MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlelttr Unicode version

Theorem xrlelttr 10702
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrlelttr  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )

Proof of Theorem xrlelttr
StepHypRef Expression
1 xrleloe 10693 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
213adant3 977 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
3 xrlttr 10689 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
43exp3a 426 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
5 breq1 4175 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  <  C  <->  B  <  C ) )
65biimprd 215 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  =  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
84, 7jaod 370 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  B  \/  A  =  B
)  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
92, 8sylbid 207 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
109imp3a 421 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077
This theorem is referenced by:  xrletr  10704  xrlelttrd  10706  xrre  10713  xrre2  10714  xrmaxlt  10725  supxrun  10850  iooss1  10907  ico0  10918  iccssioo  10935  iccssico  10938  snunioo  10979  leordtval2  17230  lecldbas  17237  pnfnei  17238  bldisj  18381  xbln0  18397  prdsbl  18474  blsscls2  18487  metcnpi3  18529  iocmnfcld  18756  iscau3  19184  ismbf3d  19499  itgsubst  19886  mdegaddle  19950  mdegmullem  19954  ply1divmo  20011  psercnlem2  20293  iocssioo  24085  ioossioo  24087  sibfof  24607  ftc1cnnclem  26177
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082
  Copyright terms: Public domain W3C validator