Theorem xrre 6744

Description: A way of proving that an extended real is real.

Assertion

Ref	Expression
xrre	|- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A e. RR)

Proof of Theorem xrre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrrebnd 6743	. . 3 |- (A e. RR* -> (A e. RR <-> ( -oo < A /\ A < +oo)))
2	1	ad2antrr 440	. 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> (A e. RR <-> ( -oo < A /\ A < +oo)))
3		simprl 450	. 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> -oo < A)
4		ltpnf 6717	. . . . . 6 |- (B e. RR -> B < +oo)
5	4	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> B < +oo)
6		pnfxr 6660	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
7		xrlelttr 6737	. . . . . . 7 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR*) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
8	6, 7	mp3an3 1180	. . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
9		rexr 6668	. . . . . 6 |- (B e. RR -> B e. RR*)
10	8, 9	sylan2 500	. . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
11	5, 10	mpan2d 766	. . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> (A <_ B -> A < +oo))
12	11	imp 377	. . 3 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ A <_ B) -> A < +oo)
13	12	adantrl 430	. 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A < +oo)
14	2, 3, 13	mpbir2and 802	1 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  RRcr 6385   <_ cle 6448   +oocpnf 6650   -oocmnf 6651  RR*cxr 6652   < clt 6653

This theorem is referenced by:  nmobndi 9777  nmophmi 11598  bdophsi 11666  bdopcoi 11668

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain