MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmin2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xrmin2 11480
Description: The minimum of two extended reals is less than or equal to one of them. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrmin2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B )

Proof of Theorem xrmin2
StepHypRef Expression
1 xrleid 11456 . . . 4  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_  B )
2 iffalse 3892 . . . . 5  |-  ( -.  A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  =  B )
32breq1d 4415 . . . 4  |-  ( -.  A  <_  B  ->  ( if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B  <->  B  <_  B ) )
41, 3syl5ibrcom 226 . . 3  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( -.  A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B ) )
5 iftrue 3889 . . . 4  |-  ( A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  =  A )
6 id 22 . . . 4  |-  ( A  <_  B  ->  A  <_  B )
75, 6eqbrtrd 4426 . . 3  |-  ( A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B )
84, 7pm2.61d2 164 . 2  |-  ( B  e.  RR*  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B )
98adantl 468 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    e. wcel 1889   ifcif 3883   class class class wbr 4405   RR*cxr 9679    <_ cle 9681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686
This theorem is referenced by:  xrltmin  11484  xrlemin  11486  min2  11491  mnfnei  20249  stdbdxmet  21542  stdbdmet  21543  stdbdmopn  21545  tgioo  21826  metnrmlem1  21888  metnrmlem1OLD  21903  ismbfd  22608  dvferm1lem  22948  lhop1  22978  stoweid  37935
  Copyright terms: Public domain W3C validator