MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltne Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xrltne 11489
Description: 'Less than' implies not equal for extended reals. (Contributed by NM, 20-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltne  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  B  =/=  A )

Proof of Theorem xrltne
StepHypRef Expression
1 orc 391 . . . 4  |-  ( A  <  B  ->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) )
2 xrltso 11469 . . . . . 6  |-  <  Or  RR*
3 sotrieq 4801 . . . . . 6  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* ) )  -> 
( A  =  B  <->  -.  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
42, 3mpan 681 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  -.  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
54necon2abid 2678 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A  <  B  \/  B  <  A )  <-> 
A  =/=  B ) )
61, 5syl5ib 227 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  A  =/=  B ) )
763impia 1212 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  A  =/=  B )
87necomd 2691 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  B  =/=  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   class class class wbr 4416    Or wor 4773   RR*cxr 9700    < clt 9701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706
This theorem is referenced by:  xmulpnf1  11589  supxrbnd  11643  sgnp  13202  sgnn  13206  xrsdsreclblem  19063  supxrnemnf  28403  xrgtned  37583  icoiccdif  37663  cncfiooicclem1  37809
  Copyright terms: Public domain W3C validator