MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrrest Structured version   Unicode version

Theorem xrrest 20403
Description: The subspace topology induced by a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrrest.1  |-  X  =  (ordTop `  <_  )
xrrest.2  |-  R  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
xrrest  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( Xt  A )  =  ( Rt  A ) )

Proof of Theorem xrrest
StepHypRef Expression
1 xrrest.2 . . . 4  |-  R  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 xrrest.1 . . . . . 6  |-  X  =  (ordTop `  <_  )
32oveq1i 6120 . . . . 5  |-  ( Xt  RR )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
43xrtgioo 20402 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Xt  RR )
51, 4eqtri 2463 . . 3  |-  R  =  ( Xt  RR )
65oveq1i 6120 . 2  |-  ( Rt  A )  =  ( ( Xt  RR )t  A )
7 fvex 5720 . . . 4  |-  (ordTop `  <_  )  e.  _V
82, 7eqeltri 2513 . . 3  |-  X  e. 
_V
9 reex 9392 . . 3  |-  RR  e.  _V
10 restabs 18788 . . 3  |-  ( ( X  e.  _V  /\  A  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  (
( Xt  RR )t  A )  =  ( Xt  A ) )
118, 9, 10mp3an13 1305 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( Xt  RR )t  A )  =  ( Xt  A ) )
126, 11syl5req 2488 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( Xt  A )  =  ( Rt  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2991    C_ wss 3347   ran crn 4860   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   RRcr 9300    <_ cle 9438   (,)cioo 11319   ↾t crest 14378   topGenctg 14395  ordTopcordt 14456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fi 7680  df-sup 7710  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-q 10973  df-ioo 11323  df-ioc 11324  df-ico 11325  df-icc 11326  df-rest 14380  df-topgen 14401  df-ordt 14458  df-ps 15389  df-tsr 15390  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525
This theorem is referenced by:  xrrest2  20404  dfii5  20480
  Copyright terms: Public domain W3C validator