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Theorem xrinfmss 11602
Description: Any subset of extended reals has an infimum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrinfmss  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrinfmss
StepHypRef Expression
1 xrinfmsslem 11600 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/ -oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2 ssdifss 3596 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A  \  { +oo } ) 
C_  RR* )
3 ssxr 9710 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  { +oo } )  C_  RR*  ->  (
( A  \  { +oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { +oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { +oo } ) ) )
4 3orass 985 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { +oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { +oo } ) )  <->  ( ( A  \  { +oo }
)  C_  RR  \/  ( +oo  e.  ( A 
\  { +oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { +oo } ) ) ) )
5 pnfex 11420 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  _V
65snid 4026 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  { +oo }
7 elndif 3589 . . . . . . . . 9  |-  ( +oo  e.  { +oo }  ->  -. +oo  e.  ( A  \  { +oo } ) )
8 biorf 406 . . . . . . . . 9  |-  ( -. +oo  e.  ( A  \  { +oo } )  -> 
( -oo  e.  ( A  \  { +oo }
)  <->  ( +oo  e.  ( A  \  { +oo } )  \/ -oo  e.  ( A  \  { +oo } ) ) ) )
96, 7, 8mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( -oo  e.  ( A  \  { +oo } )  <->  ( +oo  e.  ( A  \  { +oo } )  \/ -oo  e.  ( A  \  { +oo } ) ) )
109orbi2i 521 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  C_  RR  \/ -oo  e.  ( A 
\  { +oo }
) )  <->  ( ( A  \  { +oo }
)  C_  RR  \/  ( +oo  e.  ( A 
\  { +oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { +oo } ) ) ) )
114, 10bitr4i 255 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { +oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { +oo } ) )  <->  ( ( A  \  { +oo }
)  C_  RR  \/ -oo  e.  ( A  \  { +oo } ) ) )
123, 11sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { +oo } )  C_  RR*  ->  (
( A  \  { +oo } )  C_  RR  \/ -oo  e.  ( A 
\  { +oo }
) ) )
13 xrinfmsslem 11600 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  C_  RR*  /\  (
( A  \  { +oo } )  C_  RR  \/ -oo  e.  ( A 
\  { +oo }
) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { +oo }
)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( A  \  { +oo } ) z  < 
y ) ) )
1412, 13mpdan 672 . . . 4  |-  ( ( A  \  { +oo } )  C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { +oo } )  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( A  \  { +oo } ) z  < 
y ) ) )
152, 14syl 17 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { +oo } )  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( A  \  { +oo } ) z  < 
y ) ) )
16 xrinfmexpnf 11598 . . . 4  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { +oo }
)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( A  \  { +oo } ) z  < 
y ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (
( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } ) z  <  y ) ) )
175snss 4124 . . . . . . 7  |-  ( +oo  e.  A  <->  { +oo }  C_  A )
18 undif 3878 . . . . . . . 8  |-  ( { +oo }  C_  A  <->  ( { +oo }  u.  ( A  \  { +oo } ) )  =  A )
19 uncom 3610 . . . . . . . . 9  |-  ( { +oo }  u.  ( A  \  { +oo }
) )  =  ( ( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )
2019eqeq1i 2429 . . . . . . . 8  |-  ( ( { +oo }  u.  ( A  \  { +oo } ) )  =  A  <-> 
( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } )  =  A )
2118, 20bitri 252 . . . . . . 7  |-  ( { +oo }  C_  A  <->  ( ( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  =  A )
2217, 21bitri 252 . . . . . 6  |-  ( +oo  e.  A  <->  ( ( A 
\  { +oo }
)  u.  { +oo } )  =  A )
23 raleq 3022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  =  A  ->  ( A. y  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } )  -.  y  <  x  <->  A. y  e.  A  -.  y  <  x ) )
24 rexeq 3023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  =  A  ->  ( E. z  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } ) z  <  y  <->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
2524imbi2d 317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  =  A  ->  ( ( x  <  y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } ) z  <  y )  <->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2625ralbidv 2861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  =  A  ->  ( A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } ) z  <  y )  <->  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2723, 26anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  =  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  { +oo }
)  u.  { +oo } )  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } ) z  <  y ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
2822, 27sylbi 198 . . . . 5  |-  ( +oo  e.  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } ) z  <  y ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
2928rexbidv 2936 . . . 4  |-  ( +oo  e.  A  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (
( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } ) z  <  y ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
3016, 29syl5ib 222 . . 3  |-  ( +oo  e.  A  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { +oo }
)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( A  \  { +oo } ) z  < 
y ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
3115, 30mpan9 471 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
32 ssxr 9710 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A  \/ -oo  e.  A
) )
33 df-3or 983 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A  \/ -oo  e.  A )  <->  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A )  \/ -oo  e.  A ) )
34 or32 529 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A )  \/ -oo  e.  A
)  <->  ( ( A 
C_  RR  \/ -oo  e.  A )  \/ +oo  e.  A ) )
3533, 34bitri 252 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A  \/ -oo  e.  A )  <->  ( ( A  C_  RR  \/ -oo  e.  A )  \/ +oo  e.  A ) )
3632, 35sylib 199 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( ( A  C_  RR  \/ -oo  e.  A )  \/ +oo  e.  A ) )
371, 31, 36mpjaodan 793 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    \/ w3o 981    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772    \ cdif 3433    u. cun 3434    C_ wss 3436   {csn 3998   class class class wbr 4423   RRcr 9545   +oocpnf 9679   -oocmnf 9680   RR*cxr 9681    < clt 9682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870
This theorem is referenced by:  xrinfmss2  11603  infxrcl  11626  infxrlb  11627  infxrgelb  11628  xrge0infss  28346  xrge0infssOLD  28347  infxrglb  37517
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