MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltle Structured version   Unicode version

Theorem xrltle 11236
Description: 'Less than' implies 'less than or equal' for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltle  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B ) )

Proof of Theorem xrltle
StepHypRef Expression
1 orc 385 . 2  |-  ( A  <  B  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
2 xrleloe 11231 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
31, 2syl5ibr 221 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4399   RR*cxr 9527    < clt 9528    <_ cle 9529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534
This theorem is referenced by:  xrletri  11238  xrletr  11242  qextltlem  11282  xmulge0  11357  supxrunb1  11392  ico0  11456  ioc0  11457  ioossicc  11491  icossicc  11492  iocssicc  11493  ioossico  11494  snunioo  11527  snunico  11528  snunioc  11529  ioopnfsup  11819  icopnfsup  11820  hashnnn0genn0  12230  pcadd2  14069  leordtval2  18947  lecldbas  18954  xblss2ps  20107  xblss2  20108  blhalf  20111  blssps  20130  blss  20131  blcls  20212  stdbdxmet  20221  stdbdmopn  20224  metcnpi3  20252  blcvx  20506  tgqioo  20508  xrsmopn  20520  metdcnlem  20544  metnrmlem1a  20565  bndth  20661  ovolgelb  21094  icombl  21177  ioorcl2  21184  ioorf  21185  ioorinv2  21187  volivth  21219  itg2seq  21352  itg2mulclem  21356  itg2mulc  21357  itg2monolem2  21361  itg2cnlem2  21372  dvferm1lem  21588  dvferm2lem  21590  dvferm  21592  dvivthlem1  21612  lhop2  21619  radcnvle  22017  psercnlem2  22021  tanord1  22125  dvloglem  22225  iocinif  26215  difioo  26216  esumpinfsum  26670  tan2h  28571  heicant  28573  itg2addnclem  28590  ftc1anclem7  28620  elicc3  28659  ioounsn  29732
  Copyright terms: Public domain W3C validator