MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlelttr Structured version   Unicode version

Theorem xrlelttr 11240
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrlelttr  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )

Proof of Theorem xrlelttr
StepHypRef Expression
1 xrleloe 11231 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
213adant3 1008 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
3 xrlttr 11227 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
43expd 436 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
5 breq1 4402 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  <  C  <->  B  <  C ) )
65biimprd 223 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  =  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
84, 7jaod 380 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <  B  \/  A  =  B
)  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
92, 8sylbid 215 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
109impd 431 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4399   RR*cxr 9527    < clt 9528    <_ cle 9529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534
This theorem is referenced by:  xrletr  11242  xrlelttrd  11244  xrre  11251  xrre2  11252  xrmaxlt  11263  supxrun  11388  iooss1  11445  ico0  11456  iccssioo  11474  iccssico  11477  iocssioo  11495  ioossioo  11497  snunioo  11527  leordtval2  18947  lecldbas  18954  pnfnei  18955  bldisj  20104  xbln0  20120  prdsbl  20197  blsscls2  20210  metcnpi3  20252  iocmnfcld  20479  iscau3  20920  ismbf3d  21264  itgsubst  21653  mdegaddle  21677  mdegmullem  21681  ply1divmo  21739  psercnlem2  22021  ftc1cnnclem  28612  ftc1anclem6  28619  ftc1anclem7  28620  ftc1anclem8  28621  ftc1anc  28622  ftc2nc  28623  asindmre  28626
  Copyright terms: Public domain W3C validator