Theorem xrltnle 6671

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to', for extended reals.

Assertion

Ref	Expression
xrltnle	|- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A < B <-> -. B <_ A))

Proof of Theorem xrltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenlt 6670	. . 3 |- ((B e. RR* /\ A e. RR*) -> (B <_ A <-> -. A < B))
2	1	con2bid 585	. 2 |- ((B e. RR* /\ A e. RR*) -> (A < B <-> -. B <_ A))
3	2	ancoms 484	1 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A < B <-> -. B <_ A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   class class class wbr 3338   <_ cle 6448  RR*cxr 6652   < clt 6653

This theorem is referenced by:  xrletri 6736  ioo0 7535  cdrci 10182  lvsovso2 15039  supnuf 15041  supexr 15043  ioodisj 15364

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-le 6658

Copyright terms: Public domain