MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmax2 Structured version   Unicode version

Theorem xrmax2 11373
Description: An extended real is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrmax2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )

Proof of Theorem xrmax2
StepHypRef Expression
1 xrleid 11352 . . . 4  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_  B )
21ad2antlr 726 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  B  <_  B
)
3 iftrue 3945 . . . 4  |-  ( A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  B )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  B )
52, 4breqtrrd 4473 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A )
)
6 xrletri 11353 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
76orcanai 911 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  B  <_  A )
8 iffalse 3948 . . . 4  |-  ( -.  A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  A )
98adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  A )
107, 9breqtrrd 4473 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  -.  A  <_  B
)  ->  B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
115, 10pm2.61dan 789 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  B  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3939   class class class wbr 4447   RR*cxr 9623    <_ cle 9625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630
This theorem is referenced by:  xrmaxlt  11378  xrmaxle  11380  max2  11384  limsupgre  13263  pnfnei  19487  tgioo  21036  dvferm2lem  22122  mdegaddle  22209  plypf1  22344
  Copyright terms: Public domain W3C validator