MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltso Structured version   Unicode version

Theorem xrltso 11347
Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrltso  |-  <  Or  RR*

Proof of Theorem xrltso
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlttri 11345 . 2  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  -.  (
x  =  y  \/  y  <  x ) ) )
2 xrlttr 11346 . 2  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z
) )
31, 2isso2i 4832 1  |-  <  Or  RR*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    Or wor 4799   RR*cxr 9627    < clt 9628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633
This theorem is referenced by:  xrlttri2  11348  xrlttri3  11349  xrltne  11366  xmullem  11456  xmulasslem  11477  supxr  11504  supxrcl  11506  supxrun  11507  infmxrcl  11508  supxrmnf  11509  supxrunb1  11511  supxrunb2  11512  supxrub  11516  supxrlub  11517  infmxrlb  11525  infmxrgelb  11526  xrinfm0  11528  limsupval  13260  limsupgval  13262  limsupgre  13267  ramval  14385  ramcl2lem  14386  prdsdsfn  14720  prdsdsval  14733  imasdsfn  14769  imasdsval  14770  prdsmet  20636  xpsdsval  20647  prdsbl  20757  tmsxpsval2  20805  nmoval  20985  xrge0tsms2  21103  metdsval  21114  iccpnfhmeo  21208  xrhmeo  21209  ovolval  21648  ovolf  21656  ovolctb  21664  itg2val  21898  mdegval  22225  mdegvalOLD  22226  mdegldg  22229  mdegxrf  22231  mdegcl  22232  aannenlem2  22487  nmooval  25382  nmoo0  25410  nmopval  26479  nmfnval  26499  nmop0  26609  nmfn0  26610  xrsupssd  27275  xrge0infssd  27277  xrsclat  27358  xrge0iifiso  27581  esumval  27725  esumnul  27727  esum0  27728  gsumesum  27735  esumsn  27740  esumpcvgval  27752  omsfval  27933  oms0  27934  mblfinlem2  29657  ovoliunnfl  29661  voliunnfl  29663  volsupnfl  29664  itg2addnclem  29671
  Copyright terms: Public domain W3C validator