MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinfmss2 Structured version   Unicode version

Theorem xrinfmss2 11388
Description: Any subset of extended reals has an infimum. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrinfmss2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrinfmss2
StepHypRef Expression
1 xrinfmss 11387 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2 vex 3081 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
3 vex 3081 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
42, 3brcnv 5133 . . . . . 6  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
54notbii 296 . . . . 5  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
65ralbii 2839 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  y  <  x )
73, 2brcnv 5133 . . . . . 6  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
8 vex 3081 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
93, 8brcnv 5133 . . . . . . 7  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
109rexbii 2862 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  y `'  <  z  <->  E. z  e.  A  z  <  y )
117, 10imbi12i 326 . . . . 5  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <-> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
1211ralbii 2839 . . . 4  |-  ( A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
136, 12anbi12i 697 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
1413rexbii 2862 . 2  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
151, 14sylibr 212 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wral 2799   E.wrex 2800    C_ wss 3439   class class class wbr 4403   `'ccnv 4950   RR*cxr 9532    < clt 9533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713
This theorem is referenced by:  infmxrcl  11394  infmxrlb  11411  infmxrgelb  11412  xrsclat  26313
  Copyright terms: Public domain W3C validator