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Theorem xrinfmss 11502
Description: Any subset of extended reals has an infimum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrinfmss  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrinfmss
StepHypRef Expression
1 xrinfmsslem 11500 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/ -oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2 ssdifss 3635 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A  \  { +oo } ) 
C_  RR* )
3 ssxr 9655 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  { +oo } )  C_  RR*  ->  (
( A  \  { +oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { +oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { +oo } ) ) )
4 3orass 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { +oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { +oo } ) )  <->  ( ( A  \  { +oo }
)  C_  RR  \/  ( +oo  e.  ( A 
\  { +oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { +oo } ) ) ) )
5 pnfex 11323 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  _V
65snid 4055 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  { +oo }
7 elndif 3628 . . . . . . . . 9  |-  ( +oo  e.  { +oo }  ->  -. +oo  e.  ( A  \  { +oo } ) )
8 biorf 405 . . . . . . . . 9  |-  ( -. +oo  e.  ( A  \  { +oo } )  -> 
( -oo  e.  ( A  \  { +oo }
)  <->  ( +oo  e.  ( A  \  { +oo } )  \/ -oo  e.  ( A  \  { +oo } ) ) ) )
96, 7, 8mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( -oo  e.  ( A  \  { +oo } )  <->  ( +oo  e.  ( A  \  { +oo } )  \/ -oo  e.  ( A  \  { +oo } ) ) )
109orbi2i 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  C_  RR  \/ -oo  e.  ( A 
\  { +oo }
) )  <->  ( ( A  \  { +oo }
)  C_  RR  \/  ( +oo  e.  ( A 
\  { +oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { +oo } ) ) ) )
114, 10bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  C_  RR  \/ +oo  e.  ( A 
\  { +oo }
)  \/ -oo  e.  ( A  \  { +oo } ) )  <->  ( ( A  \  { +oo }
)  C_  RR  \/ -oo  e.  ( A  \  { +oo } ) ) )
123, 11sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { +oo } )  C_  RR*  ->  (
( A  \  { +oo } )  C_  RR  \/ -oo  e.  ( A 
\  { +oo }
) ) )
13 xrinfmsslem 11500 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  C_  RR*  /\  (
( A  \  { +oo } )  C_  RR  \/ -oo  e.  ( A 
\  { +oo }
) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { +oo }
)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( A  \  { +oo } ) z  < 
y ) ) )
1412, 13mpdan 668 . . . 4  |-  ( ( A  \  { +oo } )  C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { +oo } )  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( A  \  { +oo } ) z  < 
y ) ) )
152, 14syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { +oo } )  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( A  \  { +oo } ) z  < 
y ) ) )
16 xrinfmexpnf 11498 . . . 4  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { +oo }
)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( A  \  { +oo } ) z  < 
y ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (
( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } ) z  <  y ) ) )
175snss 4151 . . . . . . 7  |-  ( +oo  e.  A  <->  { +oo }  C_  A )
18 undif 3907 . . . . . . . 8  |-  ( { +oo }  C_  A  <->  ( { +oo }  u.  ( A  \  { +oo } ) )  =  A )
19 uncom 3648 . . . . . . . . 9  |-  ( { +oo }  u.  ( A  \  { +oo }
) )  =  ( ( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )
2019eqeq1i 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ( { +oo }  u.  ( A  \  { +oo } ) )  =  A  <-> 
( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } )  =  A )
2118, 20bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( { +oo }  C_  A  <->  ( ( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  =  A )
2217, 21bitri 249 . . . . . 6  |-  ( +oo  e.  A  <->  ( ( A 
\  { +oo }
)  u.  { +oo } )  =  A )
23 raleq 3058 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  =  A  ->  ( A. y  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } )  -.  y  <  x  <->  A. y  e.  A  -.  y  <  x ) )
24 rexeq 3059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  =  A  ->  ( E. z  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } ) z  <  y  <->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
2524imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  =  A  ->  ( ( x  <  y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } ) z  <  y )  <->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2625ralbidv 2903 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  =  A  ->  ( A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } ) z  <  y )  <->  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2723, 26anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  =  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  { +oo }
)  u.  { +oo } )  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } ) z  <  y ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
2822, 27sylbi 195 . . . . 5  |-  ( +oo  e.  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } ) z  <  y ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
2928rexbidv 2973 . . . 4  |-  ( +oo  e.  A  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (
( A  \  { +oo } )  u.  { +oo } )  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  { +oo } )  u. 
{ +oo } ) z  <  y ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
3016, 29syl5ib 219 . . 3  |-  ( +oo  e.  A  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  { +oo }
)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( A  \  { +oo } ) z  < 
y ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
3115, 30mpan9 469 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
32 ssxr 9655 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A  \/ -oo  e.  A
) )
33 df-3or 974 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A  \/ -oo  e.  A )  <->  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A )  \/ -oo  e.  A ) )
34 or32 527 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A )  \/ -oo  e.  A
)  <->  ( ( A 
C_  RR  \/ -oo  e.  A )  \/ +oo  e.  A ) )
3533, 34bitri 249 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  \/ +oo  e.  A  \/ -oo  e.  A )  <->  ( ( A  C_  RR  \/ -oo  e.  A )  \/ +oo  e.  A ) )
3632, 35sylib 196 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( ( A  C_  RR  \/ -oo  e.  A )  \/ +oo  e.  A ) )
371, 31, 36mpjaodan 784 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447   RRcr 9492   +oocpnf 9626   -oocmnf 9627   RR*cxr 9628    < clt 9629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809
This theorem is referenced by:  xrinfmss2  11503  xrge0infss  27345
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