MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltletr Structured version   Unicode version

Theorem xrltletr 11131
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltletr  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C
) )

Proof of Theorem xrltletr
StepHypRef Expression
1 xrleloe 11121 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
213adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
3 xrlttr 11117 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
43expcomd 438 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( B  <  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
5 breq2 4296 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <  B  <->  A  <  C ) )
65biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) )
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( B  =  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
84, 7jaod 380 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( B  <  C  \/  B  =  C
)  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
92, 8sylbid 215 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( B  <_  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
109com23 78 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  <_  C  ->  A  <  C ) ) )
1110impd 431 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424
This theorem is referenced by:  xrltletrd  11135  xrre2  11142  xrre3  11143  ge0gtmnf  11144  xrltmin  11154  supxrunb1  11282  iooss2  11336  ioc0  11347  iccssioo  11364  icossico  11365  icoun  11409  ioojoin  11416  lecldbas  18823  mnfnei  18825  icopnfcld  20347  ovolicopnf  21007  voliunlem3  21033  volsup  21037  ioombl  21046  volivth  21087  itg2seq  21220  itg2monolem2  21229  dvfsumrlimge0  21502  dvfsumrlim2  21504  itgsubst  21521  abelth  21906  tanord1  21993  rlimcnp  22359  rlimcnp2  22360  dchrisum0lem2a  22766  pnt  22863  icossioo  26062  ioossioo  26063  joiniooico  26064  esumfsup  26519  heicant  28426  itg2gt0cn  28447  ftc1cnnclem  28465  ftc1anclem7  28473  ftc1anclem8  28474  ftc1anc  28475  ftc2nc  28476  asindmre  28479  ioounsn  29585
  Copyright terms: Public domain W3C validator