MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinfmss2 Structured version   Unicode version

Theorem xrinfmss2 11265
Description: Any subset of extended reals has an infimum. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrinfmss2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrinfmss2
StepHypRef Expression
1 xrinfmss 11264 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2 vex 2970 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
3 vex 2970 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
42, 3brcnv 5017 . . . . . 6  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
54notbii 296 . . . . 5  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
65ralbii 2734 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  y  <  x )
73, 2brcnv 5017 . . . . . 6  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
8 vex 2970 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
93, 8brcnv 5017 . . . . . . 7  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
109rexbii 2735 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  y `'  <  z  <->  E. z  e.  A  z  <  y )
117, 10imbi12i 326 . . . . 5  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <-> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
1211ralbii 2734 . . . 4  |-  ( A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
136, 12anbi12i 697 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
1413rexbii 2735 . 2  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
151, 14sylibr 212 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wral 2710   E.wrex 2711    C_ wss 3323   class class class wbr 4287   `'ccnv 4834   RR*cxr 9409    < clt 9410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590
This theorem is referenced by:  infmxrcl  11271  infmxrlb  11288  infmxrgelb  11289  xrsclat  26092
  Copyright terms: Public domain W3C validator