MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrleloe Structured version   Unicode version

Theorem xrleloe 11133
Description: 'Less than or equal' expressed in terms of 'less than' or 'equals', for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrleloe  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )

Proof of Theorem xrleloe
StepHypRef Expression
1 xrlenlt 9454 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
2 eqcom 2445 . . . . 5  |-  ( B  =  A  <->  A  =  B )
32orbi1i 520 . . . 4  |-  ( ( B  =  A  \/  A  <  B )  <->  ( A  =  B  \/  A  <  B ) )
4 orcom 387 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  \/  A  <  B )  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
53, 4bitri 249 . . 3  |-  ( ( B  =  A  \/  A  <  B )  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
6 xrlttri 11128 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  <->  -.  ( B  =  A  \/  A  <  B ) ) )
76ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  <->  -.  ( B  =  A  \/  A  <  B ) ) )
87con2bid 329 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( B  =  A  \/  A  <  B
)  <->  -.  B  <  A ) )
95, 8syl5rbbr 260 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  B  <  A  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
101, 9bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4304   RR*cxr 9429    < clt 9430    <_ cle 9431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436
This theorem is referenced by:  xrleltne  11134  dfle2  11136  xrltle  11138  xrleid  11139  xrlelttr  11142  xrltletr  11143  xrletr  11144  nltpnft  11150  ngtmnft  11151  xmulge0  11259  xlemul1a  11263  xadddi2  11272  prunioo  11426  xrsxmet  20398  metds0  20438  metdseq0  20442  metnrmlem1a  20446  icombl  21057  ioombl  21058  volivth  21099  vitalilem4  21103  itg2gt0  21250  deg1sublt  21594  xrge0addgt0  26166  xrge0adddir  26167
  Copyright terms: Public domain W3C validator