MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltletr Structured version   Unicode version

Theorem xrltletr 11359
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltletr  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C
) )

Proof of Theorem xrltletr
StepHypRef Expression
1 xrleloe 11349 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
213adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
3 xrlttr 11345 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
43expcomd 438 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( B  <  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
5 breq2 4451 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <  B  <->  A  <  C ) )
65biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) )
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( B  =  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
84, 7jaod 380 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( B  <  C  \/  B  =  C
)  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
92, 8sylbid 215 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( B  <_  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
109com23 78 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  <_  C  ->  A  <  C ) ) )
1110impd 431 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RR*cxr 9626    < clt 9627    <_ cle 9628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633
This theorem is referenced by:  xrltletrd  11363  xrre2  11370  xrre3  11371  ge0gtmnf  11372  xrltmin  11382  supxrunb1  11510  iooss2  11564  ioc0  11575  iccssioo  11592  icossico  11593  icossioo  11614  ioossioo  11615  icoun  11643  ioojoin  11650  lecldbas  19502  mnfnei  19504  icopnfcld  21026  ovolicopnf  21686  voliunlem3  21713  volsup  21717  ioombl  21726  volivth  21767  itg2seq  21900  itg2monolem2  21909  dvfsumrlimge0  22182  dvfsumrlim2  22184  itgsubst  22201  abelth  22586  tanord1  22673  rlimcnp  23039  rlimcnp2  23040  dchrisum0lem2a  23446  pnt  23543  joiniooico  27269  esumfsup  27732  heicant  29642  itg2gt0cn  29663  ftc1cnnclem  29681  ftc1anclem7  29689  ftc1anclem8  29690  ftc1anc  29691  ftc2nc  29692  asindmre  29695  ioounsn  30798  snunioo2  31124
  Copyright terms: Public domain W3C validator