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Theorem xrlemin 11397
Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrlemin  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <->  ( A  <_  B  /\  A  <_  C ) ) )

Proof of Theorem xrlemin
StepHypRef Expression
1 xrmin1 11390 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B )
213adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B )
3 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  A  e.  RR* )
4 ifcl 3987 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR* )
543adant1 1014 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR* )
6 simp2 997 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  B  e.  RR* )
7 xrletr 11373 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B
)  ->  A  <_  B ) )
83, 5, 6, 7syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B
)  ->  A  <_  B ) )
92, 8mpan2d 674 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  A  <_  B ) )
10 xrmin2 11391 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C )
11103adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C )
12 xrletr 11373 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C
)  ->  A  <_  C ) )
135, 12syld3an2 1275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C
)  ->  A  <_  C ) )
1411, 13mpan2d 674 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  A  <_  C ) )
159, 14jcad 533 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  ( A  <_  B  /\  A  <_  C ) ) )
16 breq2 4457 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C ) ) )
17 breq2 4457 . . 3  |-  ( C  =  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  ( A  <_  C  <->  A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C ) ) )
1816, 17ifboth 3981 . 2  |-  ( ( A  <_  B  /\  A  <_  C )  ->  A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C ) )
1915, 18impbid1 203 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <->  ( A  <_  B  /\  A  <_  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   ifcif 3945   class class class wbr 4453   RR*cxr 9639    <_ cle 9641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646
This theorem is referenced by:  lemin  11404  stdbdxmet  20886  stdbdbl  20888  itgspliticc  22111  cvmliftlem10  28564
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