MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltlen Structured version   Unicode version

Theorem xrltlen 11434
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrltlen  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  =/= 
A ) ) )

Proof of Theorem xrltlen
StepHypRef Expression
1 xrlttri 11427 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <  A ) ) )
2 ioran 492 . . . 4  |-  ( -.  ( A  =  B  \/  B  <  A
)  <->  ( -.  A  =  B  /\  -.  B  <  A ) )
3 ancom 451 . . . 4  |-  ( ( -.  A  =  B  /\  -.  B  < 
A )  <->  ( -.  B  <  A  /\  -.  A  =  B )
)
42, 3bitri 252 . . 3  |-  ( -.  ( A  =  B  \/  B  <  A
)  <->  ( -.  B  <  A  /\  -.  A  =  B ) )
51, 4syl6bb 264 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  ( -.  B  <  A  /\  -.  A  =  B )
) )
6 xrlenlt 9688 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
7 nesym 2694 . . . 4  |-  ( B  =/=  A  <->  -.  A  =  B )
87a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  =/=  A  <->  -.  A  =  B ) )
96, 8anbi12d 715 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  =/=  A
)  <->  ( -.  B  <  A  /\  -.  A  =  B ) ) )
105, 9bitr4d 259 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  =/= 
A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   class class class wbr 4417   RR*cxr 9663    < clt 9664    <_ cle 9665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670
This theorem is referenced by:  dflt2  11436  hashgt0  12553
  Copyright terms: Public domain W3C validator