MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmaxlt Structured version   Unicode version

Theorem xrmaxlt 11465
Description: Two ways of saying the maximum of two extended reals is less than a third. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrmaxlt  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C  <->  ( A  <  C  /\  B  < 
C ) ) )

Proof of Theorem xrmaxlt
StepHypRef Expression
1 xrmax1 11459 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
213adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
3 ifcl 3948 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  e.  RR* )
43ancoms 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  e.  RR* )
543adant3 1025 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  e.  RR* )
6 xrlelttr 11442 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C
)  ->  A  <  C ) )
75, 6syld3an2 1311 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C
)  ->  A  <  C ) )
82, 7mpand 679 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C  ->  A  <  C ) )
9 xrmax2 11460 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
1093adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
11 simp2 1006 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  B  e.  RR* )
12 simp3 1007 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  C  e.  RR* )
13 xrlelttr 11442 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C
)  ->  B  <  C ) )
1411, 5, 12, 13syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C
)  ->  B  <  C ) )
1510, 14mpand 679 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C  ->  B  <  C ) )
168, 15jcad 535 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C  ->  ( A  <  C  /\  B  <  C ) ) )
17 breq1 4420 . . . 4  |-  ( B  =  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  ->  ( B  <  C  <->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C
) )
18 breq1 4420 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  ->  ( A  <  C  <->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C
) )
1917, 18ifboth 3942 . . 3  |-  ( ( B  <  C  /\  A  <  C )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C )
2019ancoms 454 . 2  |-  ( ( A  <  C  /\  B  <  C )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C )
2116, 20impbid1 206 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C  <->  ( A  <  C  /\  B  < 
C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1867   ifcif 3906   class class class wbr 4417   RR*cxr 9663    < clt 9664    <_ cle 9665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670
This theorem is referenced by:  maxlt  11476  iooin  11659  txmetcnp  21499  mbfmax  22512  dvlip2  22854  ply1divmo  22993
  Copyright terms: Public domain W3C validator