MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrrege0 Structured version   Unicode version

Theorem xrrege0 11427
Description: A nonnegative extended real that is less than a real bound is real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrrege0  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem xrrege0
StepHypRef Expression
1 ge0gtmnf 11425 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  -> -oo  <  A )
21ad2ant2r 745 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  -> -oo  <  A )
3 simprr 758 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  <_  B )
42, 3jca 530 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( -oo  <  A  /\  A  <_  B ) )
5 xrre 11422 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( -oo  <  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
64, 5syldan 468 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   RRcr 9520   0cc0 9521   -oocmnf 9655   RR*cxr 9656    < clt 9657    <_ cle 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663
This theorem is referenced by:  psmetlecl  21109  xmetlecl  21139  prdsxmetlem  21161  stdbdmet  21309  stdbdmopn  21311  bddnghm  21523  nmoid  21539  xrsmopn  21607  metdsre  21647  metnrmlem1a  21652  ovollecl  22184  itg2lecl  22435  probmeasb  28861  heicant  31401  mblfinlem3  31405  mblfinlem4  31406
  Copyright terms: Public domain W3C validator