MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmax2 Structured version   Unicode version

Theorem xrmax2 11251
Description: An extended real is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrmax2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )

Proof of Theorem xrmax2
StepHypRef Expression
1 xrleid 11230 . . . 4  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_  B )
21ad2antlr 726 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  B  <_  B
)
3 iftrue 3897 . . . 4  |-  ( A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  B )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  B )
52, 4breqtrrd 4418 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A )
)
6 xrletri 11231 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
76orcanai 904 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  B  <_  A )
8 iffalse 3899 . . . 4  |-  ( -.  A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  A )
98adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  A )
107, 9breqtrrd 4418 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
115, 10pm2.61dan 789 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ifcif 3891   class class class wbr 4392   RR*cxr 9520    <_ cle 9522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527
This theorem is referenced by:  xrmaxlt  11256  xrmaxle  11258  max2  11262  limsupgre  13063  pnfnei  18942  tgioo  20491  dvferm2lem  21576  mdegaddle  21663  plypf1  21798
  Copyright terms: Public domain W3C validator