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Theorem xrinfmsslem 11622
Description: Lemma for xrinfmss 11624. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrinfmsslem  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/ -oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrinfmsslem
StepHypRef Expression
1 raleq 2999 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  <->  A. y  e.  (/)  -.  y  < 
x ) )
2 rexeq 3000 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. z  e.  A  z  <  y  <->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) )
32imbi2d 322 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) ) )
43ralbidv 2839 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. y  e.  RR*  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  A. y  e.  RR*  ( x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  < 
y ) ) )
51, 4anbi12d 722 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  <-> 
( A. y  e.  (/)  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  < 
y ) ) ) )
65rexbidv 2913 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) ) ) )
7 infm3 10596 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
8 rexr 9712 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
98anim1i 576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( x  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
109reximi2 2866 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
117, 10syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
12 elxr 11445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  <->  ( y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo ) )
13 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
14 ssel 3438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  RR ) )
15 ltpnf 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  RR  ->  z  < +oo )
1614, 15syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  z  < +oo ) )
1716ancld 560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  (
z  e.  A  /\  z  < +oo ) ) )
1817eximdv 1775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  E. z ( z  e.  A  /\  z  < +oo ) ) )
19 n0 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
20 df-rex 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. z  e.  A  z  < +oo  <->  E. z ( z  e.  A  /\  z  < +oo ) )
2118, 19, 203imtr4g 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A  =/=  (/)  ->  E. z  e.  A  z  < +oo ) )
2221imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A  z  < +oo )
2322a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
x  < +oo  ->  E. z  e.  A  z  < +oo ) )
2423ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  = +oo )  ->  ( x  < +oo  ->  E. z  e.  A  z  < +oo ) )
25 breq2 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = +oo  ->  (
x  <  y  <->  x  < +oo ) )
26 breq2 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  = +oo  ->  (
z  <  y  <->  z  < +oo ) )
2726rexbidv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = +oo  ->  ( E. z  e.  A  z  <  y  <->  E. z  e.  A  z  < +oo ) )
2825, 27imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  = +oo  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  ( x  < +oo  ->  E. z  e.  A  z  < +oo ) ) )
2928adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  = +oo )  ->  ( ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  ( x  < +oo  ->  E. z  e.  A  z  < +oo ) ) )
3024, 29mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  = +oo )  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
3130ex 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( y  = +oo  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
3231adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( y  = +oo  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
33 nltmnf 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  < -oo )
3433adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = -oo )  ->  -.  x  < -oo )
35 breq2 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  = -oo  ->  (
x  <  y  <->  x  < -oo ) )
3635notbid 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = -oo  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  < -oo ) )
3736adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = -oo )  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  < -oo ) )
3834, 37mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = -oo )  ->  -.  x  <  y )
3938pm2.21d 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = -oo )  ->  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
4039ex 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  = -oo  ->  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
4140ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( y  = -oo  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
4213, 32, 413jaod 1341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( (
y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo )  ->  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
4312, 42syl5bi 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( y  e.  RR*  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
4443ex 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  (
y  e.  RR*  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
4544ralimdv2 2807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
4645anim2d 573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
4746reximdva 2874 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
48473adant3 1034 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
4911, 48mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
50493expa 1215 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
51 ralnex 2846 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  x  <_  y  <->  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)
52 rexnal 2848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  A  -.  x  <_  y  <->  -.  A. y  e.  A  x  <_  y )
53 ssel2 3439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
54 letric 9760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <_  y  \/  y  <_  x ) )
5554ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <_  y  \/  y  <_  x ) )
5655ord 383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  <_ 
y  ->  y  <_  x ) )
5753, 56sylan 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  <_  y  ->  y  <_  x ) )
5857an32s 818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  x  <_  y  ->  y  <_  x ) )
5958reximdva 2874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  -.  x  <_  y  ->  E. y  e.  A  y  <_  x ) )
6052, 59syl5bir 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. y  e.  A  y  <_  x ) )
6160ralimdva 2808 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  y  <_  x
) )
6261imp 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  y  <_  x )
6351, 62sylan2br 483 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  y  <_  x
)
64 breq1 4419 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
y  <_  x  <->  z  <_  x ) )
6564cbvrexv 3032 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  A  y  <_  x  <->  E. z  e.  A  z  <_  x )
6665ralbii 2831 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )
6763, 66sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x
)
68 mnfxr 11443 . . . . . . . 8  |- -oo  e.  RR*
69 ssel 3438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
70 rexr 9712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
71 nltmnf 11460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  y  < -oo )
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  y  < -oo )
7369, 72syl6 34 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  -.  y  < -oo ) )
7473ralrimiv 2812 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  A. y  e.  A  -.  y  < -oo )
7574adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  A. y  e.  A  -.  y  < -oo )
76 peano2rem 9967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  -  1 )  e.  RR )
77 breq2 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( y  - 
1 )  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  ( y  -  1 ) ) )
7877rexbidv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( y  - 
1 )  ->  ( E. z  e.  A  z  <_  x  <->  E. z  e.  A  z  <_  ( y  -  1 ) ) )
7978rspcva 3160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  -  1 )  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  E. z  e.  A  z  <_  ( y  -  1 ) )
8079adantrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  -  1 )  e.  RR  /\  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR ) )  ->  E. z  e.  A  z  <_  ( y  - 
1 ) )
8180ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  /\  ( y  - 
1 )  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  z  <_  ( y  - 
1 ) )
8276, 81sylan2 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  z  <_  ( y  - 
1 ) )
83 ssel2 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
84 ltm1 10473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  -  1 )  <  y )
8584adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  -  1 )  <  y )
8676ancri 559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( y  -  1 )  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
87 lelttr 9750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( y  -  1 )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( z  <_ 
( y  -  1 )  /\  ( y  -  1 )  < 
y )  ->  z  <  y ) )
88873expb 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( ( y  - 
1 )  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  ->  ( (
z  <_  ( y  -  1 )  /\  ( y  -  1 )  <  y )  ->  z  <  y
) )
8986, 88sylan2 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( z  <_ 
( y  -  1 )  /\  ( y  -  1 )  < 
y )  ->  z  <  y ) )
9085, 89mpan2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  <_  (
y  -  1 )  ->  z  <  y
) )
9183, 90sylan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  <_ 
( y  -  1 )  ->  z  <  y ) )
9291an32s 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( z  <_  ( y  -  1 )  ->  z  <  y ) )
9392reximdva 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  z  <_  ( y  - 
1 )  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
9493adantll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  z  <_  ( y  -  1 )  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
9582, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  z  <  y )
9695exp31 613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  ( y  e.  RR  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
9796a1dd 47 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  ( -oo  <  y  ->  ( y  e.  RR  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
9897com4r 89 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
99 0re 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
100 breq2 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  0 ) )
101100rexbidv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  ( E. z  e.  A  z  <_  x  <->  E. z  e.  A  z  <_  0 ) )
102101rspcva 3160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  E. z  e.  A  z  <_  0 )
10399, 102mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  E. z  e.  A  z  <_  0 )
10483, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  < +oo )
105104a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  (
z  <_  0  ->  z  < +oo ) )
106105reximdva 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  e.  A  z  <_  0  ->  E. z  e.  A  z  < +oo ) )
107103, 106mpan9 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  ->  E. z  e.  A  z  < +oo )
108107, 27syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  = +oo  ->  (
( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
109108a1dd 47 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  = +oo  ->  (
( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
110109expd 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  = +oo  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
111 xrltnr 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -oo  e.  RR*  ->  -. -oo  < -oo )
11268, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -. -oo  < -oo
113 breq2 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  = -oo  ->  ( -oo  <  y  <-> -oo  < -oo ) )
114112, 113mtbiri 309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  = -oo  ->  -. -oo 
<  y )
115114pm2.21d 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  = -oo  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
1161152a1d 27 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  = -oo  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
11798, 110, 1163jaoi 1340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo )  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
11812, 117sylbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
119118com13 83 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( y  e. 
RR*  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
120119imp 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  ( y  e.  RR*  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
121120ralrimiv 2812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  A. y  e.  RR*  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
12275, 121jca 539 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  < -oo  /\  A. y  e.  RR*  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
123 breq2 4420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = -oo  ->  (
y  <  x  <->  y  < -oo ) )
124123notbid 300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  = -oo  ->  ( -.  y  <  x  <->  -.  y  < -oo ) )
125124ralbidv 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = -oo  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  <->  A. y  e.  A  -.  y  < -oo ) )
126 breq1 4419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = -oo  ->  (
x  <  y  <-> -oo  <  y
) )
127126imbi1d 323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  = -oo  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
128127ralbidv 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = -oo  ->  ( A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  A. y  e.  RR*  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
129125, 128anbi12d 722 . . . . . . . . 9  |-  ( x  = -oo  ->  (
( A. y  e.  A  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  y  < -oo  /\  A. y  e.  RR*  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
130129rspcev 3162 . . . . . . . 8  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  < -oo  /\  A. y  e.  RR*  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
13168, 122, 130sylancr 674 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
13267, 131syldan 477 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
133132adantlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
13450, 133pm2.61dan 805 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
135 pnfxr 11441 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
136 ral0 3886 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  -.  y  < +oo
137 pnfnlt 11459 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
138137pm2.21d 110 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) )
139138rgen 2759 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  RR*  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y )
140136, 139pm3.2i 461 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  (/)  -.  y  < +oo  /\  A. y  e.  RR*  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y ) )
141 breq2 4420 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = +oo  ->  (
y  <  x  <->  y  < +oo ) )
142141notbid 300 . . . . . . . . 9  |-  ( x  = +oo  ->  ( -.  y  <  x  <->  -.  y  < +oo ) )
143142ralbidv 2839 . . . . . . . 8  |-  ( x  = +oo  ->  ( A. y  e.  (/)  -.  y  <  x  <->  A. y  e.  (/)  -.  y  < +oo )
)
144 breq1 4419 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = +oo  ->  (
x  <  y  <-> +oo  <  y
) )
145144imbi1d 323 . . . . . . . . 9  |-  ( x  = +oo  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y )  <->  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) ) )
146145ralbidv 2839 . . . . . . . 8  |-  ( x  = +oo  ->  ( A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  < 
y )  <->  A. y  e.  RR*  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y ) ) )
147143, 146anbi12d 722 . . . . . . 7  |-  ( x  = +oo  ->  (
( A. y  e.  (/)  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  < 
y ) )  <->  ( A. y  e.  (/)  -.  y  < +oo  /\  A. y  e.  RR*  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y ) ) ) )
148147rspcev 3162 . . . . . 6  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  (/)  -.  y  < +oo  /\  A. y  e.  RR*  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y ) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) ) )
149135, 140, 148mp2an 683 . . . . 5  |-  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) )
150149a1i 11 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) ) )
1516, 134, 150pm2.61ne 2721 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
152151adantl 472 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A  C_  RR )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
153 ssel 3438 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  y  e. 
RR* ) )
154153, 71syl6 34 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  -.  y  < -oo ) )
155154ralrimiv 2812 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A. y  e.  A  -.  y  < -oo )
156 breq1 4419 . . . . . . 7  |-  ( z  = -oo  ->  (
z  <  y  <-> -oo  <  y
) )
157156rspcev 3162 . . . . . 6  |-  ( ( -oo  e.  A  /\ -oo 
<  y )  ->  E. z  e.  A  z  <  y )
158157ex 440 . . . . 5  |-  ( -oo  e.  A  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
159158ralrimivw 2815 . . . 4  |-  ( -oo  e.  A  ->  A. y  e.  RR*  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
160155, 159anim12i 574 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ -oo  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  < -oo  /\  A. y  e.  RR*  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
16168, 160, 130sylancr 674 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
162152, 161jaodan 799 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/ -oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    \/ w3o 990    /\ w3a 991    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750    C_ wss 3416   (/)c0 3743   class class class wbr 4416  (class class class)co 6315   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566   +oocpnf 9698   -oocmnf 9699   RR*cxr 9700    < clt 9701    <_ cle 9702    - cmin 9886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889
This theorem is referenced by:  xrinfmss  11624
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