MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinfm0 Structured version   Unicode version

Theorem xrinfm0 11580
Description: The infimum of the empty set under the extended reals is positive infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrinfm0  |-  sup ( (/)
,  RR* ,  `'  <  )  = +oo

Proof of Theorem xrinfm0
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11399 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
2 cnvso 5362 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
31, 2mpbi 208 . . . 4  |-  `'  <  Or 
RR*
43a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  `'  <  Or  RR* )
5 pnfxr 11373 . . . 4  |- +oo  e.  RR*
65a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
-> +oo  e.  RR* )
7 noel 3741 . . . . 5  |-  -.  y  e.  (/)
87pm2.21i 131 . . . 4  |-  ( y  e.  (/)  ->  -. +oo `'  <  y )
98adantl 464 . . 3  |-  ( ( T.  /\  y  e.  (/) )  ->  -. +oo `'  <  y )
10 vex 3061 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
11 pnfex 11374 . . . . . . 7  |- +oo  e.  _V
1210, 11brcnv 5005 . . . . . 6  |-  ( y `'  < +oo  <-> +oo  <  y )
13 pnfnlt 11389 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
1413pm2.21d 106 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z ) )
1512, 14syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y `'  < +oo  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z ) )
1615imp 427 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y `'  < +oo )  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z )
1716adantl 464 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR*  /\  y `'  < +oo ) )  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z )
184, 6, 9, 17eqsupd 7949 . 2  |-  ( T. 
->  sup ( (/) ,  RR* ,  `'  <  )  = +oo )
1918trud 1414 1  |-  sup ( (/)
,  RR* ,  `'  <  )  = +oo
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 367    = wceq 1405   T. wtru 1406    e. wcel 1842   E.wrex 2754   (/)c0 3737   class class class wbr 4394    Or wor 4742   `'ccnv 4821   supcsup 7933   +oocpnf 9654   RR*cxr 9656    < clt 9657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662
This theorem is referenced by:  ramcl2lem  14734
  Copyright terms: Public domain W3C validator