MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltso Structured version   Unicode version

Theorem xrltso 11440
Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrltso  |-  <  Or  RR*

Proof of Theorem xrltso
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlttri 11438 . 2  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  -.  (
x  =  y  \/  y  <  x ) ) )
2 xrlttr 11439 . 2  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z
) )
31, 2isso2i 4807 1  |-  <  Or  RR*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    Or wor 4774   RR*cxr 9673    < clt 9674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679
This theorem is referenced by:  xrlttri2  11441  xrlttri3  11442  xrltne  11460  xmullem  11550  xmulasslem  11571  supxr  11598  supxrcl  11600  supxrun  11601  infmxrclOLD  11602  supxrmnf  11603  supxrunb1  11605  supxrunb2  11606  supxrub  11610  supxrlub  11611  infxrcl  11619  infxrlb  11620  infxrgelb  11621  xrinf0  11623  infmxrlbOLD  11624  infmxrgelbOLD  11625  xrinfm0OLD  11627  infmremnf  11633  limsupval  13509  limsupvalOLD  13510  limsupgval  13512  limsupgre  13520  limsupgreOLD  13521  ramval  14923  ramvalOLD  14924  ramcl2lem  14925  ramcl2lemOLD  14926  prdsdsfn  15326  prdsdsval  15339  imasdsfn  15375  imasdsval  15376  prdsmet  21320  xpsdsval  21331  prdsbl  21441  tmsxpsval2  21489  nmoval  21651  xrge0tsms2  21768  metdsval  21779  iccpnfhmeo  21873  xrhmeo  21874  ovolval  22311  ovolvalOLD  22312  ovolf  22320  ovolctb  22328  itg2val  22571  mdegval  22897  mdegldg  22900  mdegxrf  22902  mdegcl  22903  aannenlem2  23158  nmooval  26257  nmoo0  26285  nmopval  27352  nmfnval  27372  nmop0  27482  nmfn0  27483  xrsupssd  28188  xrge0infssd  28190  infxrge0lb  28193  infxrge0glb  28194  infxrge0gelb  28195  xrsclat  28287  xrge0iifiso  28588  esumval  28714  esumnul  28716  esum0  28717  gsumesum  28727  esumsnf  28732  esumpcvgval  28746  esum2d  28761  omsfval  28963  omsf  28965  oms0  28966  omssubaddlem  28968  omssubadd  28969  mblfinlem2  31693  ovoliunnfl  31697  voliunnfl  31699  volsupnfl  31700  itg2addnclem  31708  radcnvrat  36315  etransclem48  37729  sge0val  37757  sge0z  37766  sge00  37767  sge0sn  37770  sge0tsms  37771
  Copyright terms: Public domain W3C validator