Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrofsup Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xrofsup 28428
 Description: The supremum is preserved by extended addition set operation. (Provided minus infinity is not involved as it does not behave well with addition.) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrofsup.1
xrofsup.2
xrofsup.3
xrofsup.4
xrofsup.5
Assertion
Ref Expression
xrofsup

Proof of Theorem xrofsup
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrofsup.5 . . 3
2 xrofsup.1 . . . . . . . . . 10
32sseld 3417 . . . . . . . . 9
4 xrofsup.2 . . . . . . . . . 10
54sseld 3417 . . . . . . . . 9
63, 5anim12d 572 . . . . . . . 8
76imp 436 . . . . . . 7
8 xaddcl 11554 . . . . . . 7
97, 8syl 17 . . . . . 6
109ralrimivva 2814 . . . . 5
11 fveq2 5879 . . . . . . . 8
12 df-ov 6311 . . . . . . . 8
1311, 12syl6eqr 2523 . . . . . . 7
1413eleq1d 2533 . . . . . 6
1514ralxp 4981 . . . . 5
1610, 15sylibr 217 . . . 4
17 xaddf 11540 . . . . . 6
18 ffun 5742 . . . . . 6
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5
20 xpss12 4945 . . . . . . 7
212, 4, 20syl2anc 673 . . . . . 6
2217fdmi 5746 . . . . . 6
2321, 22syl6sseqr 3465 . . . . 5
24 funimass4 5930 . . . . 5
2519, 23, 24sylancr 676 . . . 4
2616, 25mpbird 240 . . 3
271, 26eqsstrd 3452 . 2
28 supxrcl 11625 . . . 4
292, 28syl 17 . . 3
30 supxrcl 11625 . . . 4
314, 30syl 17 . . 3
331eleq2d 2534 . . . . 5
3433pm5.32i 649 . . . 4
35 nfvd 1770 . . . . 5
36 nfvd 1770 . . . . 5
372ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
38 simprl 772 . . . . . . . . . . 11
39 supxrub 11635 . . . . . . . . . . 11
4037, 38, 39syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
414ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
42 simprr 774 . . . . . . . . . . 11
43 supxrub 11635 . . . . . . . . . . 11
4441, 42, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
4537, 38sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11
4641, 42sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11
4737, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11
4841, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11
49 xle2add 11570 . . . . . . . . . . 11
5045, 46, 47, 48, 49syl22anc 1293 . . . . . . . . . 10
5140, 44, 50mp2and 693 . . . . . . . . 9
5251ralrimivva 2814 . . . . . . . 8
53 fvelima 5931 . . . . . . . . . . 11
5419, 53mpan 684 . . . . . . . . . 10
5554adantl 473 . . . . . . . . 9
5613eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10
5756rexxp 4982 . . . . . . . . 9
5855, 57sylib 201 . . . . . . . 8
5952, 58r19.29d2r 2919 . . . . . . 7
60 ancom 457 . . . . . . . 8
61602rexbii 2882 . . . . . . 7
6259, 61sylib 201 . . . . . 6
63 breq1 4398 . . . . . . . . 9
6463biimpa 492 . . . . . . . 8
6564reximi 2852 . . . . . . 7
6665reximi 2852 . . . . . 6
6762, 66syl 17 . . . . 5
6835, 36, 6719.9d2r 28194 . . . 4
6934, 68sylbi 200 . . 3
7069ralrimiva 2809 . 2
712ad2antrr 740 . . . . . 6
724ad2antrr 740 . . . . . 6
73 simplr 770 . . . . . . 7
7429ad2antrr 740 . . . . . . 7
7531ad2antrr 740 . . . . . . 7
76 xrofsup.3 . . . . . . . 8
7776ad2antrr 740 . . . . . . 7
78 xrofsup.4 . . . . . . . 8
7978ad2antrr 740 . . . . . . 7
80 simpr 468 . . . . . . 7
8173, 74, 75, 77, 79, 80xlt2addrd 28413 . . . . . 6
82 nfv 1769 . . . . . . . 8
83 nfcv 2612 . . . . . . . . 9
84 nfre1 2846 . . . . . . . . 9
8583, 84nfrex 2848 . . . . . . . 8
8682, 85nfan 2031 . . . . . . 7
87 nfvd 1770 . . . . . . 7
88 nfvd 1770 . . . . . . 7
89 id 22 . . . . . . . . . . . 12
9089ralrimivw 2810 . . . . . . . . . . 11
9190ralrimivw 2810 . . . . . . . . . 10
9291adantr 472 . . . . . . . . 9
93 simpr 468 . . . . . . . . 9
9492, 93r19.29d2r 2919 . . . . . . . 8
95 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . 15
96953anassrs 1256 . . . . . . . . . . . . . 14
9796simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . 13
98 simp-4l 784 . . . . . . . . . . . . . 14
99 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
100993anassrs 1256 . . . . . . . . . . . . . . . 16
101100simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
102 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15
103101, 102sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14
104100simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . 15
105 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15
106104, 105sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14
10798, 103, 106jca32 544 . . . . . . . . . . . . 13
108 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
109 xlt2add 11571 . . . . . . . . . . . . . . 15
110109imp 436 . . . . . . . . . . . . . 14
111 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . 15
112111biimpar 493 . . . . . . . . . . . . . 14
113110, 112sylan2 482 . . . . . . . . . . . . 13
11497, 107, 108, 113syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . 12
115 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . 15
116 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . 15
117 simplr2 1073 . . . . . . . . . . . . . . 15
118 supxrlub 11636 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119118biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . 15
120115, 116, 117, 119syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . 14
121 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15
122 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15
123 simplr3 1074 . . . . . . . . . . . . . . 15
124 supxrlub 11636 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125124biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . 15
126121, 122, 123, 125syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . 14
127 reeanv 2944 . . . . . . . . . . . . . 14
128120, 126, 127sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . 13
129128ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12
130114, 129reximddv2 2860 . . . . . . . . . . 11
131130ex 441 . . . . . . . . . 10
132131reximdva 2858 . . . . . . . . 9
133132reximia 2850 . . . . . . . 8
13494, 133syl 17 . . . . . . 7
13586, 87, 88, 13419.9d2rf 28193 . . . . . 6
13671, 72, 81, 135syl21anc 1291 . . . . 5
137 simprl 772 . . . . . . . . . 10
138 simprr 774 . . . . . . . . . 10
13919a1i 11 . . . . . . . . . 10
14023adantr 472 . . . . . . . . . 10
141137, 138, 139, 140elovimad 6348 . . . . . . . . 9
1421eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10
143142adantr 472 . . . . . . . . 9
144141, 143mpbird 240 . . . . . . . 8
145 simpr 468 . . . . . . . . 9
146145breq2d 4407 . . . . . . . 8
147144, 146rspcedv 3140 . . . . . . 7
148147rexlimdvva 2878 . . . . . 6
149148ad2antrr 740 . . . . 5
150136, 149mpd 15 . . . 4
151150ex 441 . . 3
152151ralrimiva 2809 . 2
153 supxr2 11624 . 2
15427, 32, 70, 152, 153syl22anc 1293 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   wss 3390  cop 3965   class class class wbr 4395   cxp 4837   cdm 4839  cima 4842   wfun 5583  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  cr 9556   cmnf 9691  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cxad 11430 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-2 10690  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator