MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltnle Structured version   Unicode version

Theorem xrltnle 9443
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to', for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrltnle  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A ) )

Proof of Theorem xrltnle
StepHypRef Expression
1 xrlenlt 9442 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
21con2bid 329 . 2  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A ) )
32ancoms 453 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-br 4293  df-opab 4351  df-xp 4846  df-cnv 4848  df-le 9424
This theorem is referenced by:  xrletri  11128  qextltlem  11172  xralrple  11175  xltadd1  11219  xsubge0  11224  xposdif  11225  xltmul1  11255  ioo0  11325  ico0  11346  ioc0  11347  snunioo  11411  snunioc  11413  difreicc  11417  hashbnd  12109  limsuplt  12957  pcadd  13951  pcadd2  13952  ramubcl  14079  ramlb  14080  leordtvallem1  18814  leordtvallem2  18815  leordtval2  18816  leordtval  18817  lecldbas  18823  blcld  20080  stdbdbl  20092  tmsxpsval2  20114  iocmnfcld  20348  xrsxmet  20386  metdsge  20425  bndth  20530  ovolgelb  20963  ovolunnul  20983  ioombl  21046  volsup2  21085  mbfmax  21127  ismbf3d  21132  itg2seq  21220  itg2monolem2  21229  itg2monolem3  21230  lhop2  21487  mdegleb  21535  deg1ge  21570  deg1add  21575  ig1pdvds  21648  plypf1  21680  radcnvlt1  21883  umgrafi  23256  xrdifh  26070  xrge00  26147  xrge0neqmnf  26152  gsumesum  26510  itg2gt0cn  28447  asindmre  28479  dvasin  28480  stoweidlem34  29829
  Copyright terms: Public domain W3C validator