MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltso Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xrltso 11463
Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrltso  |-  <  Or  RR*

Proof of Theorem xrltso
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlttri 11461 . 2  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  -.  (
x  =  y  \/  y  <  x ) ) )
2 xrlttr 11462 . 2  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z
) )
31, 2isso2i 4792 1  |-  <  Or  RR*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    Or wor 4759   RR*cxr 9692    < clt 9693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698
This theorem is referenced by:  xrlttri2  11464  xrlttri3  11465  xrltne  11483  xmullem  11575  xmulasslem  11596  supxr  11623  supxrcl  11625  supxrun  11626  infmxrclOLD  11627  supxrmnf  11628  supxrunb1  11630  supxrunb2  11631  supxrub  11635  supxrlub  11636  infxrcl  11644  infxrlb  11645  infxrgelb  11646  xrinf0  11648  infmxrlbOLD  11649  infmxrgelbOLD  11650  xrinfm0OLD  11652  infmremnf  11658  limsupval  13608  limsupvalOLD  13609  limsupgval  13611  limsupgre  13619  limsupgreOLD  13620  ramval  15039  ramvalOLD  15040  ramcl2lem  15041  ramcl2lemOLD  15042  prdsdsfn  15441  prdsdsval  15454  imasdsfn  15493  imasdsval  15494  imasdsfnOLD  15505  imasdsvalOLD  15506  prdsmet  21463  xpsdsval  21474  prdsbl  21584  tmsxpsval2  21632  nmoval  21798  nmovalOLD  21817  xrge0tsms2  21931  metdsval  21942  metdsvalOLD  21957  iccpnfhmeo  22051  xrhmeo  22052  ovolval  22504  ovolvalOLD  22505  ovolf  22513  ovolctb  22521  itg2val  22765  mdegval  23091  mdegldg  23094  mdegxrf  23096  mdegcl  23097  aannenlem2  23364  nmooval  26485  nmoo0  26513  nmopval  27590  nmfnval  27610  nmop0  27720  nmfn0  27721  xrsupssd  28414  xrge0infssd  28417  xrge0infssdOLD  28418  infxrge0lb  28421  infxrge0lbOLD  28422  infxrge0glb  28423  infxrge0glbOLD  28424  infxrge0gelb  28425  infxrge0gelbOLD  28426  xrsclat  28517  xrge0iifiso  28815  esumval  28941  esumnul  28943  esum0  28944  gsumesum  28954  esumsnf  28959  esumpcvgval  28973  esum2d  28988  omsfval  29191  omsf  29193  omsfvalOLD  29195  omsfOLD  29197  oms0  29198  omssubaddlem  29200  omssubadd  29201  oms0OLD  29202  omssubaddlemOLD  29204  omssubaddOLD  29205  mblfinlem2  32042  ovoliunnfl  32046  voliunnfl  32048  volsupnfl  32049  itg2addnclem  32057  radcnvrat  36733  infxrglb  37650  xrgtso  37655  infxr  37677  infxrunb2  37678  etransclem48OLD  38259  etransclem48  38260  sge0val  38322  sge0z  38331  sge00  38332  sge0sn  38335  sge0tsms  38336  ovnval2  38485
  Copyright terms: Public domain W3C validator