MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlelttrd Structured version   Unicode version

Theorem xrlelttrd 11134
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
xrlttrd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
xrlttrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
xrlelttrd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
xrlelttrd.5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
Assertion
Ref Expression
xrlelttrd  |-  ( ph  ->  A  <  C )

Proof of Theorem xrlelttrd
StepHypRef Expression
1 xrlelttrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 xrlelttrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <  C )
3 xrlttrd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
4 xrlttrd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
5 xrlttrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
6 xrlelttr 11130 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <  C
)  ->  A  <  C ) )
81, 2, 7mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424
This theorem is referenced by:  xlt2add  11223  ixxub  11321  elioc2  11358  elicc2  11360  limsupgre  12959  xrsdsreclblem  17859  mnfnei  18825  blgt0  19974  xblss2ps  19976  xblss2  19977  metustexhalfOLD  20138  metustexhalf  20139  tgioo  20373  blcvx  20375  xrge0tsms  20411  metdcnlem  20413  metdscnlem  20431  ioombl  21046  uniioombllem1  21061  dvferm2lem  21458  dvlip2  21467  ftc1a  21509  coe1mul3  21571  ply1remlem  21634  pserulm  21887  isblo3i  24201  xrge0infss  26053  iocinioc2  26069  xrge0tsmsd  26253  sibfinima  26725  heicant  28426  itg2gt0cn  28447  ftc1anclem7  28473  ftc1anc  28475  idomrootle  29560
  Copyright terms: Public domain W3C validator