MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinfm0 Structured version   Unicode version

Theorem xrinfm0 11524
Description: The infimum of the empty set under the extended reals is positive infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrinfm0  |-  sup ( (/)
,  RR* ,  `'  <  )  = +oo

Proof of Theorem xrinfm0
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11343 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
2 cnvso 5544 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
31, 2mpbi 208 . . . 4  |-  `'  <  Or 
RR*
43a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  `'  <  Or  RR* )
5 pnfxr 11317 . . . 4  |- +oo  e.  RR*
65a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
-> +oo  e.  RR* )
7 noel 3789 . . . . 5  |-  -.  y  e.  (/)
87pm2.21i 131 . . . 4  |-  ( y  e.  (/)  ->  -. +oo `'  <  y )
98adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  y  e.  (/) )  ->  -. +oo `'  <  y )
10 vex 3116 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
11 pnfex 11318 . . . . . . 7  |- +oo  e.  _V
1210, 11brcnv 5183 . . . . . 6  |-  ( y `'  < +oo  <-> +oo  <  y )
13 pnfnlt 11333 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
1413pm2.21d 106 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z ) )
1512, 14syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y `'  < +oo  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z ) )
1615imp 429 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y `'  < +oo )  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z )
1716adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR*  /\  y `'  < +oo ) )  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z )
184, 6, 9, 17eqsupd 7913 . 2  |-  ( T. 
->  sup ( (/) ,  RR* ,  `'  <  )  = +oo )
1918trud 1388 1  |-  sup ( (/)
,  RR* ,  `'  <  )  = +oo
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767   E.wrex 2815   (/)c0 3785   class class class wbr 4447    Or wor 4799   `'ccnv 4998   supcsup 7896   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    < clt 9624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629
This theorem is referenced by:  ramcl2lem  14379
  Copyright terms: Public domain W3C validator