MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinfm0 Structured version   Unicode version

Theorem xrinfm0 11413
Description: The infimum of the empty set under the extended reals is positive infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrinfm0  |-  sup ( (/)
,  RR* ,  `'  <  )  = +oo

Proof of Theorem xrinfm0
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11232 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
2 cnvso 5487 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
31, 2mpbi 208 . . . 4  |-  `'  <  Or 
RR*
43a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  `'  <  Or  RR* )
5 pnfxr 11206 . . . 4  |- +oo  e.  RR*
65a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
-> +oo  e.  RR* )
7 noel 3752 . . . . 5  |-  -.  y  e.  (/)
87pm2.21i 131 . . . 4  |-  ( y  e.  (/)  ->  -. +oo `'  <  y )
98adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  y  e.  (/) )  ->  -. +oo `'  <  y )
10 vex 3081 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
11 pnfex 11207 . . . . . . 7  |- +oo  e.  _V
1210, 11brcnv 5133 . . . . . 6  |-  ( y `'  < +oo  <-> +oo  <  y )
13 pnfnlt 11222 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
1413pm2.21d 106 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z ) )
1512, 14syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y `'  < +oo  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z ) )
1615imp 429 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y `'  < +oo )  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z )
1716adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR*  /\  y `'  < +oo ) )  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z )
184, 6, 9, 17eqsupd 7821 . 2  |-  ( T. 
->  sup ( (/) ,  RR* ,  `'  <  )  = +oo )
1918trud 1379 1  |-  sup ( (/)
,  RR* ,  `'  <  )  = +oo
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758   E.wrex 2800   (/)c0 3748   class class class wbr 4403    Or wor 4751   `'ccnv 4950   supcsup 7804   +oocpnf 9529   RR*cxr 9531    < clt 9532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537
This theorem is referenced by:  ramcl2lem  14191
  Copyright terms: Public domain W3C validator