MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletrd Structured version   Unicode version

Theorem xrletrd 11448
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
xrlttrd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
xrlttrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
xrletrd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
xrletrd.5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
xrletrd  |-  ( ph  ->  A  <_  C )

Proof of Theorem xrletrd
StepHypRef Expression
1 xrletrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 xrletrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
3 xrlttrd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
4 xrlttrd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
5 xrlttrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
6 xrletr 11444 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1264 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C
)  ->  A  <_  C ) )
81, 2, 7mp2and 683 1  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1867   class class class wbr 4417   RR*cxr 9663    <_ cle 9665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670
This theorem is referenced by:  xaddge0  11533  ixxub  11645  ixxlb  11646  ixxlbOLD  11647  limsupval2  13507  limsupval2OLD  13508  0ram  14938  xpsdsval  21333  xblss2ps  21353  xblss2  21354  comet  21465  stdbdxmet  21467  nmoleub  21673  nmoleubOLD  21689  metnrmlem1  21813  nmoleub2lem  22047  ovollb2lem  22348  ovoliunlem2  22363  ovolscalem1  22373  ovolicc1  22376  ovolicc2lem4OLD  22380  ovolicc2lem4  22381  voliunlem2  22411  uniioombllem3  22450  itg2uba  22608  itg2lea  22609  itg2split  22614  itg2monolem3  22617  itg2gt0  22625  lhop1lem  22872  dvfsumlem2  22886  dvfsumlem3  22887  dvfsumlem4  22888  deg1addle2  22958  deg1sublt  22966  nmooge0  26294  metideq  28576  measiun  28920  omssubadd  29002  carsgclctunlem2  29021  mblfinlem1  31725  ismblfin  31729  ftc1anclem8  31772  ftc1anc  31773  hbtlem2  35737  idomodle  35817  xle2addd  37216  fourierdlem1  37587  sge0cl  37805  sge0lefi  37822  sge0iunmptlemre  37839  omeunle  37894  omeiunle  37895  caratheodorylem2  37905
  Copyright terms: Public domain W3C validator