y  =/= -oo )
)  ->  ( x +e y )  e.  RR* )
16 xaddnemnf 11437 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  x  =/= -oo )  /\  ( y  e.  RR*  /\  y  =/= -oo )
)  ->  ( x +e y )  =/= -oo )
17 eldifsn 4136 . . . . . 6  |-  ( ( x +e y )  e.  ( RR*  \  { -oo } )  <-> 
( ( x +e y )  e. 
RR*  /\  ( x +e y )  =/= -oo ) )
1815, 16, 17sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  x  =/= -oo )  /\  ( y  e.  RR*  /\  y  =/= -oo )
)  ->  ( x +e y )  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )
1912, 13, 18syl2anb 479 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  /\  y  e.  (
RR*  \  { -oo }
) )  ->  (
x +e y )  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )
20193adant1 1013 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  /\  y  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )  ->  (
x +e y )  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )
21 eldifsn 4136 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( RR*  \  { -oo } )  <->  ( z  e.  RR*  /\  z  =/= -oo ) )
22 xaddass 11445 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  x  =/= -oo )  /\  ( y  e.  RR*  /\  y  =/= -oo )  /\  ( z  e.  RR*  /\  z  =/= -oo )
)  ->  ( (
x +e y ) +e z )  =  ( x +e ( y +e z ) ) )
2312, 13, 21, 22syl3anb 1270 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  /\  y  e.  (
RR*  \  { -oo }
)  /\  z  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )  ->  (
( x +e
y ) +e
z )  =  ( x +e ( y +e z ) ) )
2423adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  /\  y  e.  ( RR*  \  { -oo } )  /\  z  e.  ( RR*  \  { -oo } ) ) )  -> 
( ( x +e y ) +e z )  =  ( x +e
( y +e
z ) ) )
25 0re 9594 . . . 4  |-  0  e.  RR
26 rexr 9637 . . . . 5  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  RR* )
27 renemnf 9640 . . . . 5  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= -oo )
28 eldifsn 4136 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( RR*  \  { -oo } )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  =/= -oo ) )
2926, 27, 28sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )
3025, 29mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->  0  e.  ( RR*  \  { -oo }
) )
31 eldifi 3608 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  ->  x  e.  RR* )
3231adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )  ->  x  e.  RR* )
33 xaddid2 11443 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( 0 +e x )  =  x )
3432, 33syl 16 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )  ->  (
0 +e x )  =  x )
35 xaddid1 11442 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x +e 0 )  =  x )
3632, 35syl 16 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( RR*  \  { -oo } ) )  ->  (
x +e 0 )  =  x )
375, 11, 20, 24, 30, 34, 36ismndd 15812 . 2  |-  ( T. 
->  R  e.  Mnd )
3837trud 1390 1  |-  R  e. 
Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381   T. wtru 1382    e. wcel 1802    =/= wne 2636   _Vcvv 3093    \ cdif 3455    C_ wss 3458   {csn 4010   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   RRcr 9489   0cc0 9490   -oocmnf 9624   RR*cxr 9625   +ecxad 11320   Basecbs 14504   ↾s cress 14505   +g cplusg 14569   RR*scxrs 14769   Mndcmnd 15788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-xadd 11323  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-xrs 14771  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790
This theorem is referenced by:  xrs1cmn  18326  xrge0subm  18327  xrge00  27540
  Copyright terms: Public domain W3C validator