Theorem xrmax1 11365

Description: An extended real is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrmax1	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )

Proof of Theorem xrmax1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrleid 11345	. . . 4 |- ( A e. RR* -> A <_ A )
2		iffalse 3941	. . . . 5 |- ( -. A <_ B -> if ( A <_ B , B , A ) = A )
3	2	breq2d 4452	. . . 4 |- ( -. A <_ B -> ( A <_ if ( A <_ B , B , A ) <-> A <_ A ) )
4	1, 3	syl5ibrcom 222	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( -. A <_ B -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) ) )
5		id 22	. . . 4 |- ( A <_ B -> A <_ B )
6		iftrue 3938	. . . 4 |- ( A <_ B -> if ( A <_ B , B , A ) = B )
7	5, 6	breqtrrd 4466	. . 3 |- ( A <_ B -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )
8	4, 7	pm2.61d2 160	. 2 |- ( A e. RR* -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )
9	8	adantr 465	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1762   ifcif 3932   class class class wbr 4440   RR*cxr 9616   <_ cle 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623

This theorem is referenced by:  xrmaxlt  11371  xrmaxle  11373  max1  11375  limsupgre  13253  pnfnei  19480  ismbfd  21775  dvferm2lem  22115  mdegaddle  22202