MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletrd Structured version   Unicode version

Theorem xrletrd 11128
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
xrlttrd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
xrlttrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
xrletrd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
xrletrd.5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
xrletrd  |-  ( ph  ->  A  <_  C )

Proof of Theorem xrletrd
StepHypRef Expression
1 xrletrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 xrletrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
3 xrlttrd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
4 xrlttrd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
5 xrlttrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
6 xrletr 11124 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C
)  ->  A  <_  C ) )
81, 2, 7mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287   RR*cxr 9409    <_ cle 9411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416
This theorem is referenced by:  xaddge0  11213  ixxub  11313  ixxlb  11314  limsupval2  12950  0ram  14073  xpsdsval  19931  xblss2ps  19951  xblss2  19952  comet  20063  stdbdxmet  20065  nmoleub  20285  metnrmlem1  20410  nmoleub2lem  20644  ovollb2lem  20946  ovoliunlem2  20961  ovolscalem1  20971  ovolicc1  20974  ovolicc2lem4  20978  voliunlem2  21007  uniioombllem3  21040  itg2uba  21196  itg2lea  21197  itg2split  21202  itg2monolem3  21205  itg2gt0  21213  lhop1lem  21460  dvfsumlem2  21474  dvfsumlem3  21475  dvfsumlem4  21476  deg1addle2  21549  deg1sublt  21557  nmooge0  24118  metideq  26272  measiun  26584  mblfinlem1  28381  ismblfin  28385  ftc1anclem8  28427  ftc1anc  28428  hbtlem2  29433  idomodle  29514
  Copyright terms: Public domain W3C validator