MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrleloe Structured version   Unicode version

Theorem xrleloe 11443
Description: 'Less than or equal' expressed in terms of 'less than' or 'equals', for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrleloe  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )

Proof of Theorem xrleloe
StepHypRef Expression
1 xrlenlt 9698 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
2 eqcom 2438 . . . . 5  |-  ( B  =  A  <->  A  =  B )
32orbi1i 522 . . . 4  |-  ( ( B  =  A  \/  A  <  B )  <->  ( A  =  B  \/  A  <  B ) )
4 orcom 388 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  \/  A  <  B )  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
53, 4bitri 252 . . 3  |-  ( ( B  =  A  \/  A  <  B )  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
6 xrlttri 11438 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  <->  -.  ( B  =  A  \/  A  <  B ) ) )
76ancoms 454 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  <->  -.  ( B  =  A  \/  A  <  B ) ) )
87con2bid 330 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( B  =  A  \/  A  <  B
)  <->  -.  B  <  A ) )
95, 8syl5rbbr 263 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  B  <  A  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
101, 9bitrd 256 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680
This theorem is referenced by:  xrleltne  11444  dfle2  11446  xrltle  11448  xrleid  11449  xrlelttr  11453  xrltletr  11454  xrletr  11455  nltpnft  11461  ngtmnft  11462  xmulge0  11570  xlemul1a  11574  xadddi2  11583  prunioo  11759  xrsxmet  21738  metds0  21778  metdseq0  21782  metnrmlem1a  21786  icombl  22394  ioombl  22395  volivth  22442  vitalilem4  22446  itg2gt0  22595  deg1sublt  22936  xrge0addgt0  28292  xrge0adddir  28293  icorempt2  31488  icceuelpartlem  38148
  Copyright terms: Public domain W3C validator