MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinfm0 Structured version   Unicode version

Theorem xrinfm0 11553
Description: The infimum of the empty set under the extended reals is positive infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrinfm0  |-  sup ( (/)
,  RR* ,  `'  <  )  = +oo

Proof of Theorem xrinfm0
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11372 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
2 cnvso 5552 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
31, 2mpbi 208 . . . 4  |-  `'  <  Or 
RR*
43a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  `'  <  Or  RR* )
5 pnfxr 11346 . . . 4  |- +oo  e.  RR*
65a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
-> +oo  e.  RR* )
7 noel 3797 . . . . 5  |-  -.  y  e.  (/)
87pm2.21i 131 . . . 4  |-  ( y  e.  (/)  ->  -. +oo `'  <  y )
98adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  y  e.  (/) )  ->  -. +oo `'  <  y )
10 vex 3112 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
11 pnfex 11347 . . . . . . 7  |- +oo  e.  _V
1210, 11brcnv 5195 . . . . . 6  |-  ( y `'  < +oo  <-> +oo  <  y )
13 pnfnlt 11362 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
1413pm2.21d 106 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z ) )
1512, 14syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y `'  < +oo  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z ) )
1615imp 429 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y `'  < +oo )  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z )
1716adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR*  /\  y `'  < +oo ) )  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z )
184, 6, 9, 17eqsupd 7934 . 2  |-  ( T. 
->  sup ( (/) ,  RR* ,  `'  <  )  = +oo )
1918trud 1404 1  |-  sup ( (/)
,  RR* ,  `'  <  )  = +oo
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819   E.wrex 2808   (/)c0 3793   class class class wbr 4456    Or wor 4808   `'ccnv 5007   supcsup 7918   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650
This theorem is referenced by:  ramcl2lem  14538
  Copyright terms: Public domain W3C validator