MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrleloe Structured version   Unicode version

Theorem xrleloe 11349
Description: 'Less than or equal' expressed in terms of 'less than' or 'equals', for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrleloe  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )

Proof of Theorem xrleloe
StepHypRef Expression
1 xrlenlt 9651 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
2 eqcom 2476 . . . . 5  |-  ( B  =  A  <->  A  =  B )
32orbi1i 520 . . . 4  |-  ( ( B  =  A  \/  A  <  B )  <->  ( A  =  B  \/  A  <  B ) )
4 orcom 387 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  \/  A  <  B )  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
53, 4bitri 249 . . 3  |-  ( ( B  =  A  \/  A  <  B )  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
6 xrlttri 11344 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  <->  -.  ( B  =  A  \/  A  <  B ) ) )
76ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  <->  -.  ( B  =  A  \/  A  <  B ) ) )
87con2bid 329 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( B  =  A  \/  A  <  B
)  <->  -.  B  <  A ) )
95, 8syl5rbbr 260 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  B  <  A  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
101, 9bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RR*cxr 9626    < clt 9627    <_ cle 9628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633
This theorem is referenced by:  xrleltne  11350  dfle2  11352  xrltle  11354  xrleid  11355  xrlelttr  11358  xrltletr  11359  xrletr  11360  nltpnft  11366  ngtmnft  11367  xmulge0  11475  xlemul1a  11479  xadddi2  11488  prunioo  11648  xrsxmet  21065  metds0  21105  metdseq0  21109  metnrmlem1a  21113  icombl  21725  ioombl  21726  volivth  21767  vitalilem4  21771  itg2gt0  21918  deg1sublt  22262  xrge0addgt0  27359  xrge0adddir  27360
  Copyright terms: Public domain W3C validator