MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltle Structured version   Unicode version

Theorem xrltle 11118
Description: 'Less than' implies 'less than or equal' for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltle  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B ) )

Proof of Theorem xrltle
StepHypRef Expression
1 orc 385 . 2  |-  ( A  <  B  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
2 xrleloe 11113 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
31, 2syl5ibr 221 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416
This theorem is referenced by:  xrletri  11120  xrletr  11124  qextltlem  11164  xmulge0  11239  supxrunb1  11274  ico0  11338  ioc0  11339  ioossicc  11373  snunioo  11403  snunico  11404  snunioc  11405  ioopnfsup  11695  icopnfsup  11696  hashnnn0genn0  12106  pcadd2  13944  leordtval2  18796  lecldbas  18803  xblss2ps  19956  xblss2  19957  blhalf  19960  blssps  19979  blss  19980  blcls  20061  stdbdxmet  20070  stdbdmopn  20073  metcnpi3  20101  blcvx  20355  tgqioo  20357  xrsmopn  20369  metdcnlem  20393  metnrmlem1a  20414  bndth  20510  ovolgelb  20943  icombl  21025  ioorcl2  21032  ioorf  21033  ioorinv2  21035  volivth  21067  itg2seq  21200  itg2mulclem  21204  itg2mulc  21205  itg2monolem2  21209  itg2cnlem2  21220  dvferm1lem  21436  dvferm2lem  21438  dvferm  21440  dvivthlem1  21460  lhop2  21467  radcnvle  21865  psercnlem2  21869  tanord1  21973  dvloglem  22073  icossicc  26026  iocssicc  26027  ioossico  26028  iocinif  26039  difioo  26040  esumpinfsum  26495  tan2h  28395  heicant  28397  itg2addnclem  28414  ftc1anclem7  28444  elicc3  28483  ioounsn  29556
  Copyright terms: Public domain W3C validator