Theorem xrlemin 11270

Description: Two ways of saying a number is less than or equal to the minimum of two others. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xrlemin	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Proof of Theorem xrlemin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrmin1 11263	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ B )
2	1	3adant1 1006	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ B )
3		simp1 988	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> A e. RR* )
4		ifcl 3942	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) e. RR* )
5	4	3adant1 1006	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) e. RR* )
6		simp2 989	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B e. RR* )
7		xrletr 11246	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ if ( B <_ C , B , C ) e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ B ) -> A <_ B ) )
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1219	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ B ) -> A <_ B ) )
9	2, 8	mpan2d 674	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) -> A <_ B ) )
10		xrmin2 11264	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ C )
11	10	3adant1 1006	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ C )
12		xrletr 11246	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ if ( B <_ C , B , C ) e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ C ) -> A <_ C ) )
13	5, 12	syld3an2 1266	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ C ) -> A <_ C ) )
14	11, 13	mpan2d 674	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) -> A <_ C ) )
15	9, 14	jcad 533	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) -> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )
16		breq2 4407	. . 3 |- ( B = if ( B <_ C , B , C ) -> ( A <_ B <-> A <_ if ( B <_ C , B , C ) ) )
17		breq2 4407	. . 3 |- ( C = if ( B <_ C , B , C ) -> ( A <_ C <-> A <_ if ( B <_ C , B , C ) ) )
18	16, 17	ifboth 3936	. 2 |- ( ( A <_ B /\ A <_ C ) -> A <_ if ( B <_ C , B , C ) )
19	15, 18	impbid1 203	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   e. wcel 1758   ifcif 3902   class class class wbr 4403   RR*cxr 9531   <_ cle 9533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538

This theorem is referenced by:  lemin  11277  stdbdxmet  20225  stdbdbl  20227  itgspliticc  21450  cvmliftlem10  27347