MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltletrd Structured version   Unicode version

Theorem xrltletrd 11127
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
xrlttrd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
xrlttrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
xrltletrd.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
xrltletrd.5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
xrltletrd  |-  ( ph  ->  A  <  C )

Proof of Theorem xrltletrd
StepHypRef Expression
1 xrltletrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 xrltletrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
3 xrlttrd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
4 xrlttrd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
5 xrlttrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
6 xrltletr 11123 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C ) )
81, 2, 7mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416
This theorem is referenced by:  xlt2add  11215  xadddi2  11252  supxrre  11282  infmxrre  11290  ixxlb  11314  elico2  11351  elicc2  11352  caucvgrlem  13142  xrsdsreclblem  17834  xblss2ps  19951  xblss2  19952  tgioo  20348  xrge0tsms  20386  xrhmeo  20493  ovoliunlem1  20960  ovoliun  20963  ioombl1lem2  21015  vitalilem4  21066  itg2monolem2  21204  itg2gt0  21213  dvferm1lem  21431  dvferm2lem  21433  lhop1lem  21460  pserdvlem2  21868  abelthlem3  21873  logtayl  22080  xrge0tsmsd  26204  itg2gt0cn  28400  areacirclem5  28441  isnzr2hash  30725
  Copyright terms: Public domain W3C validator