MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletri Structured version   Unicode version

Theorem xrletri 11133
Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrletri  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )

Proof of Theorem xrletri
StepHypRef Expression
1 xrltnle 9448 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B ) )
21ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B ) )
3 xrltle 11131 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A ) )
43ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A ) )
52, 4sylbird 235 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  A  <_  B  ->  B  <_  A ) )
65orrd 378 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4297   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429
This theorem is referenced by:  xrmax2  11153  xrmin1  11154  pcgcd  13949  letsr  15402  xrsdsreclb  17865  xrsxmet  20391  xrhmeo  20523  itg2const2  21224  xrge0infss  26058  xrstos  26145  xrge0omnd  26179
  Copyright terms: Public domain W3C validator