MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrs1cmn Structured version   Unicode version

Theorem xrs1cmn 18436
Description: The extended real numbers restricted to  RR*  \  { -oo } form a commutative monoid. They are not a group because  1  + +oo  =  2  + +oo even though  1  =/=  2. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
xrs1mnd.1  |-  R  =  ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )
Assertion
Ref Expression
xrs1cmn  |-  R  e. CMnd

Proof of Theorem xrs1cmn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrs1mnd.1 . . 3  |-  R  =  ( RR*ss  ( RR*  \  { -oo } ) )
21xrs1mnd 18434 . 2  |-  R  e. 
Mnd
3 eldifi 3611 . . . 4  |-  ( x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  ->  x  e.  RR* )
4 eldifi 3611 . . . 4  |-  ( y  e.  ( RR*  \  { -oo } )  ->  y  e.  RR* )
5 xaddcom 11447 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x +e y )  =  ( y +e x ) )
63, 4, 5syl2an 477 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( RR*  \  { -oo } )  /\  y  e.  (
RR*  \  { -oo }
) )  ->  (
x +e y )  =  ( y +e x ) )
76rgen2a 2870 . 2  |-  A. x  e.  ( RR*  \  { -oo } ) A. y  e.  ( RR*  \  { -oo } ) ( x +e y )  =  ( y +e
x )
8 difss 3616 . . . 4  |-  ( RR*  \  { -oo } ) 
C_  RR*
9 xrsbas 18412 . . . . 5  |-  RR*  =  ( Base `  RR*s )
101, 9ressbas2 14669 . . . 4  |-  ( (
RR*  \  { -oo }
)  C_  RR*  ->  ( RR*  \  { -oo }
)  =  ( Base `  R ) )
118, 10ax-mp 5 . . 3  |-  ( RR*  \  { -oo } )  =  ( Base `  R
)
12 xrex 11227 . . . . 5  |-  RR*  e.  _V
13 difexg 4585 . . . . 5  |-  ( RR*  e.  _V  ->  ( RR*  \  { -oo } )  e.  _V )
1412, 13ax-mp 5 . . . 4  |-  ( RR*  \  { -oo } )  e.  _V
15 xrsadd 18413 . . . . 5  |-  +e 
=  ( +g  `  RR*s
)
161, 15ressplusg 14720 . . . 4  |-  ( (
RR*  \  { -oo }
)  e.  _V  ->  +e  =  ( +g  `  R ) )
1714, 16ax-mp 5 . . 3  |-  +e 
=  ( +g  `  R
)
1811, 17iscmn 16783 . 2  |-  ( R  e. CMnd 
<->  ( R  e.  Mnd  /\ 
A. x  e.  (
RR*  \  { -oo }
) A. y  e.  ( RR*  \  { -oo } ) ( x +e y )  =  ( y +e
x ) ) )
192, 7, 18mpbir2an 920 1  |-  R  e. CMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4014   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   -oocmnf 9629   RR*cxr 9630   +ecxad 11326   Basecbs 14613   ↾s cress 14614   +g cplusg 14678   RR*scxrs 14878   Mndcmnd 15897  CMndccmn 16776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-xadd 11329  df-fz 11683  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-xrs 14880  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-cmn 16778
This theorem is referenced by:  xrge0cmn  18438  imasdsf1olem  20853
  Copyright terms: Public domain W3C validator