MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltmin Structured version   Unicode version

Theorem xrltmin 11379
Description: Two ways of saying an extended real is less than the minimum of two others. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrltmin  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <->  ( A  <  B  /\  A  < 
C ) ) )

Proof of Theorem xrltmin
StepHypRef Expression
1 xrmin1 11374 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B )
213adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B )
3 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  A  e.  RR* )
4 ifcl 3981 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR* )
543adant1 1014 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR* )
6 simp2 997 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  B  e.  RR* )
7 xrltletr 11356 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B
)  ->  A  <  B ) )
83, 5, 6, 7syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B
)  ->  A  <  B ) )
92, 8mpan2d 674 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  A  <  B ) )
10 xrmin2 11375 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C )
11103adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C )
12 xrltletr 11356 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C
)  ->  A  <  C ) )
135, 12syld3an2 1275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C
)  ->  A  <  C ) )
1411, 13mpan2d 674 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  A  <  C ) )
159, 14jcad 533 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  ( A  <  B  /\  A  <  C ) ) )
16 breq2 4451 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  ( A  <  B  <->  A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C ) ) )
17 breq2 4451 . . 3  |-  ( C  =  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  ( A  <  C  <->  A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C ) ) )
1816, 17ifboth 3975 . 2  |-  ( ( A  <  B  /\  A  <  C )  ->  A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C ) )
1915, 18impbid1 203 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <->  ( A  <  B  /\  A  < 
C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   ifcif 3939   class class class wbr 4447   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630
This theorem is referenced by:  ltmin  11390  iooin  11559  blin  20656  lhop1  22147  ioondisj1  31090
  Copyright terms: Public domain W3C validator