MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmin1 Structured version   Unicode version

Theorem xrmin1 11263
Description: The minimum of two extended reals is less than or equal to one of them. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrmin1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  A )

Proof of Theorem xrmin1
StepHypRef Expression
1 iftrue 3908 . . . 4  |-  ( A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  =  A )
21adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  =  A )
3 xrleid 11241 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  A )
43ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  A
)
52, 4eqbrtrd 4423 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  A
)
6 iffalse 3910 . . . 4  |-  ( -.  A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  =  B )
76adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  =  B )
8 xrletri 11242 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
98orcanai 904 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  B  <_  A )
107, 9eqbrtrd 4423 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  A
)
115, 10pm2.61dan 789 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  A ,  B )  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ifcif 3902   class class class wbr 4403   RR*cxr 9531    <_ cle 9533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538
This theorem is referenced by:  xrltmin  11268  xrlemin  11270  min1  11274  mnfnei  18960  stdbdxmet  20225  stdbdmopn  20228  metnrmlem1a  20569  dvferm1lem  21592  lhop1  21622  stoweid  30026
  Copyright terms: Public domain W3C validator