MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrleid Structured version   Unicode version

Theorem xrleid 11365
Description: 'Less than or equal to' is reflexive for extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrleid  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  A )

Proof of Theorem xrleid
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  A  =  A
21olci 391 . . 3  |-  ( A  <  A  \/  A  =  A )
3 xrleloe 11359 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( A  <_  A  <->  ( A  <  A  \/  A  =  A ) ) )
42, 3mpbiri 233 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  A  <_  A )
54anidms 645 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   class class class wbr 4437   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637
This theorem is referenced by:  xrmax1  11385  xrmax2  11386  xrmin1  11387  xrmin2  11388  xleadd1a  11454  xlemul1a  11489  supxrre  11528  infmxrre  11536  iooid  11566  iccid  11583  icc0  11586  ubioc1  11587  lbico1  11588  lbicc2  11645  ubicc2  11646  snunioo  11655  snunico  11656  snunioc  11657  limsupgord  13274  limsupgre  13283  limsupbnd1  13284  limsupbnd2  13285  pcdvdstr  14276  pcadd  14285  ledm  15728  lern  15729  letsr  15731  imasdsf1olem  20749  blssps  20800  blss  20801  blcld  20881  nmolb  21097  xrsxmet  21187  metds0  21227  metdstri  21228  metdseq0  21231  ismbfd  21920  itg2eqa  22025  mdeglt  22338  deg1lt  22371  sizeusglecusg  24358  xraddge02  27449  eliccelico  27460  elicoelioo  27461  difioo  27465  xrstos  27540  xrge0omnd  27574  esumpmono  27958  signsply0  28381  elicc3  30110  ioounsn  31153  iocinico  31155  snunioo2  31480  snunioo1  31488  limcresiooub  31556
  Copyright terms: Public domain W3C validator