MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletri Structured version   Unicode version

Theorem xrletri 11369
Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrletri  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )

Proof of Theorem xrletri
StepHypRef Expression
1 xrltnle 9665 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B ) )
21ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B ) )
3 xrltle 11367 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A ) )
43ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A ) )
52, 4sylbird 235 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  A  <_  B  ->  B  <_  A ) )
65orrd 378 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646
This theorem is referenced by:  xrmax2  11389  xrmin1  11390  pcgcd  14276  letsr  15730  xrsdsreclb  18333  xrsxmet  21180  xrhmeo  21312  itg2const2  22014  xrge0infss  27411  xrstos  27499  xrge0omnd  27533
  Copyright terms: Public domain W3C validator