MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrleid Structured version   Unicode version

Theorem xrleid 11355
Description: 'Less than or equal to' is reflexive for extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrleid  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  A )

Proof of Theorem xrleid
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  A  =  A
21olci 391 . . 3  |-  ( A  <  A  \/  A  =  A )
3 xrleloe 11349 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( A  <_  A  <->  ( A  <  A  \/  A  =  A ) ) )
42, 3mpbiri 233 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  A  <_  A )
54anidms 645 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RR*cxr 9626    < clt 9627    <_ cle 9628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633
This theorem is referenced by:  xrmax1  11375  xrmax2  11376  xrmin1  11377  xrmin2  11378  xleadd1a  11444  xlemul1a  11479  supxrre  11518  infmxrre  11526  iooid  11556  iccid  11573  icc0  11576  ubioc1  11577  lbico1  11578  lbicc2  11635  ubicc2  11636  snunioo  11645  snunico  11646  snunioc  11647  limsupgord  13257  limsupgre  13266  limsupbnd1  13267  limsupbnd2  13268  pcdvdstr  14257  pcadd  14266  ledm  15710  lern  15711  letsr  15713  imasdsf1olem  20627  blssps  20678  blss  20679  blcld  20759  nmolb  20975  xrsxmet  21065  metds0  21105  metdstri  21106  metdseq0  21109  ismbfd  21798  itg2eqa  21903  mdeglt  22216  deg1lt  22249  sizeusglecusg  24178  xraddge02  27261  eliccelico  27272  elicoelioo  27273  difioo  27277  xrstos  27345  xrge0omnd  27379  xrge0iifcnv  27567  esumpmono  27741  signsply0  28164  elicc3  29728  ioounsn  30798  iocinico  30800  snunioo2  31124  snunioo1  31132  limcresiooub  31200
  Copyright terms: Public domain W3C validator