Theorem xrlemin 11388

Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xrlemin	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Proof of Theorem xrlemin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrmin1 11381	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ B )
2	1	3adant1 1012	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ B )
3		simp1 994	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> A e. RR* )
4		ifcl 3971	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) e. RR* )
5	4	3adant1 1012	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) e. RR* )
6		simp2 995	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B e. RR* )
7		xrletr 11364	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ if ( B <_ C , B , C ) e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ B ) -> A <_ B ) )
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1226	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ B ) -> A <_ B ) )
9	2, 8	mpan2d 672	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) -> A <_ B ) )
10		xrmin2 11382	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ C )
11	10	3adant1 1012	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ C )
12		xrletr 11364	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ if ( B <_ C , B , C ) e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ C ) -> A <_ C ) )
13	5, 12	syld3an2 1273	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ C ) -> A <_ C ) )
14	11, 13	mpan2d 672	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) -> A <_ C ) )
15	9, 14	jcad 531	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) -> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )
16		breq2 4443	. . 3 |- ( B = if ( B <_ C , B , C ) -> ( A <_ B <-> A <_ if ( B <_ C , B , C ) ) )
17		breq2 4443	. . 3 |- ( C = if ( B <_ C , B , C ) -> ( A <_ C <-> A <_ if ( B <_ C , B , C ) ) )
18	16, 17	ifboth 3965	. 2 |- ( ( A <_ B /\ A <_ C ) -> A <_ if ( B <_ C , B , C ) )
19	15, 18	impbid1 203	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   e. wcel 1823   ifcif 3929   class class class wbr 4439   RR*cxr 9616   <_ cle 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623

This theorem is referenced by:  lemin  11395  stdbdxmet  21187  stdbdbl  21189  itgspliticc  22412  cvmliftlem10  29006