MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmax1 Structured version   Unicode version

Theorem xrmax1 11416
Description: An extended real is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrmax1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )

Proof of Theorem xrmax1
StepHypRef Expression
1 xrleid 11395 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  A )
2 iffalse 3858 . . . . 5  |-  ( -.  A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  A )
32breq2d 4373 . . . 4  |-  ( -.  A  <_  B  ->  ( A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <->  A  <_  A ) )
41, 3syl5ibrcom 225 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -.  A  <_  B  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) ) )
5 id 22 . . . 4  |-  ( A  <_  B  ->  A  <_  B )
6 iftrue 3855 . . . 4  |-  ( A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  B )
75, 6breqtrrd 4388 . . 3  |-  ( A  <_  B  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
84, 7pm2.61d2 163 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
98adantr 466 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1872   ifcif 3849   class class class wbr 4361   RR*cxr 9620    <_ cle 9622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-uni 4158  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627
This theorem is referenced by:  xrmaxlt  11422  xrmaxle  11424  max1  11426  limsupgre  13480  limsupgreOLD  13481  pnfnei  20173  ismbfd  22533  dvferm2lem  22875  mdegaddle  22960
  Copyright terms: Public domain W3C validator