MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltletrd Structured version   Unicode version

Theorem xrltletrd 11416
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
xrlttrd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
xrlttrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
xrltletrd.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
xrltletrd.5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
xrltletrd  |-  ( ph  ->  A  <  C )

Proof of Theorem xrltletrd
StepHypRef Expression
1 xrltletrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 xrltletrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
3 xrlttrd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
4 xrlttrd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
5 xrlttrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
6 xrltletr 11412 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1230 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C ) )
81, 2, 7mp2and 677 1  |-  ( ph  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   RR*cxr 9656    < clt 9657    <_ cle 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663
This theorem is referenced by:  xlt2add  11504  xadddi2  11541  supxrre  11571  infmxrre  11579  ixxlb  11603  elico2  11640  elicc2  11641  caucvgrlem  13642  isnzr2hash  18230  xrsdsreclblem  18782  xblss2ps  21194  xblss2  21195  tgioo  21591  xrge0tsms  21629  xrhmeo  21736  ovoliunlem1  22203  ovoliun  22206  ioombl1lem2  22259  vitalilem4  22310  itg2monolem2  22448  itg2gt0  22457  dvferm1lem  22675  dvferm2lem  22677  lhop1lem  22704  pserdvlem2  23113  abelthlem3  23118  logtayl  23333  xrge0tsmsd  28214  esum2d  28526  relowlssretop  31266  itg2gt0cn  31423  areacirclem5  31462  elicore  36886  icoopn  36914  limsupre  36996  fourierdlem27  37265  fourierdlem87  37325
  Copyright terms: Public domain W3C validator