MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltmin Structured version   Unicode version

Theorem xrltmin 11435
Description: Two ways of saying an extended real is less than the minimum of two others. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrltmin  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <->  ( A  <  B  /\  A  < 
C ) ) )

Proof of Theorem xrltmin
StepHypRef Expression
1 xrmin1 11430 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B )
213adant1 1015 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B )
3 simp1 997 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  A  e.  RR* )
4 ifcl 3926 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR* )
543adant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR* )
6 simp2 998 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  B  e.  RR* )
7 xrltletr 11412 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B
)  ->  A  <  B ) )
83, 5, 6, 7syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B
)  ->  A  <  B ) )
92, 8mpan2d 672 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  A  <  B ) )
10 xrmin2 11431 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C )
11103adant1 1015 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C )
12 xrltletr 11412 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C
)  ->  A  <  C ) )
135, 12syld3an2 1277 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C
)  ->  A  <  C ) )
1411, 13mpan2d 672 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  A  <  C ) )
159, 14jcad 531 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  ( A  <  B  /\  A  <  C ) ) )
16 breq2 4398 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  ( A  <  B  <->  A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C ) ) )
17 breq2 4398 . . 3  |-  ( C  =  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  ( A  <  C  <->  A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C ) ) )
1816, 17ifboth 3920 . 2  |-  ( ( A  <  B  /\  A  <  C )  ->  A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C ) )
1915, 18impbid1 203 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <->  ( A  <  B  /\  A  < 
C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842   ifcif 3884   class class class wbr 4394   RR*cxr 9656    < clt 9657    <_ cle 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663
This theorem is referenced by:  ltmin  11446  iooin  11615  blin  21214  lhop1  22705  ioondisj1  36875
  Copyright terms: Public domain W3C validator