Theorem xrmax1 11250

Description: An extended real is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrmax1	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )

Proof of Theorem xrmax1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrleid 11230	. . . 4 |- ( A e. RR* -> A <_ A )
2		iffalse 3899	. . . . 5 |- ( -. A <_ B -> if ( A <_ B , B , A ) = A )
3	2	breq2d 4404	. . . 4 |- ( -. A <_ B -> ( A <_ if ( A <_ B , B , A ) <-> A <_ A ) )
4	1, 3	syl5ibrcom 222	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( -. A <_ B -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) ) )
5		id 22	. . . 4 |- ( A <_ B -> A <_ B )
6		iftrue 3897	. . . 4 |- ( A <_ B -> if ( A <_ B , B , A ) = B )
7	5, 6	breqtrrd 4418	. . 3 |- ( A <_ B -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )
8	4, 7	pm2.61d2 160	. 2 |- ( A e. RR* -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )
9	8	adantr 465	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1758   ifcif 3891   class class class wbr 4392   RR*cxr 9520   <_ cle 9522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527

This theorem is referenced by:  xrmaxlt  11256  xrmaxle  11258  max1  11260  limsupgre  13063  pnfnei  18942  ismbfd  21236  dvferm2lem  21576  mdegaddle  21663