MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletr Structured version   Unicode version

Theorem xrletr 11365
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrletr  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )

Proof of Theorem xrletr
StepHypRef Expression
1 xrleloe 11354 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
213adant1 1013 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
32adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
4 xrlelttr 11363 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
5 xrltle 11359 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C ) )
653adant2 1014 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  C  ->  A  <_  C ) )
74, 6syld 44 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <_  C
) )
87expdimp 437 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <  C  ->  A  <_  C ) )
9 breq2 4437 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_  C ) )
109biimpcd 224 . . . . 5  |-  ( A  <_  B  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
1110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  =  C  ->  A  <_  C ) )
128, 11jaod 380 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  (
( B  <  C  \/  B  =  C
)  ->  A  <_  C ) )
133, 12sylbid 215 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  <_  C  ->  A  <_  C ) )
1413expimpd 603 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   class class class wbr 4433   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632
This theorem is referenced by:  xrletrd  11369  xrmaxle  11388  xrlemin  11389  xralrple  11408  xle2add  11455  icc0  11581  iccss  11596  icossico  11598  iccss2  11599  iccssico  11600  icoun  11648  snunico  11651  snunioc  11652  limsupgord  13269  limsupgre  13278  limsupbnd1  13279  limsupbnd2  13280  ramtlecl  14390  letsr  15726  leordtval2  19579  lecldbas  19586  imasdsf1olem  20742  stdbdxmet  20884  ovolmge0  21754  itg2le  22012  itg2seq  22015  plypf1  22475  pntleml  23661  nmopge0  26695  nmfnge0  26711  xrstos  27533  xrge0omnd  27567  tan2h  30015  mblfinlem3  30021  mblfinlem4  30022  itg2addnclem  30034  elicc3  30103
  Copyright terms: Public domain W3C validator