MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmin2 Structured version   Unicode version

Theorem xrmin2 11260
Description: The minimum of two extended reals is less than or equal to one of them. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrmin2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B )

Proof of Theorem xrmin2
StepHypRef Expression
1 xrleid 11237 . . . 4  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_  B )
2 iffalse 3906 . . . . 5  |-  ( -.  A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  =  B )
32breq1d 4409 . . . 4  |-  ( -.  A  <_  B  ->  ( if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B  <->  B  <_  B ) )
41, 3syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( -.  A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B ) )
5 iftrue 3904 . . . 4  |-  ( A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  =  A )
6 id 22 . . . 4  |-  ( A  <_  B  ->  A  <_  B )
75, 6eqbrtrd 4419 . . 3  |-  ( A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B )
84, 7pm2.61d2 160 . 2  |-  ( B  e.  RR*  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B )
98adantl 466 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   ifcif 3898   class class class wbr 4399   RR*cxr 9527    <_ cle 9529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534
This theorem is referenced by:  xrltmin  11264  xrlemin  11266  min2  11271  mnfnei  18956  stdbdxmet  20221  stdbdmet  20222  stdbdmopn  20224  tgioo  20504  metnrmlem1  20566  ismbfd  21250  dvferm1lem  21588  lhop1  21618  stoweid  30005
  Copyright terms: Public domain W3C validator