Theorem xrlemin 11502

Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xrlemin	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Proof of Theorem xrlemin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrmin1 11495	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ B )
2	1	3adant1 1048	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ B )
3		simp1 1030	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> A e. RR* )
4		ifcl 3914	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) e. RR* )
5	4	3adant1 1048	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) e. RR* )
6		simp2 1031	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B e. RR* )
7		xrletr 11478	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ if ( B <_ C , B , C ) e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ B ) -> A <_ B ) )
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1292	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ B ) -> A <_ B ) )
9	2, 8	mpan2d 688	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) -> A <_ B ) )
10		xrmin2 11496	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ C )
11	10	3adant1 1048	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ C )
12		xrletr 11478	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ if ( B <_ C , B , C ) e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ C ) -> A <_ C ) )
13	5, 12	syld3an2 1339	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ C ) -> A <_ C ) )
14	11, 13	mpan2d 688	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) -> A <_ C ) )
15	9, 14	jcad 542	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) -> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )
16		breq2 4399	. . 3 |- ( B = if ( B <_ C , B , C ) -> ( A <_ B <-> A <_ if ( B <_ C , B , C ) ) )
17		breq2 4399	. . 3 |- ( C = if ( B <_ C , B , C ) -> ( A <_ C <-> A <_ if ( B <_ C , B , C ) ) )
18	16, 17	ifboth 3908	. 2 |- ( ( A <_ B /\ A <_ C ) -> A <_ if ( B <_ C , B , C ) )
19	15, 18	impbid1 208	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   e. wcel 1904   ifcif 3872   class class class wbr 4395   RR*cxr 9692   <_ cle 9694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699

This theorem is referenced by:  lemin  11509  stdbdxmet  21608  stdbdbl  21610  itgspliticc  22873  cvmliftlem10  30089