MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrhmph Structured version   Unicode version

Theorem xrhmph 21739
Description: The extended reals are homeomorphic to the interval  [ 0 ,  1 ]. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrhmph  |-  II  ~=  (ordTop `  <_  )

Proof of Theorem xrhmph
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1rr 10681 . . . 4  |-  -u 1  e.  RR
2 1re 9625 . . . 4  |-  1  e.  RR
3 neg1lt0 10683 . . . . 5  |-  -u 1  <  0
4 0lt1 10115 . . . . 5  |-  0  <  1
5 0re 9626 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
61, 5, 2lttri 9742 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  <  0  /\  0  <  1
)  ->  -u 1  <  1 )
73, 4, 6mp2an 670 . . . 4  |-  -u 1  <  1
8 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( x  x.  1 )  +  ( ( 1  -  x )  x.  -u 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( x  x.  1 )  +  ( ( 1  -  x )  x.  -u 1 ) ) )
108, 9icchmeo 21733 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  -u 1  <  1 )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( x  x.  1 )  +  ( ( 1  -  x )  x.  -u 1
) ) )  e.  ( II Homeo ( (
TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) )
111, 2, 7, 10mp3an 1326 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( x  x.  1 )  +  ( ( 1  -  x )  x.  -u 1 ) ) )  e.  ( II
Homeo ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
12 hmphi 20570 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( x  x.  1 )  +  ( ( 1  -  x )  x.  -u 1 ) ) )  e.  ( II
Homeo ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  ->  II  ~=  (
( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . 2  |-  II  ~=  ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) )
14 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
15 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  |->  if ( 0  <_  y , 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) ) `
 y ) , 
-e ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  -u y
) ) )  =  ( y  e.  (
-u 1 [,] 1
)  |->  if ( 0  <_  y ,  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) ) `  y ) ,  -e ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  -u y
) ) )
16 eqid 2402 . . . . 5  |-  (ordTop `  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
1714, 15, 8, 16xrhmeo 21738 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) 
|->  if ( 0  <_ 
y ,  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  y
) ,  -e
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) ) `
 -u y ) ) )  Isom  <  ,  <  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* )  /\  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  |->  if ( 0  <_  y , 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) ) `
 y ) , 
-e ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  -u y
) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) ) )
1817simpri 460 . . 3  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  |->  if ( 0  <_  y , 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) ) `
 y ) , 
-e ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  -u y
) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )
19 hmphi 20570 . . 3  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) 
|->  if ( 0  <_ 
y ,  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  y
) ,  -e
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) ) `
 -u y ) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) )  ~=  (ordTop `  <_  ) )
2018, 19ax-mp 5 . 2  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) )  ~=  (ordTop `  <_  )
21 hmphtr 20576 . 2  |-  ( ( II  ~=  ( (
TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) )  /\  ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) )  ~=  (ordTop `  <_  ) )  ->  II  ~=  (ordTop `  <_  ) )
2213, 20, 21mp2an 670 1  |-  II  ~=  (ordTop `  <_  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842   ifcif 3885   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ` cfv 5569    Isom wiso 5570  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527   +oocpnf 9655   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659    - cmin 9841   -ucneg 9842    / cdiv 10247    -ecxne 11368   [,]cicc 11585   ↾t crest 15035   TopOpenctopn 15036  ordTopcordt 15113  ℂfldccnfld 18740   Homeochmeo 20546    ~= chmph 20547   IIcii 21671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-ordt 15115  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-ps 16154  df-tsr 16155  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-hmph 20549  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-ii 21673
This theorem is referenced by:  xrcmp  21740  xrcon  21741
  Copyright terms: Public domain W3C validator