MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltle Structured version   Unicode version

Theorem xrltle 11351
Description: 'Less than' implies 'less than or equal' for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltle  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B ) )

Proof of Theorem xrltle
StepHypRef Expression
1 orc 385 . 2  |-  ( A  <  B  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
2 xrleloe 11346 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
31, 2syl5ibr 221 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630
This theorem is referenced by:  xrletri  11353  xrletr  11357  qextltlem  11397  xmulge0  11472  supxrunb1  11507  ico0  11571  ioc0  11572  ioossicc  11606  icossicc  11607  iocssicc  11608  ioossico  11609  snunioo  11642  snunico  11643  snunioc  11644  ioopnfsup  11954  icopnfsup  11955  hashnnn0genn0  12378  pcadd2  14261  leordtval2  19476  lecldbas  19483  xblss2ps  20636  xblss2  20637  blhalf  20640  blssps  20659  blss  20660  blcls  20741  stdbdxmet  20750  stdbdmopn  20753  metcnpi3  20781  blcvx  21035  tgqioo  21037  xrsmopn  21049  metdcnlem  21073  metnrmlem1a  21094  bndth  21190  ovolgelb  21623  icombl  21706  ioorcl2  21713  ioorf  21714  ioorinv2  21716  volivth  21748  itg2seq  21881  itg2mulclem  21885  itg2mulc  21886  itg2monolem2  21890  itg2cnlem2  21901  dvferm1lem  22117  dvferm2lem  22119  dvferm  22121  dvivthlem1  22141  lhop2  22148  radcnvle  22546  psercnlem2  22550  tanord1  22654  dvloglem  22754  iocinif  27257  difioo  27258  esumpinfsum  27720  tan2h  29622  heicant  29624  itg2addnclem  29641  ftc1anclem7  29671  elicc3  29710  ioounsn  30782  xrltled  31033  ioossioc  31088  snunioo2  31108  iccdifprioo  31120  ioossioobi  31121  lptioo1  31174  cncfiooicclem1  31232  fouriersw  31532
  Copyright terms: Public domain W3C validator