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Theorem xrinfmsslem 11282
Description: Lemma for xrinfmss 11284. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrinfmsslem  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/ -oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrinfmsslem
StepHypRef Expression
1 raleq 2929 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  <->  A. y  e.  (/)  -.  y  < 
x ) )
2 rexeq 2930 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. z  e.  A  z  <  y  <->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) )
32imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) ) )
43ralbidv 2747 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. y  e.  RR*  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  A. y  e.  RR*  ( x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  < 
y ) ) )
51, 4anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  <-> 
( A. y  e.  (/)  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  < 
y ) ) ) )
65rexbidv 2748 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) ) ) )
7 infm3 10301 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
8 rexr 9441 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
98anim1i 568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( x  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
109reximi2 2834 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
117, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
12 elxr 11108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  <->  ( y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo ) )
13 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
14 ssel 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  RR ) )
15 ltpnf 11114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  RR  ->  z  < +oo )
1614, 15syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  z  < +oo ) )
1716ancld 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  (
z  e.  A  /\  z  < +oo ) ) )
1817eximdv 1676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  E. z ( z  e.  A  /\  z  < +oo ) ) )
19 n0 3658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
20 df-rex 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. z  e.  A  z  < +oo  <->  E. z ( z  e.  A  /\  z  < +oo ) )
2118, 19, 203imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A  =/=  (/)  ->  E. z  e.  A  z  < +oo ) )
2221imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A  z  < +oo )
2322a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
x  < +oo  ->  E. z  e.  A  z  < +oo ) )
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  = +oo )  ->  ( x  < +oo  ->  E. z  e.  A  z  < +oo ) )
25 breq2 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = +oo  ->  (
x  <  y  <->  x  < +oo ) )
26 breq2 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  = +oo  ->  (
z  <  y  <->  z  < +oo ) )
2726rexbidv 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = +oo  ->  ( E. z  e.  A  z  <  y  <->  E. z  e.  A  z  < +oo ) )
2825, 27imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  = +oo  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  ( x  < +oo  ->  E. z  e.  A  z  < +oo ) ) )
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  = +oo )  ->  ( ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  ( x  < +oo  ->  E. z  e.  A  z  < +oo ) ) )
3024, 29mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  = +oo )  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
3130ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( y  = +oo  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( y  = +oo  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
33 nltmnf 11121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  < -oo )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = -oo )  ->  -.  x  < -oo )
35 breq2 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  = -oo  ->  (
x  <  y  <->  x  < -oo ) )
3635notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = -oo  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  < -oo ) )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = -oo )  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  < -oo ) )
3834, 37mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = -oo )  ->  -.  x  <  y )
3938pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  = -oo )  ->  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
4039ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  = -oo  ->  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( y  = -oo  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
4213, 32, 413jaod 1282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( (
y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo )  ->  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
4312, 42syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( y  e.  RR*  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
4443ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  (
y  e.  RR*  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
4544ralimdv2 2808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
4645anim2d 565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
4746reximdva 2840 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
48473adant3 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
4911, 48mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
50493expa 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
51 ralnex 2737 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  x  <_  y  <->  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)
52 rexnal 2738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  A  -.  x  <_  y  <->  -.  A. y  e.  A  x  <_  y )
53 ssel2 3363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
54 letric 9487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <_  y  \/  y  <_  x ) )
5554ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <_  y  \/  y  <_  x ) )
5655ord 377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  <_ 
y  ->  y  <_  x ) )
5753, 56sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  <_  y  ->  y  <_  x ) )
5857an32s 802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  x  <_  y  ->  y  <_  x ) )
5958reximdva 2840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  -.  x  <_  y  ->  E. y  e.  A  y  <_  x ) )
6052, 59syl5bir 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. y  e.  A  y  <_  x ) )
6160ralimdva 2806 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  y  <_  x
) )
6261imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  y  <_  x )
6351, 62sylan2br 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  y  <_  x
)
64 breq1 4307 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
y  <_  x  <->  z  <_  x ) )
6564cbvrexv 2960 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  A  y  <_  x  <->  E. z  e.  A  z  <_  x )
6665ralbii 2751 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )
6763, 66sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x
)
68 mnfxr 11106 . . . . . . . 8  |- -oo  e.  RR*
69 ssel 3362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
70 rexr 9441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
71 nltmnf 11121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  y  < -oo )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  y  < -oo )
7369, 72syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  -.  y  < -oo ) )
7473ralrimiv 2810 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  A. y  e.  A  -.  y  < -oo )
7574adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  A. y  e.  A  -.  y  < -oo )
76 peano2rem 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  -  1 )  e.  RR )
77 breq2 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( y  - 
1 )  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  ( y  -  1 ) ) )
7877rexbidv 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( y  - 
1 )  ->  ( E. z  e.  A  z  <_  x  <->  E. z  e.  A  z  <_  ( y  -  1 ) ) )
7978rspcva 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  -  1 )  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  E. z  e.  A  z  <_  ( y  -  1 ) )
8079adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  -  1 )  e.  RR  /\  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR ) )  ->  E. z  e.  A  z  <_  ( y  - 
1 ) )
8180ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  /\  ( y  - 
1 )  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  z  <_  ( y  - 
1 ) )
8276, 81sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  z  <_  ( y  - 
1 ) )
83 ssel2 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
84 ltm1 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  -  1 )  <  y )
8584adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  -  1 )  <  y )
8676ancri 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( y  -  1 )  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
87 lelttr 9477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( y  -  1 )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( z  <_ 
( y  -  1 )  /\  ( y  -  1 )  < 
y )  ->  z  <  y ) )
88873expb 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( ( y  - 
1 )  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  ->  ( (
z  <_  ( y  -  1 )  /\  ( y  -  1 )  <  y )  ->  z  <  y
) )
8986, 88sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( z  <_ 
( y  -  1 )  /\  ( y  -  1 )  < 
y )  ->  z  <  y ) )
9085, 89mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  <_  (
y  -  1 )  ->  z  <  y
) )
9183, 90sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  <_ 
( y  -  1 )  ->  z  <  y ) )
9291an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( z  <_  ( y  -  1 )  ->  z  <  y ) )
9392reximdva 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  z  <_  ( y  - 
1 )  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
9493adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  z  <_  ( y  -  1 )  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
9582, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  z  <  y )
9695exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  ( y  e.  RR  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
9796a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  ( -oo  <  y  ->  ( y  e.  RR  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
9897com4r 86 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
99 0re 9398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
100 breq2 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  0 ) )
101100rexbidv 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  ( E. z  e.  A  z  <_  x  <->  E. z  e.  A  z  <_  0 ) )
102101rspcva 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  E. z  e.  A  z  <_  0 )
10399, 102mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  E. z  e.  A  z  <_  0 )
10483, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  < +oo )
105104a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  (
z  <_  0  ->  z  < +oo ) )
106105reximdva 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  e.  A  z  <_  0  ->  E. z  e.  A  z  < +oo ) )
107103, 106mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  ->  E. z  e.  A  z  < +oo )
108107, 27syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  = +oo  ->  (
( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
109108a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  = +oo  ->  (
( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
110109expd 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  = +oo  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
111 xrltnr 11113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -oo  e.  RR*  ->  -. -oo  < -oo )
11268, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -. -oo  < -oo
113 breq2 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  = -oo  ->  ( -oo  <  y  <-> -oo  < -oo ) )
114112, 113mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  = -oo  ->  -. -oo 
<  y )
115114pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  = -oo  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
116115a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  = -oo  ->  ( A  C_  RR  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
117116a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  = -oo  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
11898, 110, 1173jaoi 1281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo )  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
11912, 118sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
120119com13 80 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( y  e. 
RR*  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
121120imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  ( y  e.  RR*  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
122121ralrimiv 2810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  A. y  e.  RR*  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
12375, 122jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  < -oo  /\  A. y  e.  RR*  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
124 breq2 4308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = -oo  ->  (
y  <  x  <->  y  < -oo ) )
125124notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  = -oo  ->  ( -.  y  <  x  <->  -.  y  < -oo ) )
126125ralbidv 2747 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = -oo  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  <->  A. y  e.  A  -.  y  < -oo ) )
127 breq1 4307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  = -oo  ->  (
x  <  y  <-> -oo  <  y
) )
128127imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  = -oo  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
129128ralbidv 2747 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = -oo  ->  ( A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  A. y  e.  RR*  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
130126, 129anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( x  = -oo  ->  (
( A. y  e.  A  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  y  < -oo  /\  A. y  e.  RR*  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
131130rspcev 3085 . . . . . . . 8  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  < -oo  /\  A. y  e.  RR*  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
13268, 123, 131sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
13367, 132syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
134133adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
13550, 134pm2.61dan 789 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
136 pnfxr 11104 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
137 ral0 3796 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  -.  y  < +oo
138 pnfnlt 11120 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
139138pm2.21d 106 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) )
140139rgen 2793 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  RR*  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y )
141137, 140pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  (/)  -.  y  < +oo  /\  A. y  e.  RR*  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y ) )
142 breq2 4308 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = +oo  ->  (
y  <  x  <->  y  < +oo ) )
143142notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  = +oo  ->  ( -.  y  <  x  <->  -.  y  < +oo ) )
144143ralbidv 2747 . . . . . . . 8  |-  ( x  = +oo  ->  ( A. y  e.  (/)  -.  y  <  x  <->  A. y  e.  (/)  -.  y  < +oo )
)
145 breq1 4307 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = +oo  ->  (
x  <  y  <-> +oo  <  y
) )
146145imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( x  = +oo  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y )  <->  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) ) )
147146ralbidv 2747 . . . . . . . 8  |-  ( x  = +oo  ->  ( A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  < 
y )  <->  A. y  e.  RR*  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y ) ) )
148144, 147anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  = +oo  ->  (
( A. y  e.  (/)  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  < 
y ) )  <->  ( A. y  e.  (/)  -.  y  < +oo  /\  A. y  e.  RR*  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y ) ) ) )
149148rspcev 3085 . . . . . 6  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  (/)  -.  y  < +oo  /\  A. y  e.  RR*  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y ) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) ) )
150136, 141, 149mp2an 672 . . . . 5  |-  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) )
151150a1i 11 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) ) )
1526, 135, 151pm2.61ne 2698 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
153152adantl 466 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A  C_  RR )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
154 ssel 3362 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  y  e. 
RR* ) )
155154, 71syl6 33 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  -.  y  < -oo ) )
156155ralrimiv 2810 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A. y  e.  A  -.  y  < -oo )
157 breq1 4307 . . . . . . 7  |-  ( z  = -oo  ->  (
z  <  y  <-> -oo  <  y
) )
158157rspcev 3085 . . . . . 6  |-  ( ( -oo  e.  A  /\ -oo 
<  y )  ->  E. z  e.  A  z  <  y )
159158ex 434 . . . . 5  |-  ( -oo  e.  A  ->  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
160159ralrimivw 2812 . . . 4  |-  ( -oo  e.  A  ->  A. y  e.  RR*  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
161156, 160anim12i 566 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ -oo  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  < -oo  /\  A. y  e.  RR*  ( -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
16268, 161, 131sylancr 663 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
163153, 162jaodan 783 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/ -oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728    C_ wss 3340   (/)c0 3649   class class class wbr 4304  (class class class)co 6103   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295   +oocpnf 9427   -oocmnf 9428   RR*cxr 9429    < clt 9430    <_ cle 9431    - cmin 9607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610
This theorem is referenced by:  xrinfmss  11284
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