MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletrd Structured version   Unicode version

Theorem xrletrd 11248
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
xrlttrd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
xrlttrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
xrletrd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
xrletrd.5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
xrletrd  |-  ( ph  ->  A  <_  C )

Proof of Theorem xrletrd
StepHypRef Expression
1 xrletrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 xrletrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
3 xrlttrd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
4 xrlttrd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
5 xrlttrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
6 xrletr 11244 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C
)  ->  A  <_  C ) )
81, 2, 7mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4401   RR*cxr 9529    <_ cle 9531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536
This theorem is referenced by:  xaddge0  11333  ixxub  11433  ixxlb  11434  limsupval2  13077  0ram  14200  xpsdsval  20089  xblss2ps  20109  xblss2  20110  comet  20221  stdbdxmet  20223  nmoleub  20443  metnrmlem1  20568  nmoleub2lem  20802  ovollb2lem  21104  ovoliunlem2  21119  ovolscalem1  21129  ovolicc1  21132  ovolicc2lem4  21136  voliunlem2  21166  uniioombllem3  21199  itg2uba  21355  itg2lea  21356  itg2split  21361  itg2monolem3  21364  itg2gt0  21372  lhop1lem  21619  dvfsumlem2  21633  dvfsumlem3  21634  dvfsumlem4  21635  deg1addle2  21708  deg1sublt  21716  nmooge0  24320  metideq  26466  measiun  26778  mblfinlem1  28577  ismblfin  28581  ftc1anclem8  28623  ftc1anc  28624  hbtlem2  29629  idomodle  29710
  Copyright terms: Public domain W3C validator