MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltle Structured version   Unicode version

Theorem xrltle 11408
Description: 'Less than' implies 'less than or equal' for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltle  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B ) )

Proof of Theorem xrltle
StepHypRef Expression
1 orc 383 . 2  |-  ( A  <  B  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
2 xrleloe 11403 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
31, 2syl5ibr 221 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4395   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664
This theorem is referenced by:  xrletri  11410  xrletr  11414  qextltlem  11454  xmulge0  11529  supxrunb1  11564  ico0  11628  ioc0  11629  ioossicc  11664  icossicc  11665  iocssicc  11666  ioossico  11667  snunioo  11700  snunico  11701  snunioc  11702  ioopnfsup  12029  icopnfsup  12030  hashnnn0genn0  12463  pcadd2  14618  leordtval2  20006  lecldbas  20013  xblss2ps  21196  xblss2  21197  blhalf  21200  blssps  21219  blss  21220  blcls  21301  stdbdxmet  21310  stdbdmopn  21313  metcnpi3  21341  blcvx  21595  tgqioo  21597  xrsmopn  21609  metdcnlem  21633  metnrmlem1a  21654  bndth  21750  ovolgelb  22183  icombl  22266  ioorcl2  22273  ioorf  22274  ioorinv2  22276  volivth  22308  itg2seq  22441  itg2monolem2  22450  itg2cnlem2  22461  dvferm1lem  22677  dvferm2lem  22679  dvferm  22681  dvivthlem1  22701  lhop2  22708  radcnvle  23107  tanord1  23216  dvloglem  23323  iocinif  28040  difioo  28041  esumpinfsum  28524  omssubadd  28748  elicc3  30545  tan2h  31419  heicant  31421  itg2addnclem  31439  ftc1anclem7  31469  ioounsn  35541  radcnvrat  36043  xrltled  36830  ioossioc  36893  ioossioobi  36925  fouriersw  37382  iccpartleu  37695  iccpartgel  37696  iccpartnel  37705
  Copyright terms: Public domain W3C validator