Theorem xrlemin 11397

Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xrlemin	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Proof of Theorem xrlemin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrmin1 11390	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ B )
2	1	3adant1 1014	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ B )
3		simp1 996	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> A e. RR* )
4		ifcl 3987	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) e. RR* )
5	4	3adant1 1014	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) e. RR* )
6		simp2 997	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B e. RR* )
7		xrletr 11373	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ if ( B <_ C , B , C ) e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ B ) -> A <_ B ) )
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ B ) -> A <_ B ) )
9	2, 8	mpan2d 674	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) -> A <_ B ) )
10		xrmin2 11391	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ C )
11	10	3adant1 1014	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ C )
12		xrletr 11373	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ if ( B <_ C , B , C ) e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ C ) -> A <_ C ) )
13	5, 12	syld3an2 1275	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ C ) -> A <_ C ) )
14	11, 13	mpan2d 674	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) -> A <_ C ) )
15	9, 14	jcad 533	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) -> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )
16		breq2 4457	. . 3 |- ( B = if ( B <_ C , B , C ) -> ( A <_ B <-> A <_ if ( B <_ C , B , C ) ) )
17		breq2 4457	. . 3 |- ( C = if ( B <_ C , B , C ) -> ( A <_ C <-> A <_ if ( B <_ C , B , C ) ) )
18	16, 17	ifboth 3981	. 2 |- ( ( A <_ B /\ A <_ C ) -> A <_ if ( B <_ C , B , C ) )
19	15, 18	impbid1 203	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   e. wcel 1767   ifcif 3945   class class class wbr 4453   RR*cxr 9639   <_ cle 9641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646

This theorem is referenced by:  lemin  11404  stdbdxmet  20886  stdbdbl  20888  itgspliticc  22111  cvmliftlem10  28564