MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrhmph Structured version   Unicode version

Theorem xrhmph 20661
Description: The extended reals are homeomorphic to the interval  [ 0 ,  1 ]. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrhmph  |-  II  ~=  (ordTop `  <_  )

Proof of Theorem xrhmph
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1rr 10541 . . . 4  |-  -u 1  e.  RR
2 1re 9500 . . . 4  |-  1  e.  RR
3 neg1lt0 10543 . . . . 5  |-  -u 1  <  0
4 0lt1 9977 . . . . 5  |-  0  <  1
5 0re 9501 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
61, 5, 2lttri 9615 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  <  0  /\  0  <  1
)  ->  -u 1  <  1 )
73, 4, 6mp2an 672 . . . 4  |-  -u 1  <  1
8 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( x  x.  1 )  +  ( ( 1  -  x )  x.  -u 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( x  x.  1 )  +  ( ( 1  -  x )  x.  -u 1 ) ) )
108, 9icchmeo 20655 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  -u 1  <  1 )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( x  x.  1 )  +  ( ( 1  -  x )  x.  -u 1
) ) )  e.  ( II Homeo ( (
TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) )
111, 2, 7, 10mp3an 1315 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( x  x.  1 )  +  ( ( 1  -  x )  x.  -u 1 ) ) )  e.  ( II
Homeo ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
12 hmphi 19492 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( x  x.  1 )  +  ( ( 1  -  x )  x.  -u 1 ) ) )  e.  ( II
Homeo ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  ->  II  ~=  (
( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . 2  |-  II  ~=  ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) )
14 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
15 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  |->  if ( 0  <_  y , 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) ) `
 y ) , 
-e ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  -u y
) ) )  =  ( y  e.  (
-u 1 [,] 1
)  |->  if ( 0  <_  y ,  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) ) `  y ) ,  -e ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  -u y
) ) )
16 eqid 2454 . . . . 5  |-  (ordTop `  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
1714, 15, 8, 16xrhmeo 20660 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) 
|->  if ( 0  <_ 
y ,  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  y
) ,  -e
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) ) `
 -u y ) ) )  Isom  <  ,  <  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* )  /\  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  |->  if ( 0  <_  y , 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) ) `
 y ) , 
-e ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  -u y
) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) ) )
1817simpri 462 . . 3  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  |->  if ( 0  <_  y , 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) ) `
 y ) , 
-e ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  -u y
) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )
19 hmphi 19492 . . 3  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) 
|->  if ( 0  <_ 
y ,  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  y
) ,  -e
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) ) `
 -u y ) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) )  ~=  (ordTop `  <_  ) )
2018, 19ax-mp 5 . 2  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) )  ~=  (ordTop `  <_  )
21 hmphtr 19498 . 2  |-  ( ( II  ~=  ( (
TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) )  /\  ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) )  ~=  (ordTop `  <_  ) )  ->  II  ~=  (ordTop `  <_  ) )
2213, 20, 21mp2an 672 1  |-  II  ~=  (ordTop `  <_  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   ifcif 3902   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   ` cfv 5529    Isom wiso 5530  (class class class)co 6203   RRcr 9396   0cc0 9397   1c1 9398    + caddc 9400    x. cmul 9402   +oocpnf 9530   RR*cxr 9532    < clt 9533    <_ cle 9534    - cmin 9710   -ucneg 9711    / cdiv 10108    -ecxne 11201   [,]cicc 11418   ↾t crest 14482   TopOpenctopn 14483  ordTopcordt 14560  ℂfldccnfld 17953   Homeochmeo 19468    ~= chmph 19469   IIcii 20593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-addf 9476  ax-mulf 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7776  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-ioo 11419  df-ioc 11420  df-ico 11421  df-icc 11422  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-exp 11987  df-hash 12225  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-hom 14385  df-cco 14386  df-rest 14484  df-topn 14485  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-topgen 14505  df-pt 14506  df-prds 14509  df-ordt 14562  df-xrs 14563  df-qtop 14568  df-imas 14569  df-xps 14571  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-ps 15493  df-tsr 15494  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-mulg 15671  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-met 17946  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-cnfld 17954  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-topsp 18649  df-cn 18973  df-cnp 18974  df-tx 19277  df-hmeo 19470  df-hmph 19471  df-xms 20037  df-ms 20038  df-tms 20039  df-ii 20595
This theorem is referenced by:  xrcmp  20662  xrcon  20663
  Copyright terms: Public domain W3C validator