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Theorem xrmaxle 11478
Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than or equal to a third. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrmaxle  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <_  C  <->  ( A  <_  C  /\  B  <_  C ) ) )

Proof of Theorem xrmaxle
StepHypRef Expression
1 xrmax1 11470 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
213adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
3 ifcl 3957 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  e.  RR* )
43ancoms 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  e.  RR* )
543adant3 1025 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  e.  RR* )
6 xrletr 11455 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <_  C
)  ->  A  <_  C ) )
75, 6syld3an2 1311 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <_  C
)  ->  A  <_  C ) )
82, 7mpand 679 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <_  C  ->  A  <_  C ) )
9 xrmax2 11471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
1093adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
11 simp2 1006 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  B  e.  RR* )
12 simp3 1007 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  C  e.  RR* )
13 xrletr 11455 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <_  C
)  ->  B  <_  C ) )
1411, 5, 12, 13syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  /\  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <_  C
)  ->  B  <_  C ) )
1510, 14mpand 679 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <_  C  ->  B  <_  C ) )
168, 15jcad 535 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <_  C  ->  ( A  <_  C  /\  B  <_  C ) ) )
17 breq1 4429 . . . 4  |-  ( B  =  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  ->  ( B  <_  C  <->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <_  C
) )
18 breq1 4429 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  ->  ( A  <_  C  <->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <_  C
) )
1917, 18ifboth 3951 . . 3  |-  ( ( B  <_  C  /\  A  <_  C )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <_  C )
2019ancoms 454 . 2  |-  ( ( A  <_  C  /\  B  <_  C )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <_  C )
2116, 20impbid1 206 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <_  C  <->  ( A  <_  C  /\  B  <_  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1870   ifcif 3915   class class class wbr 4426   RR*cxr 9673    <_ cle 9675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680
This theorem is referenced by:  maxle  11485  mbfmax  22482  itgspliticc  22671  deg1addle2  22928  deg1sublt  22936  cvmliftlem10  29805
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