Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrofsup Structured version   Unicode version

Theorem xrofsup 26189
Description: The supremum is preserved by extended addition set operation. (provided minus infinity is not involved as it does not behave well with addition) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrofsup.1  |-  ( ph  ->  X  C_  RR* )
xrofsup.2  |-  ( ph  ->  Y  C_  RR* )
xrofsup.3  |-  ( ph  ->  sup ( X ,  RR* ,  <  )  =/= -oo )
xrofsup.4  |-  ( ph  ->  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  =/= -oo )
xrofsup.5  |-  ( ph  ->  Z  =  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
xrofsup  |-  ( ph  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )

Proof of Theorem xrofsup
Dummy variables  a 
b  k  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrofsup.5 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  =  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )
2 xrofsup.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  C_  RR* )
32sseld 3453 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  ->  x  e.  RR* )
)
4 xrofsup.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  C_  RR* )
54sseld 3453 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  ->  y  e.  RR* )
)
63, 5anim12d 563 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  (
x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) ) )
76imp 429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )
)
8 xaddcl 11308 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x +e y )  e.  RR* )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x +e
y )  e.  RR* )
109ralrimivva 2904 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( x +e
y )  e.  RR* )
11 fveq2 5789 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( +e `  u )  =  ( +e `  <. x ,  y >. )
)
12 df-ov 6193 . . . . . . . 8  |-  ( x +e y )  =  ( +e `  <. x ,  y
>. )
1311, 12syl6eqr 2510 . . . . . . 7  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( +e `  u )  =  ( x +e y ) )
1413eleq1d 2520 . . . . . 6  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( +e `  u )  e.  RR*  <->  ( x +e y )  e. 
RR* ) )
1514ralxp 5079 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  ( X  X.  Y ) ( +e `  u )  e.  RR*  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( x +e
y )  e.  RR* )
1610, 15sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( X  X.  Y ) ( +e `  u )  e.  RR* )
17 xaddf 11295 . . . . . 6  |-  +e : ( RR*  X.  RR* )
--> RR*
18 ffun 5659 . . . . . 6  |-  ( +e : ( RR*  X. 
RR* ) --> RR*  ->  Fun 
+e )
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5  |-  Fun  +e
20 xpss12 5043 . . . . . . 7  |-  ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  ->  ( X  X.  Y )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
212, 4, 20syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  C_  ( RR*  X. 
RR* ) )
2217fdmi 5662 . . . . . 6  |-  dom  +e  =  ( RR*  X. 
RR* )
2321, 22syl6sseqr 3501 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  C_  dom  +e
)
24 funimass4 5841 . . . . 5  |-  ( ( Fun  +e  /\  ( X  X.  Y
)  C_  dom  +e
)  ->  ( ( +e " ( X  X.  Y ) ) 
C_  RR*  <->  A. u  e.  ( X  X.  Y ) ( +e `  u )  e.  RR* ) )
2519, 23, 24sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( +e " ( X  X.  Y ) )  C_  RR*  <->  A. u  e.  ( X  X.  Y ) ( +e `  u
)  e.  RR* )
)
2616, 25mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +e "
( X  X.  Y
) )  C_  RR* )
271, 26eqsstrd 3488 . 2  |-  ( ph  ->  Z  C_  RR* )
28 supxrcl 11378 . . . 4  |-  ( X 
C_  RR*  ->  sup ( X ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
292, 28syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( X ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
30 supxrcl 11378 . . . 4  |-  ( Y 
C_  RR*  ->  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
314, 30syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
3229, 31xaddcld 11365 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  e.  RR* )
331eleq2d 2521 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  <->  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) ) )
3433pm5.32i 637 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Z )  <->  ( ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) ) )
35 nfvd 1675 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  F/ x  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
36 nfvd 1675 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  F/ y 
z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
372ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  X  C_ 
RR* )
38 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  x  e.  X )
39 supxrub 11388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  C_  RR*  /\  x  e.  X )  ->  x  <_  sup ( X ,  RR* ,  <  ) )
4037, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  x  <_  sup ( X ,  RR* ,  <  ) )
414ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  Y  C_ 
RR* )
42 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  y  e.  Y )
43 supxrub 11388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  C_  RR*  /\  y  e.  Y )  ->  y  <_  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )
4441, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  y  <_  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )
4537, 38sseldd 3455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  x  e.  RR* )
4641, 42sseldd 3455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  y  e.  RR* )
4737, 28syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  sup ( X ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
4841, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
49 xle2add 11323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( sup ( X ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  e.  RR* ) )  -> 
( ( x  <_  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  y  <_  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( x +e y )  <_ 
( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )
5045, 46, 47, 48, 49syl22anc 1220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
( x  <_  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  y  <_  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( x +e y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )
5140, 44, 50mp2and 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x +e y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
5251ralrimivva 2904 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( x +e y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
53 fvelima 5842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  +e  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  E. u  e.  ( X  X.  Y ) ( +e `  u )  =  z )
5419, 53mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) )  ->  E. u  e.  ( X  X.  Y ) ( +e `  u
)  =  z )
5554adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  E. u  e.  ( X  X.  Y
) ( +e `  u )  =  z )
5613eqeq1d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( +e `  u )  =  z  <->  ( x +e y )  =  z ) )
5756rexxp 5080 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  ( X  X.  Y ) ( +e `  u
)  =  z  <->  E. x  e.  X  E. y  e.  Y  ( x +e y )  =  z )
5855, 57sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  Y  ( x +e y )  =  z )
5952, 58r19.29d2r 2959 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  Y  ( (
x +e y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  /\  ( x +e y )  =  z ) )
60 ancom 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x +e
y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  /\  ( x +e
y )  =  z )  <->  ( ( x +e y )  =  z  /\  (
x +e y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )
61602rexbii 2848 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  X  E. y  e.  Y  (
( x +e
y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  /\  ( x +e
y )  =  z )  <->  E. x  e.  X  E. y  e.  Y  ( ( x +e y )  =  z  /\  ( x +e y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )
6259, 61sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  Y  ( (
x +e y )  =  z  /\  ( x +e
y )  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )
63 breq1 4393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x +e y )  =  z  -> 
( ( x +e y )  <_ 
( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  <->  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )
6463biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x +e
y )  =  z  /\  ( x +e y )  <_ 
( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
6564reximi 2919 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  Y  ( ( x +e
y )  =  z  /\  ( x +e y )  <_ 
( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. y  e.  Y  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  )
) )
6665reximi 2919 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  X  E. y  e.  Y  (
( x +e
y )  =  z  /\  ( x +e y )  <_ 
( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  Y  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  )
) )
6762, 66syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  Y  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  )
) )
6835, 36, 6719.9d2r 25998 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )  ->  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  )
) )
6934, 68sylbi 195 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Z )  ->  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
7069ralrimiva 2822 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  Z  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
712ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  X  C_ 
RR* )
724ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  Y  C_ 
RR* )
73 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  z  e.  RR )
7429ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  sup ( X ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7531ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
76 xrofsup.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( X ,  RR* ,  <  )  =/= -oo )
7776ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  sup ( X ,  RR* ,  <  )  =/= -oo )
78 xrofsup.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  =/= -oo )
7978ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  =/= -oo )
80 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
8173, 74, 75, 77, 79, 80xlt2addrd 26185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
82 nfv 1674 . . . . . . . 8  |-  F/ b ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )
83 nfcv 2613 . . . . . . . . 9  |-  F/_ b RR*
84 nfre1 2881 . . . . . . . . 9  |-  F/ b E. b  e.  RR*  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )
8583, 84nfrex 2880 . . . . . . . 8  |-  F/ b E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )
8682, 85nfan 1863 . . . . . . 7  |-  F/ b ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
87 nfvd 1675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  F/ a E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) )
88 nfvd 1675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  F/ b E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) )
89 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  ->  ( X  C_  RR*  /\  Y  C_  RR* ) )
9089ralrimivw 2823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  ->  A. b  e.  RR*  ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )
)
9190ralrimivw 2823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )
)
9291adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )
)
93 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
9492, 93r19.29d2r 2959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( ( X 
C_  RR*  /\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )
95 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  ->  X  C_  RR* )
96 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  -> 
a  e.  RR* )
97 simplr2 1031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  -> 
a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  ) )
98 supxrlub 11389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  C_  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  (
a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  <->  E. v  e.  X  a  <  v ) )
9998biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  C_  RR*  /\  a  e.  RR* )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. v  e.  X  a  <  v )
10095, 96, 97, 99syl21anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  ->  E. v  e.  X  a  <  v )
101 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  ->  Y  C_  RR* )
102 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  -> 
b  e.  RR* )
103 simplr3 1032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  -> 
b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )
104 supxrlub 11389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Y  C_  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  )  <->  E. w  e.  Y  b  <  w ) )
105104biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Y  C_  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. w  e.  Y  b  <  w )
106101, 102, 103, 105syl21anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  ->  E. w  e.  Y  b  <  w )
107 reeanv 2984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. v  e.  X  E. w  e.  Y  (
a  <  v  /\  b  <  w )  <->  ( E. v  e.  X  a  <  v  /\  E. w  e.  Y  b  <  w ) )
108100, 106, 107sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  ->  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  ( a  <  v  /\  b  <  w ) )
109108ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  ->  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )
110 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( a  e. 
RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y  /\  ( a  <  v  /\  b  <  w ) ) )  ->  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
1111103anassrs 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
112111simp1d 1000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
z  =  ( a +e b ) )
113 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)
114 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( a  e. 
RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y  /\  ( a  <  v  /\  b  <  w ) ) )  ->  ( X  C_  RR*  /\  Y  C_  RR* ) )
1151143anassrs 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* ) )
116115simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  ->  X  C_  RR* )
117 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
v  e.  X )
118116, 117sseldd 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
v  e.  RR* )
119115simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  ->  Y  C_  RR* )
120 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  ->  w  e.  Y )
121119, 120sseldd 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  ->  w  e.  RR* )
122113, 118, 121jca32 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
( ( a  e. 
RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( v  e.  RR*  /\  w  e.  RR* ) ) )
123 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
( a  <  v  /\  b  <  w ) )
124122, 123jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
v  e.  RR*  /\  w  e.  RR* ) )  /\  ( a  <  v  /\  b  <  w ) ) )
125 xlt2add 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( v  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )
)  ->  ( (
a  <  v  /\  b  <  w )  -> 
( a +e
b )  <  (
v +e w ) ) )
126125imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e. 
RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( v  e.  RR*  /\  w  e.  RR* ) )  /\  ( a  <  v  /\  b  <  w ) )  ->  ( a +e b )  <  ( v +e w ) )
127 breq1 4393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( a +e b )  -> 
( z  <  (
v +e w )  <->  ( a +e b )  < 
( v +e
w ) ) )
128127biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  =  ( a +e b )  /\  ( a +e b )  < 
( v +e
w ) )  -> 
z  <  ( v +e w ) )
129126, 128sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  =  ( a +e b )  /\  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
v  e.  RR*  /\  w  e.  RR* ) )  /\  ( a  <  v  /\  b  <  w ) ) )  ->  z  <  ( v +e
w ) )
130112, 124, 129syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  /\  ( a  <  v  /\  b  < 
w ) )  -> 
z  <  ( v +e w ) )
131130ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  /\  w  e.  Y
)  ->  ( (
a  <  v  /\  b  <  w )  -> 
z  <  ( v +e w ) ) )
132131reximdva 2924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( a  e. 
RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  v  e.  X )  ->  ( E. w  e.  Y  ( a  < 
v  /\  b  <  w )  ->  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) ) )
133132reximdva 2924 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  ->  ( E. v  e.  X  E. w  e.  Y  ( a  <  v  /\  b  <  w )  ->  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) ) )
134109, 133mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) ) )  ->  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) )
135134ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( ( X  C_  RR* 
/\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) ) )
136135reximdva 2924 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  RR*  ->  ( E. b  e.  RR*  (
( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  (
z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. b  e.  RR*  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  (
v +e w ) ) )
137136reximia 2917 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( ( X 
C_  RR*  /\  Y  C_  RR* )  /\  ( z  =  ( a +e b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) )
13894, 137syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) )
13986, 87, 88, 13819.9d2rf 25997 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  C_  RR*  /\  Y  C_ 
RR* )  /\  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( z  =  ( a +e
b )  /\  a  <  sup ( X ,  RR* ,  <  )  /\  b  <  sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) )
14071, 72, 81, 139syl21anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w ) )
141 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y ) )  -> 
v  e.  X )
142 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y ) )  ->  w  e.  Y )
14323adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( X  X.  Y
)  C_  dom  +e
)
144141, 142, 19, 143elovimad 26090 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( v +e
w )  e.  ( +e " ( X  X.  Y ) ) )
1451eleq2d 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( v +e w )  e.  Z  <->  ( v +e w )  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) ) )
146145adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( v +e w )  e.  Z  <->  ( v +e w )  e.  ( +e "
( X  X.  Y
) ) ) )
147144, 146mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( v +e
w )  e.  Z
)
148 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  X  /\  w  e.  Y )
)  /\  k  =  ( v +e
w ) )  -> 
k  =  ( v +e w ) )
149148breq2d 4402 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  X  /\  w  e.  Y )
)  /\  k  =  ( v +e
w ) )  -> 
( z  <  k  <->  z  <  ( v +e w ) ) )
150147, 149rspcedv 3173 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( z  <  (
v +e w )  ->  E. k  e.  Z  z  <  k ) )
151150rexlimdvva 2944 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  (
v +e w )  ->  E. k  e.  Z  z  <  k ) )
152151ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  ( E. v  e.  X  E. w  e.  Y  z  <  ( v +e w )  ->  E. k  e.  Z  z  <  k ) )
153140, 152mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  E. k  e.  Z  z  <  k )
154153ex 434 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. k  e.  Z  z  <  k ) )
155154ralrimiva 2822 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. k  e.  Z  z  <  k ) )
156 supxr2 11377 . 2  |-  ( ( ( Z  C_  RR*  /\  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  e. 
RR* )  /\  ( A. z  e.  Z  z  <_  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  /\  A. z  e.  RR  ( z  < 
( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. k  e.  Z  z  <  k ) ) )  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  )
) )
15727, 32, 70, 155, 156syl22anc 1220 1  |-  ( ph  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  ( sup ( X ,  RR* ,  <  ) +e sup ( Y ,  RR* ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796    C_ wss 3426   <.cop 3981   class class class wbr 4390    X. cxp 4936   dom cdm 4938   "cima 4941   Fun wfun 5510   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   supcsup 7791   RRcr 9382   -oocmnf 9517   RR*cxr 9518    < clt 9519    <_ cle 9520   +ecxad 11188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-2 10481  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator