Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrofsup Structured version   Unicode version

Theorem xrofsup 27819
Description: The supremum is preserved by extended addition set operation. (provided minus infinity is not involved as it does not behave well with addition) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrofsup.1  |-  ( ph  ->  X  C_  RR* )
xrofsup.2  |-  ( ph  ->  Y  C_  RR* )
xrofsup.3  |-  ( ph  ->  sup ( X ,  RR* ,  <  )  =/= -oo )
xrofsup.4  |-  ( ph  ->  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  =/= -oo )
xrofsup.5  |-  ( ph  ->  Z  =  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
xrofsup  |-  ( ph  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )

Proof of Theorem xrofsup
Dummy variables  a 
b  k  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrofsup.5 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  =  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )
2 xrofsup.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  C_  RR* )
32sseld 3488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  ->  x  e.  RR* )
)
4 xrofsup.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  C_  RR* )
54sseld 3488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  ->  y  e.  RR* )
)
63, 5anim12d 561 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  (
x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) ) )
76imp 427 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )
)
8 xaddcl 11439 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x +e y )  e.  RR* )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x +e
y )  e.  RR* )
109ralrimivva 2875 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( x +e
y )  e.  RR* )
11 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( +e `  u )  =  ( +e `  <. x ,  y >. )
)
12 df-ov 6273 . . . . . . . 8  |-  ( x +e y )  =  ( +e `  <. x ,  y
>. )
1311, 12syl6eqr 2513 . . . . . . 7  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( +e `  u )  =  ( x +e y ) )
1413eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( +e `  u )  e.  RR*  <->  ( x +e y )  e. 
RR* ) )
1514ralxp 5133 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  ( X  X.  Y ) ( +e `  u )  e.  RR*  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( x +e
y )  e.  RR* )
1610, 15sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( X  X.  Y ) ( +e `  u )  e.  RR* )
17 xaddf 11426 . . . . . 6  |-  +e : ( RR*  X.  RR* )
--> RR*
18 ffun 5715 . . . . . 6  |-  ( +e : ( RR*  X. 
RR* ) --> RR*  ->  Fun 
+e )
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5  |-  Fun  +e
20 xpss12 5096 . . . . . . 7  |-  ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  ->  ( X  X.  Y )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
212, 4, 20syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  C_  ( RR*  X. 
RR* ) )
2217fdmi 5718 . . . . . 6  |-  dom  +e  =  ( RR*  X. 
RR* )
2321, 22syl6sseqr 3536 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  C_  dom  +e
)
24 funimass4 5899 . . . . 5  |-  ( ( Fun  +e  /\  ( X  X.  Y
)  C_  dom  +e
)  ->  ( ( +e " ( X  X.  Y ) ) 
C_  RR*  <->  A. u  e.  ( X  X.  Y ) ( +e `  u )  e.  RR* ) )
2519, 23, 24sylancr 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( +e " ( X  X.  Y ) )  C_  RR*  <->  A. u  e.  ( X  X.  Y ) ( +e `  u
)  e.  RR* )
)
2616, 25mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +e "
( X  X.  Y
) )  C_  RR* )
271, 26eqsstrd 3523 . 2  |-  ( ph  ->  Z  C_  RR* )
28 supxrcl 11509 . . . 4  |-  ( X 
C_  RR*  ->  sup ( X ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
292, 28syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( X ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
30 supxrcl 11509 . . . 4  |-  ( Y 
C_  RR*  ->  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
314, 30syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
3229, 31xaddcld 11496 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  e.  RR* )
331eleq2d 2524 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  <->  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) ) )
3433pm5.32i 635 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Z )  <->  ( ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) ) )
35 nfvd 1713 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  F/ x  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
36 nfvd 1713 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  F/ y 
z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
372ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  X  C_ 
RR* )
38 simprl 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  x  e.  X )
39 supxrub 11519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  C_  RR*  /\  x  e.  X )  ->  x  <_  sup ( X ,  RR* ,  <  ) )
4037, 38, 39syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  x  <_  sup ( X ,  RR* ,  <  ) )
414ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  Y  C_ 
RR* )
42 simprr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  y  e.  Y )
43 supxrub 11519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  C_  RR*  /\  y  e.  Y )  ->  y  <_  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )
4441, 42, 43syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  y  <_  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )
4537, 38sseldd 3490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  x  e.  RR* )
4641, 42sseldd 3490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  y  e.  RR* )
4737, 28syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  sup ( X ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
4841, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
49 xle2add 11454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( sup ( X ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  e.  RR* ) )  -> 
( ( x  <_  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  y  <_  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( x +e y )  <_ 
( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )
5045, 46, 47, 48, 49syl22anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
( x  <_  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  y  <_  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( x +e y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )
5140, 44, 50mp2and 677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x +e y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
5251ralrimivva 2875 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( x +e y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
53 fvelima 5900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  +e  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  E. u  e.  ( X  X.  Y ) ( +e `  u )  =  z )
5419, 53mpan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) )  ->  E. u  e.  ( X  X.  Y ) ( +e `  u
)  =  z )
5554adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  E. u  e.  ( X  X.  Y
) ( +e `  u )  =  z )
5613eqeq1d 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( +e `  u )  =  z  <->  ( x +e y )  =  z ) )
5756rexxp 5134 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  ( X  X.  Y ) ( +e `  u
)  =  z  <->  E. x  e.  X  E. y  e.  Y  ( x +e y )  =  z )
5855, 57sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  Y  ( x +e y )  =  z )
5952, 58r19.29d2r 2997 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  Y  ( (
x +e y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  /\  ( x +e y )  =  z ) )
60 ancom 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x +e
y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  /\  ( x +e
y )  =  z )  <->  ( ( x +e y )  =  z  /\  (
x +e y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )
61602rexbii 2957 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  X  E. y  e.  Y  (
( x +e
y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  /\  ( x +e
y )  =  z )  <->  E. x  e.  X  E. y  e.  Y  ( ( x +e y )  =  z  /\  ( x +e y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )
6259, 61sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  Y  ( (
x +e y )  =  z  /\  ( x +e
y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )
63 breq1 4442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x +e y )  =  z  -> 
( ( x +e y )  <_ 
( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  <->  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )
6463biimpa 482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x +e
y )  =  z  /\  ( x +e y )  <_ 
( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
6564reximi 2922 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  Y  ( ( x +e
y )  =  z  /\  ( x +e y )  <_ 
( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. y  e.  Y  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  )
) )
6665reximi 2922 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  X  E. y  e.  Y  (
( x +e
y )  =  z  /\  ( x +e y )  <_ 
( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  Y  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  )
) )
6762, 66syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  Y  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  )
) )
6835, 36, 6719.9d2r 27579 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  )
) )
6934, 68sylbi 195 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Z )  ->  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
7069ralrimiva 2868 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  Z  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
712ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  X  C_ 
RR* )
724ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  Y  C_ 
RR* )
73 simplr 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  z  e.  RR )
7429ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  sup ( X ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7531ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
76 xrofsup.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( X ,  RR* ,  <  )  =/= -oo )
7776ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  sup ( X ,  RR* ,  <  )  =/= -oo )
78 xrofsup.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  =/= -oo )
7978ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  =/= -oo )
80 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
8173, 74, 75, 77, 79, 80xlt2addrd 27812 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
82 nfv 1712 . . . . . . . 8  |-  F/ b ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )
83 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ b RR*
84 nfre1 2915 . . . . . . . . 9  |-  F/ b E. b  e.  RR*  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )
8583, 84nfrex 2917 . . . . . . . 8  |-  F/ b E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )
8682, 85nfan 1933 . . . . . . 7  |-  F/ b ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
87 nfvd 1713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  F/ a E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) )
88 nfvd 1713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  F/ b E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) )
89 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  ->  ( X  C_  RR*  /\  Y  C_  RR* ) )
9089ralrimivw 2869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  ->  A. b  e.  RR*  ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )
)
9190ralrimivw 2869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )
)
9291adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )
)
93 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
9492, 93r19.29d2r 2997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( ( X 
C_  RR*  /\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )
95 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( a  e. 
RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y  /\  ( a  <  v  /\  b  <  w ) ) )  ->  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
96953anassrs 1216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
9796simp1d 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
z  =  ( a +e b ) )
98 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)
99 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e. 
RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y  /\  ( a  <  v  /\  b  <  w ) ) )  ->  ( X  C_  RR*  /\  Y  C_  RR* ) )
100993anassrs 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* ) )
101100simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  ->  X  C_  RR* )
102 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
v  e.  X )
103101, 102sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
v  e.  RR* )
104100simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  ->  Y  C_  RR* )
105 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  ->  w  e.  Y )
106104, 105sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  ->  w  e.  RR* )
10798, 103, 106jca32 533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
( ( a  e. 
RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( v  e.  RR*  /\  w  e.  RR* ) ) )
108 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
( a  <  v  /\  b  <  w ) )
109 xlt2add 11455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( v  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )
)  ->  ( (
a  <  v  /\  b  <  w )  -> 
( a +e
b )  <  (
v +e w ) ) )
110109imp 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( a  e. 
RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( v  e.  RR*  /\  w  e.  RR* ) )  /\  ( a  <  v  /\  b  <  w ) )  ->  ( a +e b )  <  ( v +e w ) )
111 breq1 4442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a +e b )  -> 
( z  <  (
v +e w )  <->  ( a +e b )  < 
( v +e
w ) ) )
112111biimpar 483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =  ( a +e b )  /\  ( a +e b )  < 
( v +e
w ) )  -> 
z  <  ( v +e w ) )
113110, 112sylan2 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  ( a +e b )  /\  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
v  e.  RR*  /\  w  e.  RR* ) )  /\  ( a  <  v  /\  b  <  w ) ) )  ->  z  <  ( v +e
w ) )
11497, 107, 108, 113syl12anc 1224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
z  <  ( v +e w ) )
115 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  ->  X  C_  RR* )
116 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  -> 
a  e.  RR* )
117 simplr2 1037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  -> 
a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  ) )
118 supxrlub 11520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  C_  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  <->  E. v  e.  X  a  <  v ) )
119118biimpa 482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  C_  RR*  /\  a  e.  RR* )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. v  e.  X  a  <  v )
120115, 116, 117, 119syl21anc 1225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  ->  E. v  e.  X  a  <  v )
121 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  ->  Y  C_  RR* )
122 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  -> 
b  e.  RR* )
123 simplr3 1038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  -> 
b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )
124 supxrlub 11520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Y  C_  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  <->  E. w  e.  Y  b  <  w ) )
125124biimpa 482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Y  C_  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. w  e.  Y  b  <  w )
126121, 122, 123, 125syl21anc 1225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  ->  E. w  e.  Y  b  <  w )
127 reeanv 3022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. v  e.  X  E. w  e.  Y  (
a  <  v  /\  b  <  w )  <->  ( E. v  e.  X  a  <  v  /\  E. w  e.  Y  b  <  w ) )
128120, 126, 127sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  ->  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  ( a  <  v  /\  b  <  w ) )
129128ancoms 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  ->  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )
130114, 129reximddv2 2931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  ->  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) )
131130ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) ) )
132131reximdva 2929 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  RR*  ->  ( E. b  e.  RR*  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. b  e.  RR*  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  (
v +e w ) ) )
133132reximia 2920 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( ( X 
C_  RR*  /\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) )
13494, 133syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) )
13586, 87, 88, 13419.9d2rf 27578 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) )
13671, 72, 81, 135syl21anc 1225 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) )
137 simprl 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y ) )  -> 
v  e.  X )
138 simprr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y ) )  ->  w  e.  Y )
13919a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y ) )  ->  Fun  +e )
14023adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( X  X.  Y
)  C_  dom  +e
)
141137, 138, 139, 140elovimad 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( v +e
w )  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )
1421eleq2d 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( v +e w )  e.  Z  <->  ( v +e w )  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) ) )
143142adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( v +e w )  e.  Z  <->  ( v +e w )  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) ) )
144141, 143mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( v +e
w )  e.  Z
)
145 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  X  /\  w  e.  Y )
)  /\  k  =  ( v +e
w ) )  -> 
k  =  ( v +e w ) )
146145breq2d 4451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  X  /\  w  e.  Y )
)  /\  k  =  ( v +e
w ) )  -> 
( z  <  k  <->  z  <  ( v +e w ) ) )
147144, 146rspcedv 3211 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( z  <  (
v +e w )  ->  E. k  e.  Z  z  <  k ) )
148147rexlimdvva 2953 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  (
v +e w )  ->  E. k  e.  Z  z  <  k ) )
149148ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  ( E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w )  ->  E. k  e.  Z  z  <  k ) )
150136, 149mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. k  e.  Z  z  <  k )
151150ex 432 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. k  e.  Z  z  <  k ) )
152151ralrimiva 2868 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. k  e.  Z  z  <  k ) )
153 supxr2 11508 . 2  |-  ( ( ( Z  C_  RR*  /\  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  e. 
RR* )  /\  ( A. z  e.  Z  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  /\  A. z  e.  RR  ( z  < 
( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. k  e.  Z  z  <  k ) ) )  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  )
) )
15427, 32, 70, 152, 153syl22anc 1227 1  |-  ( ph  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805    C_ wss 3461   <.cop 4022   class class class wbr 4439    X. cxp 4986   dom cdm 4988   "cima 4991   Fun wfun 5564   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   supcsup 7892   RRcr 9480   -oocmnf 9615   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   +ecxad 11319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-2 10590  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator