MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletri3 Structured version   Unicode version

Theorem xrletri3 11453
Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
xrletri3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )

Proof of Theorem xrletri3
StepHypRef Expression
1 xrlttri3 11444 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) ) )
2 ancom 452 . . 3  |-  ( ( -.  B  <  A  /\  -.  A  <  B
)  <->  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) )
31, 2syl6bbr 267 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( -.  B  <  A  /\  -.  A  <  B ) ) )
4 xrlenlt 9701 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
5 xrlenlt 9701 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
65ancoms 455 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
74, 6anbi12d 716 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  A )  <-> 
( -.  B  < 
A  /\  -.  A  <  B ) ) )
83, 7bitr4d 260 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   class class class wbr 4421   RR*cxr 9676    < clt 9677    <_ cle 9678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683
This theorem is referenced by:  xrletrid  11454  xrmaxeq  11476  xrmineq  11477  xleadd1a  11541  xsubge0  11549  xlemul1a  11576  supxrre  11615  infmxrreOLD  11628  ixxub  11658  ixxlbOLD  11660  hashle00  12578  limsupval2  13533  limsupval2OLD  13534  pc2dvds  14821  pc11  14822  pcadd2  14828  letsr  16466  psmetsym  21318  isxmet2d  21334  xmetsym  21354  xmetgt0  21365  prdsxmetlem  21375  xblss2  21409  nmo0  21748  nmoid  21755  xrsxmet  21819  ovolssnul  22432  ovolctb  22435  ovolunnul  22445  ovoliunnul  22452  ovolicc  22469  ovolre  22471  voliunlem3  22497  volsup  22501  uniioovol  22528  uniiccvol  22529  vitalilem5  22562  ismbfd  22588  itg2itg1  22686  itg2seq  22692  itg2eqa  22695  itg2mulc  22697  itg2split  22699  itg2mono  22703  deg1add  23044  deg1mul2  23055  deg1tm  23059  xeqlelt  28358  xrstos  28442  xrge0omnd  28475  metideq  28698  metider  28699  esumpad2  28879  esumrnmpt2  28891  measle0  29032  inelcarsg  29145  carsggect  29152  carsgclctun  29155  omsmeas  29157  omsmeasOLD  29158  ovoliunnfl  31902  volsupnfl  31905  iccintsng  37461
  Copyright terms: Public domain W3C validator