MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltmin Structured version   Unicode version

Theorem xrltmin 11268
Description: Two ways of saying an extended real is less than the minimum of two others. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrltmin  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <->  ( A  <  B  /\  A  < 
C ) ) )

Proof of Theorem xrltmin
StepHypRef Expression
1 xrmin1 11263 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B )
213adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B )
3 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  A  e.  RR* )
4 ifcl 3942 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR* )
543adant1 1006 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR* )
6 simp2 989 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  B  e.  RR* )
7 xrltletr 11245 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B
)  ->  A  <  B ) )
83, 5, 6, 7syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B
)  ->  A  <  B ) )
92, 8mpan2d 674 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  A  <  B ) )
10 xrmin2 11264 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C )
11103adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C )
12 xrltletr 11245 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C
)  ->  A  <  C ) )
135, 12syld3an2 1266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C
)  ->  A  <  C ) )
1411, 13mpan2d 674 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  A  <  C ) )
159, 14jcad 533 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  ( A  <  B  /\  A  <  C ) ) )
16 breq2 4407 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  ( A  <  B  <->  A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C ) ) )
17 breq2 4407 . . 3  |-  ( C  =  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  ( A  <  C  <->  A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C ) ) )
1816, 17ifboth 3936 . 2  |-  ( ( A  <  B  /\  A  <  C )  ->  A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C ) )
1915, 18impbid1 203 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <->  ( A  <  B  /\  A  < 
C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758   ifcif 3902   class class class wbr 4403   RR*cxr 9531    < clt 9532    <_ cle 9533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538
This theorem is referenced by:  ltmin  11279  iooin  11448  blin  20131  lhop1  21622
  Copyright terms: Public domain W3C validator