Theorem xrofsup 26189

Description: The supremum is preserved by extended addition set operation. (provided minus infinity is not involved as it does not behave well with addition) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrofsup.1	|- ( ph -> X C_ RR* )
xrofsup.2	|- ( ph -> Y C_ RR* )
xrofsup.3	|- ( ph -> sup ( X , RR* , < ) =/= -oo )
xrofsup.4	|- ( ph -> sup ( Y , RR* , < ) =/= -oo )
xrofsup.5	|- ( ph -> Z = ( +e " ( X X. Y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
xrofsup	|- ( ph -> sup ( Z , RR* , < ) = ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) )

Proof of Theorem xrofsup

Dummy variables a b k u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrofsup.5	. . 3 |- ( ph -> Z = ( +e " ( X X. Y ) ) )
2		xrofsup.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X C_ RR* )
3	2	sseld 3453	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X -> x e. RR* ) )
4		xrofsup.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y C_ RR* )
5	4	sseld 3453	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. Y -> y e. RR* ) )
6	3, 5	anim12d 563	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) )
7	6	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( x e. RR* /\ y e. RR* ) )
8		xaddcl 11308	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x +e y ) e. RR* )
9	7, 8	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( x +e y ) e. RR* )
10	9	ralrimivva 2904	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y ( x +e y ) e. RR* )
11		fveq2 5789	. . . . . . . 8 |- ( u = <. x , y >. -> ( +e ` u ) = ( +e ` <. x , y >. ) )
12		df-ov 6193	. . . . . . . 8 |- ( x +e y ) = ( +e ` <. x , y >. )
13	11, 12	syl6eqr 2510	. . . . . . 7 |- ( u = <. x , y >. -> ( +e ` u ) = ( x +e y ) )
14	13	eleq1d 2520	. . . . . 6 |- ( u = <. x , y >. -> ( ( +e ` u ) e. RR* <-> ( x +e y ) e. RR* ) )
15	14	ralxp 5079	. . . . 5 |- ( A. u e. ( X X. Y ) ( +e ` u ) e. RR* <-> A. x e. X A. y e. Y ( x +e y ) e. RR* )
16	10, 15	sylibr 212	. . . 4 |- ( ph -> A. u e. ( X X. Y ) ( +e ` u ) e. RR* )
17		xaddf 11295	. . . . . 6 |- +e : ( RR* X. RR* ) --> RR*
18		ffun 5659	. . . . . 6 |- ( +e : ( RR* X. RR* ) --> RR* -> Fun +e )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 |- Fun +e
20		xpss12 5043	. . . . . . 7 |- ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) -> ( X X. Y ) C_ ( RR* X. RR* ) )
21	2, 4, 20	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X X. Y ) C_ ( RR* X. RR* ) )
22	17	fdmi 5662	. . . . . 6 |- dom +e = ( RR* X. RR* )
23	21, 22	syl6sseqr 3501	. . . . 5 |- ( ph -> ( X X. Y ) C_ dom +e )
24		funimass4 5841	. . . . 5 |- ( ( Fun +e /\ ( X X. Y ) C_ dom +e ) -> ( ( +e " ( X X. Y ) ) C_ RR* <-> A. u e. ( X X. Y ) ( +e ` u ) e. RR* ) )
25	19, 23, 24	sylancr 663	. . . 4 |- ( ph -> ( ( +e " ( X X. Y ) ) C_ RR* <-> A. u e. ( X X. Y ) ( +e ` u ) e. RR* ) )
26	16, 25	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> ( +e " ( X X. Y ) ) C_ RR* )
27	1, 26	eqsstrd 3488	. 2 |- ( ph -> Z C_ RR* )
28		supxrcl 11378	. . . 4 |- ( X C_ RR* -> sup ( X , RR* , < ) e. RR* )
29	2, 28	syl 16	. . 3 |- ( ph -> sup ( X , RR* , < ) e. RR* )
30		supxrcl 11378	. . . 4 |- ( Y C_ RR* -> sup ( Y , RR* , < ) e. RR* )
31	4, 30	syl 16	. . 3 |- ( ph -> sup ( Y , RR* , < ) e. RR* )
32	29, 31	xaddcld 11365	. 2 |- ( ph -> ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) e. RR* )
33	1	eleq2d 2521	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. Z <-> z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) )
34	33	pm5.32i 637	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. Z ) <-> ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) )
35		nfvd 1675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) -> F/ x z <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) )
36		nfvd 1675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) -> F/ y z <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) )
37	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> X C_ RR* )
38		simprl 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> x e. X )
39		supxrub 11388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X C_ RR* /\ x e. X ) -> x <_ sup ( X , RR* , < ) )
40	37, 38, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> x <_ sup ( X , RR* , < ) )
41	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> Y C_ RR* )
42		simprr 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> y e. Y )
43		supxrub 11388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y C_ RR* /\ y e. Y ) -> y <_ sup ( Y , RR* , < ) )
44	41, 42, 43	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> y <_ sup ( Y , RR* , < ) )
45	37, 38	sseldd 3455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> x e. RR* )
46	41, 42	sseldd 3455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> y e. RR* )
47	37, 28	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> sup ( X , RR* , < ) e. RR* )
48	41, 30	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> sup ( Y , RR* , < ) e. RR* )
49		xle2add 11323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) /\ ( sup ( X , RR* , < ) e. RR* /\ sup ( Y , RR* , < ) e. RR* ) ) -> ( ( x <_ sup ( X , RR* , < ) /\ y <_ sup ( Y , RR* , < ) ) -> ( x +e y ) <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) )
50	45, 46, 47, 48, 49	syl22anc 1220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( x <_ sup ( X , RR* , < ) /\ y <_ sup ( Y , RR* , < ) ) -> ( x +e y ) <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) )
51	40, 44, 50	mp2and 679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( x +e y ) <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) )
52	51	ralrimivva 2904	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) -> A. x e. X A. y e. Y ( x +e y ) <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) )
53		fvelima 5842	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun +e /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) -> E. u e. ( X X. Y ) ( +e ` u ) = z )
54	19, 53	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( +e " ( X X. Y ) ) -> E. u e. ( X X. Y ) ( +e ` u ) = z )
55	54	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) -> E. u e. ( X X. Y ) ( +e ` u ) = z )
56	13	eqeq1d 2453	. . . . . . . . . 10 |- ( u = <. x , y >. -> ( ( +e ` u ) = z <-> ( x +e y ) = z ) )
57	56	rexxp 5080	. . . . . . . . 9 |- ( E. u e. ( X X. Y ) ( +e ` u ) = z <-> E. x e. X E. y e. Y ( x +e y ) = z )
58	55, 57	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) -> E. x e. X E. y e. Y ( x +e y ) = z )
59	52, 58	r19.29d2r 2959	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) -> E. x e. X E. y e. Y ( ( x +e y ) <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) /\ ( x +e y ) = z ) )
60		ancom 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x +e y ) <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) /\ ( x +e y ) = z ) <-> ( ( x +e y ) = z /\ ( x +e y ) <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) )
61	60	2rexbii 2848	. . . . . . 7 |- ( E. x e. X E. y e. Y ( ( x +e y ) <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) /\ ( x +e y ) = z ) <-> E. x e. X E. y e. Y ( ( x +e y ) = z /\ ( x +e y ) <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) )
62	59, 61	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) -> E. x e. X E. y e. Y ( ( x +e y ) = z /\ ( x +e y ) <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) )
63		breq1 4393	. . . . . . . . 9 |- ( ( x +e y ) = z -> ( ( x +e y ) <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) <-> z <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) )
64	63	biimpa 484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x +e y ) = z /\ ( x +e y ) <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> z <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) )
65	64	reximi 2919	. . . . . . 7 |- ( E. y e. Y ( ( x +e y ) = z /\ ( x +e y ) <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> E. y e. Y z <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) )
66	65	reximi 2919	. . . . . 6 |- ( E. x e. X E. y e. Y ( ( x +e y ) = z /\ ( x +e y ) <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> E. x e. X E. y e. Y z <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) )
67	62, 66	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) -> E. x e. X E. y e. Y z <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) )
68	35, 36, 67	19.9d2r 25998	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) -> z <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) )
69	34, 68	sylbi 195	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. Z ) -> z <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) )
70	69	ralrimiva 2822	. 2 |- ( ph -> A. z e. Z z <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) )
71	2	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. RR ) /\ z < ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> X C_ RR* )
72	4	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. RR ) /\ z < ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> Y C_ RR* )
73		simplr 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. RR ) /\ z < ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> z e. RR )
74	29	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. RR ) /\ z < ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> sup ( X , RR* , < ) e. RR* )
75	31	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. RR ) /\ z < ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> sup ( Y , RR* , < ) e. RR* )
76		xrofsup.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( X , RR* , < ) =/= -oo )
77	76	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. RR ) /\ z < ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> sup ( X , RR* , < ) =/= -oo )
78		xrofsup.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( Y , RR* , < ) =/= -oo )
79	78	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. RR ) /\ z < ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> sup ( Y , RR* , < ) =/= -oo )
80		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. RR ) /\ z < ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> z < ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) )
81	73, 74, 75, 77, 79, 80	xlt2addrd 26185	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. RR ) /\ z < ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> E. a e. RR* E. b e. RR* ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) )
82		nfv 1674	. . . . . . . 8 |- F/ b ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* )
83		nfcv 2613	. . . . . . . . 9 |- F/_ b RR*
84		nfre1 2881	. . . . . . . . 9 |- F/ b E. b e. RR* ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) )
85	83, 84	nfrex 2880	. . . . . . . 8 |- F/ b E. a e. RR* E. b e. RR* ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) )
86	82, 85	nfan 1863	. . . . . . 7 |- F/ b ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ E. a e. RR* E. b e. RR* ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) )
87		nfvd 1675	. . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ E. a e. RR* E. b e. RR* ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> F/ a E. v e. X E. w e. Y z < ( v +e w ) )
88		nfvd 1675	. . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ E. a e. RR* E. b e. RR* ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> F/ b E. v e. X E. w e. Y z < ( v +e w ) )
89		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) -> ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) )
90	89	ralrimivw 2823	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) -> A. b e. RR* ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) )
91	90	ralrimivw 2823	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) -> A. a e. RR* A. b e. RR* ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) )
92	91	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ E. a e. RR* E. b e. RR* ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> A. a e. RR* A. b e. RR* ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) )
93		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ E. a e. RR* E. b e. RR* ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> E. a e. RR* E. b e. RR* ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) )
94	92, 93	r19.29d2r 2959	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ E. a e. RR* E. b e. RR* ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> E. a e. RR* E. b e. RR* ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) )
95		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) -> X C_ RR* )
96		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) -> a e. RR* )
97		simplr2 1031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) -> a < sup ( X , RR* , < ) )
98		supxrlub 11389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X C_ RR* /\ a e. RR* ) -> ( a < sup ( X , RR* , < ) <-> E. v e. X a < v ) )
99	98	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X C_ RR* /\ a e. RR* ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) ) -> E. v e. X a < v )
100	95, 96, 97, 99	syl21anc 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) -> E. v e. X a < v )
101		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) -> Y C_ RR* )
102		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) -> b e. RR* )
103		simplr3 1032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) -> b < sup ( Y , RR* , < ) )
104		supxrlub 11389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Y C_ RR* /\ b e. RR* ) -> ( b < sup ( Y , RR* , < ) <-> E. w e. Y b < w ) )
105	104	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Y C_ RR* /\ b e. RR* ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) -> E. w e. Y b < w )
106	101, 102, 103, 105	syl21anc 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) -> E. w e. Y b < w )
107		reeanv 2984	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. v e. X E. w e. Y ( a < v /\ b < w ) <-> ( E. v e. X a < v /\ E. w e. Y b < w ) )
108	100, 106, 107	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) /\ ( a e. RR* /\ b e. RR* ) ) -> E. v e. X E. w e. Y ( a < v /\ b < w ) )
109	108	ancoms 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) -> E. v e. X E. w e. Y ( a < v /\ b < w ) )
110		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ ( v e. X /\ w e. Y /\ ( a < v /\ b < w ) ) ) -> ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) )
111	110	3anassrs 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ v e. X ) /\ w e. Y ) /\ ( a < v /\ b < w ) ) -> ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) )
112	111	simp1d 1000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ v e. X ) /\ w e. Y ) /\ ( a < v /\ b < w ) ) -> z = ( a +e b ) )
113		simp-4l 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ v e. X ) /\ w e. Y ) /\ ( a < v /\ b < w ) ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
114		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ ( v e. X /\ w e. Y /\ ( a < v /\ b < w ) ) ) -> ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) )
115	114	3anassrs 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ v e. X ) /\ w e. Y ) /\ ( a < v /\ b < w ) ) -> ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) )
116	115	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ v e. X ) /\ w e. Y ) /\ ( a < v /\ b < w ) ) -> X C_ RR* )
117		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ v e. X ) /\ w e. Y ) /\ ( a < v /\ b < w ) ) -> v e. X )
118	116, 117	sseldd 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ v e. X ) /\ w e. Y ) /\ ( a < v /\ b < w ) ) -> v e. RR* )
119	115	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ v e. X ) /\ w e. Y ) /\ ( a < v /\ b < w ) ) -> Y C_ RR* )
120		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ v e. X ) /\ w e. Y ) /\ ( a < v /\ b < w ) ) -> w e. Y )
121	119, 120	sseldd 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ v e. X ) /\ w e. Y ) /\ ( a < v /\ b < w ) ) -> w e. RR* )
122	113, 118, 121	jca32 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ v e. X ) /\ w e. Y ) /\ ( a < v /\ b < w ) ) -> ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( v e. RR* /\ w e. RR* ) ) )
123		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ v e. X ) /\ w e. Y ) /\ ( a < v /\ b < w ) ) -> ( a < v /\ b < w ) )
124	122, 123	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ v e. X ) /\ w e. Y ) /\ ( a < v /\ b < w ) ) -> ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( v e. RR* /\ w e. RR* ) ) /\ ( a < v /\ b < w ) ) )
125		xlt2add 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( v e. RR* /\ w e. RR* ) ) -> ( ( a < v /\ b < w ) -> ( a +e b ) < ( v +e w ) ) )
126	125	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( v e. RR* /\ w e. RR* ) ) /\ ( a < v /\ b < w ) ) -> ( a +e b ) < ( v +e w ) )
127		breq1 4393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( a +e b ) -> ( z < ( v +e w ) <-> ( a +e b ) < ( v +e w ) ) )
128	127	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z = ( a +e b ) /\ ( a +e b ) < ( v +e w ) ) -> z < ( v +e w ) )
129	126, 128	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z = ( a +e b ) /\ ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( v e. RR* /\ w e. RR* ) ) /\ ( a < v /\ b < w ) ) ) -> z < ( v +e w ) )
130	112, 124, 129	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ v e. X ) /\ w e. Y ) /\ ( a < v /\ b < w ) ) -> z < ( v +e w ) )
131	130	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ v e. X ) /\ w e. Y ) -> ( ( a < v /\ b < w ) -> z < ( v +e w ) ) )
132	131	reximdva 2924	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) /\ v e. X ) -> ( E. w e. Y ( a < v /\ b < w ) -> E. w e. Y z < ( v +e w ) ) )
133	132	reximdva 2924	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) -> ( E. v e. X E. w e. Y ( a < v /\ b < w ) -> E. v e. X E. w e. Y z < ( v +e w ) ) )
134	109, 133	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) ) -> E. v e. X E. w e. Y z < ( v +e w ) )
135	134	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> E. v e. X E. w e. Y z < ( v +e w ) ) )
136	135	reximdva 2924	. . . . . . . . 9 |- ( a e. RR* -> ( E. b e. RR* ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> E. b e. RR* E. v e. X E. w e. Y z < ( v +e w ) ) )
137	136	reximia 2917	. . . . . . . 8 |- ( E. a e. RR* E. b e. RR* ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> E. a e. RR* E. b e. RR* E. v e. X E. w e. Y z < ( v +e w ) )
138	94, 137	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ E. a e. RR* E. b e. RR* ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> E. a e. RR* E. b e. RR* E. v e. X E. w e. Y z < ( v +e w ) )
139	86, 87, 88, 138	19.9d2rf 25997	. . . . . 6 |- ( ( ( X C_ RR* /\ Y C_ RR* ) /\ E. a e. RR* E. b e. RR* ( z = ( a +e b ) /\ a < sup ( X , RR* , < ) /\ b < sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> E. v e. X E. w e. Y z < ( v +e w ) )
140	71, 72, 81, 139	syl21anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. RR ) /\ z < ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> E. v e. X E. w e. Y z < ( v +e w ) )
141		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ w e. Y ) ) -> v e. X )
142		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ w e. Y ) ) -> w e. Y )
143	23	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ w e. Y ) ) -> ( X X. Y ) C_ dom +e )
144	141, 142, 19, 143	elovimad 26090	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ w e. Y ) ) -> ( v +e w ) e. ( +e " ( X X. Y ) ) )
145	1	eleq2d 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( v +e w ) e. Z <-> ( v +e w ) e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) )
146	145	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ w e. Y ) ) -> ( ( v +e w ) e. Z <-> ( v +e w ) e. ( +e " ( X X. Y ) ) ) )
147	144, 146	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ w e. Y ) ) -> ( v +e w ) e. Z )
148		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( v e. X /\ w e. Y ) ) /\ k = ( v +e w ) ) -> k = ( v +e w ) )
149	148	breq2d 4402	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( v e. X /\ w e. Y ) ) /\ k = ( v +e w ) ) -> ( z < k <-> z < ( v +e w ) ) )
150	147, 149	rspcedv 3173	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( v e. X /\ w e. Y ) ) -> ( z < ( v +e w ) -> E. k e. Z z < k ) )
151	150	rexlimdvva 2944	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. v e. X E. w e. Y z < ( v +e w ) -> E. k e. Z z < k ) )
152	151	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. RR ) /\ z < ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> ( E. v e. X E. w e. Y z < ( v +e w ) -> E. k e. Z z < k ) )
153	140, 152	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. RR ) /\ z < ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) ) -> E. k e. Z z < k )
154	153	ex 434	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. RR ) -> ( z < ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) -> E. k e. Z z < k ) )
155	154	ralrimiva 2822	. 2 |- ( ph -> A. z e. RR ( z < ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) -> E. k e. Z z < k ) )
156		supxr2 11377	. 2 |- ( ( ( Z C_ RR* /\ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) e. RR* ) /\ ( A. z e. Z z <_ ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) /\ A. z e. RR ( z < ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) -> E. k e. Z z < k ) ) ) -> sup ( Z , RR* , < ) = ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) )
157	27, 32, 70, 155, 156	syl22anc 1220	1 |- ( ph -> sup ( Z , RR* , < ) = ( sup ( X , RR* , < ) +e sup ( Y , RR* , < ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   C_ wss 3426   <.cop 3981   class class class wbr 4390   X. cxp 4936   dom cdm 4938   "cima 4941   Fun wfun 5510   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   supcsup 7791   RRcr 9382   -oocmnf 9517   RR*cxr 9518   < clt 9519   <_ cle 9520   +ecxad 11188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-2 10481  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191

This theorem is referenced by: (None)