MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmaxlt Structured version   Unicode version

Theorem xrmaxlt 11174
Description: Two ways of saying the maximum of two extended reals is less than a third. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrmaxlt  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C  <->  ( A  <  C  /\  B  < 
C ) ) )

Proof of Theorem xrmaxlt
StepHypRef Expression
1 xrmax1 11168 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
213adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
3 ifcl 3852 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  e.  RR* )
43ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  e.  RR* )
543adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  e.  RR* )
6 xrlelttr 11151 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C
)  ->  A  <  C ) )
75, 6syld3an2 1265 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C
)  ->  A  <  C ) )
82, 7mpand 675 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C  ->  A  <  C ) )
9 xrmax2 11169 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
1093adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
11 simp2 989 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  B  e.  RR* )
12 simp3 990 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  C  e.  RR* )
13 xrlelttr 11151 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C
)  ->  B  <  C ) )
1411, 5, 12, 13syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C
)  ->  B  <  C ) )
1510, 14mpand 675 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C  ->  B  <  C ) )
168, 15jcad 533 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C  ->  ( A  <  C  /\  B  <  C ) ) )
17 breq1 4316 . . . 4  |-  ( B  =  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  ->  ( B  <  C  <->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C
) )
18 breq1 4316 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  ->  ( A  <  C  <->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C
) )
1917, 18ifboth 3846 . . 3  |-  ( ( B  <  C  /\  A  <  C )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C )
2019ancoms 453 . 2  |-  ( ( A  <  C  /\  B  <  C )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C )
2116, 20impbid1 203 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C  <->  ( A  <  C  /\  B  < 
C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   ifcif 3812   class class class wbr 4313   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445
This theorem is referenced by:  maxlt  11185  iooin  11355  txmetcnp  20144  mbfmax  21149  dvlip2  21489  ply1divmo  21629
  Copyright terms: Public domain W3C validator