MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltlen Structured version   Unicode version

Theorem xrltlen 11353
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrltlen  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  =/= 
A ) ) )

Proof of Theorem xrltlen
StepHypRef Expression
1 xrlttri 11346 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <  A ) ) )
2 ioran 490 . . . 4  |-  ( -.  ( A  =  B  \/  B  <  A
)  <->  ( -.  A  =  B  /\  -.  B  <  A ) )
3 ancom 450 . . . 4  |-  ( ( -.  A  =  B  /\  -.  B  < 
A )  <->  ( -.  B  <  A  /\  -.  A  =  B )
)
42, 3bitri 249 . . 3  |-  ( -.  ( A  =  B  \/  B  <  A
)  <->  ( -.  B  <  A  /\  -.  A  =  B ) )
51, 4syl6bb 261 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  ( -.  B  <  A  /\  -.  A  =  B )
) )
6 xrlenlt 9653 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
7 nesym 2739 . . . 4  |-  ( B  =/=  A  <->  -.  A  =  B )
87a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  =/=  A  <->  -.  A  =  B ) )
96, 8anbi12d 710 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  =/=  A
)  <->  ( -.  B  <  A  /\  -.  A  =  B ) ) )
105, 9bitr4d 256 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  =/= 
A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   RR*cxr 9628    < clt 9629    <_ cle 9630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635
This theorem is referenced by:  dflt2  11355  hashgt0  12425
  Copyright terms: Public domain W3C validator