MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrhmph Structured version   Unicode version

Theorem xrhmph 20361
Description: The extended reals are homeomorphic to the interval  [ 0 ,  1 ]. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrhmph  |-  II  ~=  (ordTop `  <_  )

Proof of Theorem xrhmph
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1rr 10414 . . . 4  |-  -u 1  e.  RR
2 1re 9373 . . . 4  |-  1  e.  RR
3 neg1lt0 10416 . . . . 5  |-  -u 1  <  0
4 0lt1 9850 . . . . 5  |-  0  <  1
5 0re 9374 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
61, 5, 2lttri 9488 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  <  0  /\  0  <  1
)  ->  -u 1  <  1 )
73, 4, 6mp2an 665 . . . 4  |-  -u 1  <  1
8 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( x  x.  1 )  +  ( ( 1  -  x )  x.  -u 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( x  x.  1 )  +  ( ( 1  -  x )  x.  -u 1 ) ) )
108, 9icchmeo 20355 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  -u 1  <  1 )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( x  x.  1 )  +  ( ( 1  -  x )  x.  -u 1
) ) )  e.  ( II Homeo ( (
TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) )
111, 2, 7, 10mp3an 1307 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( x  x.  1 )  +  ( ( 1  -  x )  x.  -u 1 ) ) )  e.  ( II
Homeo ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
12 hmphi 19192 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( x  x.  1 )  +  ( ( 1  -  x )  x.  -u 1 ) ) )  e.  ( II
Homeo ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  ->  II  ~=  (
( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . 2  |-  II  ~=  ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) )
14 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) )
15 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  |->  if ( 0  <_  y , 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) ) `
 y ) , 
-e ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  -u y
) ) )  =  ( y  e.  (
-u 1 [,] 1
)  |->  if ( 0  <_  y ,  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) ) `  y ) ,  -e ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  -u y
) ) )
16 eqid 2433 . . . . 5  |-  (ordTop `  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
1714, 15, 8, 16xrhmeo 20360 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) 
|->  if ( 0  <_ 
y ,  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  y
) ,  -e
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) ) `
 -u y ) ) )  Isom  <  ,  <  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* )  /\  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  |->  if ( 0  <_  y , 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) ) `
 y ) , 
-e ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  -u y
) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) ) )
1817simpri 459 . . 3  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  |->  if ( 0  <_  y , 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) ) `
 y ) , 
-e ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  -u y
) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )
19 hmphi 19192 . . 3  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) 
|->  if ( 0  <_ 
y ,  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) ) ) `  y
) ,  -e
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  / 
( 1  -  x
) ) ) ) `
 -u y ) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) )  ~=  (ordTop `  <_  ) )
2018, 19ax-mp 5 . 2  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) )  ~=  (ordTop `  <_  )
21 hmphtr 19198 . 2  |-  ( ( II  ~=  ( (
TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) )  /\  ( ( TopOpen ` fld )t  ( -u 1 [,] 1 ) )  ~=  (ordTop `  <_  ) )  ->  II  ~=  (ordTop `  <_  ) )
2213, 20, 21mp2an 665 1  |-  II  ~=  (ordTop `  <_  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1362    e. wcel 1755   ifcif 3779   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406    Isom wiso 5407  (class class class)co 6080   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275   +oocpnf 9403   RR*cxr 9405    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583   -ucneg 9584    / cdiv 9981    -ecxne 11074   [,]cicc 11291   ↾t crest 14342   TopOpenctopn 14343  ordTopcordt 14420  ℂfldccnfld 17662   Homeochmeo 19168    ~= chmph 19169   IIcii 20293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-ordt 14422  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-ps 15353  df-tsr 15354  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-hmph 19171  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-ii 20295
This theorem is referenced by:  xrcmp  20362  xrcon  20363
  Copyright terms: Public domain W3C validator