Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrlttri5d Structured version   Unicode version

Theorem xrlttri5d 37102
Description: Not equal and not larger implies smaller. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttri5d.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
xrlttri5d.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
xrlttri5d.aneb  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
xrlttri5d.nlt  |-  ( ph  ->  -.  B  <  A
)
Assertion
Ref Expression
xrlttri5d  |-  ( ph  ->  A  <  B )

Proof of Theorem xrlttri5d
StepHypRef Expression
1 xrlttri5d.aneb . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
21neneqd 2632 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  A  =  B )
3 xrlttri5d.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
4 xrlttri5d.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
5 xrlttri3 11442 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) ) )
63, 4, 5syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  < 
B  /\  -.  B  <  A ) ) )
72, 6mtbid 301 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) )
8 oran 498 . . . . 5  |-  ( ( A  <  B  \/  B  <  A )  <->  -.  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) )
97, 8sylibr 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) )
10 xrlttri5d.nlt . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  B  <  A
)
119, 10jca 534 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  < 
B  \/  B  < 
A )  /\  -.  B  <  A ) )
12 pm5.61 717 . . 3  |-  ( ( ( A  <  B  \/  B  <  A )  /\  -.  B  < 
A )  <->  ( A  <  B  /\  -.  B  <  A ) )
1311, 12sylib 199 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  /\  -.  B  <  A
) )
1413simpld 460 1  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   class class class wbr 4426   RR*cxr 9673    < clt 9674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679
This theorem is referenced by:  lttri5d  37126
  Copyright terms: Public domain W3C validator