MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrleloe Structured version   Unicode version

Theorem xrleloe 11117
Description: 'Less than or equal' expressed in terms of 'less than' or 'equals', for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrleloe  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )

Proof of Theorem xrleloe
StepHypRef Expression
1 xrlenlt 9438 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
2 eqcom 2443 . . . . 5  |-  ( B  =  A  <->  A  =  B )
32orbi1i 517 . . . 4  |-  ( ( B  =  A  \/  A  <  B )  <->  ( A  =  B  \/  A  <  B ) )
4 orcom 387 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  \/  A  <  B )  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
53, 4bitri 249 . . 3  |-  ( ( B  =  A  \/  A  <  B )  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
6 xrlttri 11112 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  <->  -.  ( B  =  A  \/  A  <  B ) ) )
76ancoms 450 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  <->  -.  ( B  =  A  \/  A  <  B ) ) )
87con2bid 329 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( B  =  A  \/  A  <  B
)  <->  -.  B  <  A ) )
95, 8syl5rbbr 260 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  B  <  A  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
101, 9bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   class class class wbr 4289   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420
This theorem is referenced by:  xrleltne  11118  dfle2  11120  xrltle  11122  xrleid  11123  xrlelttr  11126  xrltletr  11127  xrletr  11128  nltpnft  11134  ngtmnft  11135  xmulge0  11243  xlemul1a  11247  xadddi2  11256  prunioo  11410  xrsxmet  20286  metds0  20326  metdseq0  20330  metnrmlem1a  20334  icombl  20945  ioombl  20946  volivth  20987  vitalilem4  20991  itg2gt0  21138  deg1sublt  21525  xrge0addgt0  26071  xrge0adddir  26072
  Copyright terms: Public domain W3C validator