Theorem xrmax1 11429

Description: An extended real is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrmax1	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )

Proof of Theorem xrmax1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrleid 11409	. . . 4 |- ( A e. RR* -> A <_ A )
2		iffalse 3894	. . . . 5 |- ( -. A <_ B -> if ( A <_ B , B , A ) = A )
3	2	breq2d 4407	. . . 4 |- ( -. A <_ B -> ( A <_ if ( A <_ B , B , A ) <-> A <_ A ) )
4	1, 3	syl5ibrcom 222	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( -. A <_ B -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) ) )
5		id 22	. . . 4 |- ( A <_ B -> A <_ B )
6		iftrue 3891	. . . 4 |- ( A <_ B -> if ( A <_ B , B , A ) = B )
7	5, 6	breqtrrd 4421	. . 3 |- ( A <_ B -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )
8	4, 7	pm2.61d2 160	. 2 |- ( A e. RR* -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )
9	8	adantr 463	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   e. wcel 1842   ifcif 3885   class class class wbr 4395   RR*cxr 9657   <_ cle 9659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664

This theorem is referenced by:  xrmaxlt  11435  xrmaxle  11437  max1  11439  limsupgre  13453  pnfnei  20014  ismbfd  22339  dvferm2lem  22679  mdegaddle  22766