MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrrege0 Structured version   Unicode version

Theorem xrrege0 11371
Description: A nonnegative extended real that is less than a real bound is real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrrege0  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem xrrege0
StepHypRef Expression
1 ge0gtmnf 11369 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  -> -oo  <  A )
21ad2ant2r 746 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  -> -oo  <  A )
3 simprr 756 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  <_  B )
42, 3jca 532 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( -oo  <  A  /\  A  <_  B ) )
5 xrre 11366 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( -oo  <  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
64, 5syldan 470 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RRcr 9487   0cc0 9488   -oocmnf 9622   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630
This theorem is referenced by:  psmetlecl  20554  xmetlecl  20584  prdsxmetlem  20606  stdbdmet  20754  stdbdmopn  20756  bddnghm  20968  nmoid  20984  xrsmopn  21052  metdsre  21092  metnrmlem1a  21097  ovollecl  21629  itg2lecl  21880  probmeasb  28009  heicant  29626  mblfinlem3  29630  mblfinlem4  29631
  Copyright terms: Public domain W3C validator