Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrlttri5d Structured version   Unicode version

Theorem xrlttri5d 31365
Description: Not equal and not larger implies smaller. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttri5d.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
xrlttri5d.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
xrlttri5d.aneb  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
xrlttri5d.nlt  |-  ( ph  ->  -.  B  <  A
)
Assertion
Ref Expression
xrlttri5d  |-  ( ph  ->  A  <  B )

Proof of Theorem xrlttri5d
StepHypRef Expression
1 xrlttri5d.aneb . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
21neneqd 2669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  A  =  B )
3 xrlttri5d.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
4 xrlttri5d.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
53, 4jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
6 xrlttri3 11361 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) ) )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  < 
B  /\  -.  B  <  A ) ) )
82, 7mtbid 300 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) )
9 oran 496 . . . . 5  |-  ( ( A  <  B  \/  B  <  A )  <->  -.  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) )
108, 9sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) )
11 xrlttri5d.nlt . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  B  <  A
)
1210, 11jca 532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  < 
B  \/  B  < 
A )  /\  -.  B  <  A ) )
13 pm5.61 712 . . 3  |-  ( ( ( A  <  B  \/  B  <  A )  /\  -.  B  < 
A )  <->  ( A  <  B  /\  -.  B  <  A ) )
1412, 13sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  /\  -.  B  <  A
) )
1514simpld 459 1  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4453   RR*cxr 9639    < clt 9640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645
This theorem is referenced by:  lttri5d  31399
  Copyright terms: Public domain W3C validator