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Theorem xrlemin 11388
Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrlemin  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <->  ( A  <_  B  /\  A  <_  C ) ) )

Proof of Theorem xrlemin
StepHypRef Expression
1 xrmin1 11381 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B )
213adant1 1012 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B )
3 simp1 994 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  A  e.  RR* )
4 ifcl 3971 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR* )
543adant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR* )
6 simp2 995 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  B  e.  RR* )
7 xrletr 11364 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B
)  ->  A  <_  B ) )
83, 5, 6, 7syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  B
)  ->  A  <_  B ) )
92, 8mpan2d 672 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  A  <_  B ) )
10 xrmin2 11382 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C )
11103adant1 1012 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C )
12 xrletr 11364 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C
)  ->  A  <_  C ) )
135, 12syld3an2 1273 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  /\  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <_  C
)  ->  A  <_  C ) )
1411, 13mpan2d 672 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  A  <_  C ) )
159, 14jcad 531 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  ( A  <_  B  /\  A  <_  C ) ) )
16 breq2 4443 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C ) ) )
17 breq2 4443 . . 3  |-  ( C  =  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  ->  ( A  <_  C  <->  A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C ) ) )
1816, 17ifboth 3965 . 2  |-  ( ( A  <_  B  /\  A  <_  C )  ->  A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C ) )
1915, 18impbid1 203 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <->  ( A  <_  B  /\  A  <_  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1823   ifcif 3929   class class class wbr 4439   RR*cxr 9616    <_ cle 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623
This theorem is referenced by:  lemin  11395  stdbdxmet  21187  stdbdbl  21189  itgspliticc  22412  cvmliftlem10  29006
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