Theorem xrmax1 11416

Description: An extended real is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrmax1	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )

Proof of Theorem xrmax1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrleid 11395	. . . 4 |- ( A e. RR* -> A <_ A )
2		iffalse 3858	. . . . 5 |- ( -. A <_ B -> if ( A <_ B , B , A ) = A )
3	2	breq2d 4373	. . . 4 |- ( -. A <_ B -> ( A <_ if ( A <_ B , B , A ) <-> A <_ A ) )
4	1, 3	syl5ibrcom 225	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( -. A <_ B -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) ) )
5		id 22	. . . 4 |- ( A <_ B -> A <_ B )
6		iftrue 3855	. . . 4 |- ( A <_ B -> if ( A <_ B , B , A ) = B )
7	5, 6	breqtrrd 4388	. . 3 |- ( A <_ B -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )
8	4, 7	pm2.61d2 163	. 2 |- ( A e. RR* -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )
9	8	adantr 466	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 370   e. wcel 1872   ifcif 3849   class class class wbr 4361   RR*cxr 9620   <_ cle 9622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-uni 4158  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627

This theorem is referenced by:  xrmaxlt  11422  xrmaxle  11424  max1  11426  limsupgre  13480  limsupgreOLD  13481  pnfnei  20173  ismbfd  22533  dvferm2lem  22875  mdegaddle  22960