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Theorem xrhmeo 21531
Description: The bijection from  [ -u
1 ,  1 ] to the extended reals is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrhmeo.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
xrhmeo.g  |-  G  =  ( y  e.  (
-u 1 [,] 1
)  |->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y
) ) )
xrhmeo.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
xrhmeo.k  |-  K  =  (ordTop `  <_  )
Assertion
Ref Expression
xrhmeo  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  /\  G  e.  (
( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, F    x, J, y
Allowed substitution hints:    F( x)    G( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem xrhmeo
Dummy variables  w  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11528 . . . 4  |-  ( -u
1 [,] 1 ) 
C_  RR*
2 xrltso 11268 . . . 4  |-  <  Or  RR*
3 soss 4732 . . . 4  |-  ( (
-u 1 [,] 1
)  C_  RR*  ->  (  <  Or  RR*  ->  <  Or  ( -u 1 [,] 1
) ) )
41, 2, 3mp2 9 . . 3  |-  <  Or  ( -u 1 [,] 1
)
5 sopo 4731 . . . 4  |-  (  < 
Or  RR*  ->  <  Po  RR* )
62, 5ax-mp 5 . . 3  |-  <  Po  RR*
7 xrhmeo.g . . . . 5  |-  G  =  ( y  e.  (
-u 1 [,] 1
)  |->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y
) ) )
8 iccssxr 11528 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
9 neg1rr 10557 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  RR
10 1re 9506 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
119, 10elicc2i 11511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  <->  ( y  e.  RR  /\  -u 1  <_  y  /\  y  <_ 
1 ) )
1211simp1bi 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  y  e.  RR )
1312adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
14 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  0  <_  y )
1511simp3bi 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  y  <_  1 )
1615adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  y  <_  1 )
17 0re 9507 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
1817, 10elicc2i 11511 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y  /\  y  <_  1 ) )
1913, 14, 16, 18syl3anbrc 1178 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  y  e.  ( 0 [,] 1
) )
20 xrhmeo.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
2120iccpnfcnv 21529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  `' F  =  ( v  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( v  = +oo ,  1 ,  ( v  /  (
1  +  v ) ) ) ) )
2221simpli 456 . . . . . . . . . 10  |-  F :
( 0 [,] 1
)
-1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )
23 f1of 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] +oo ) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  F :
( 0 [,] 1
) --> ( 0 [,] +oo )
2524ffvelrni 5932 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2619, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
278, 26sseldi 3415 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  ( F `  y )  e.  RR* )
2812adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  y  e.  RR )
2928renegcld 9904 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u y  e.  RR )
30 letric 9596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 0  <_  y  \/  y  <_  0 ) )
3117, 12, 30sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  y  \/  y  <_  0 ) )
3231orcanai 911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  y  <_  0 )
3328le0neg1d 10041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  (
y  <_  0  <->  0  <_  -u y ) )
3432, 33mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  0  <_ 
-u y )
3511simp2bi 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  -u 1  <_  y )
3635adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u 1  <_  y )
37 lenegcon1 9974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u 1  <_ 
y  <->  -u y  <_  1
) )
3810, 28, 37sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  ( -u 1  <_  y  <->  -u y  <_ 
1 ) )
3936, 38mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u y  <_  1 )
4017, 10elicc2i 11511 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( -u y  e.  RR  /\  0  <_  -u y  /\  -u y  <_  1 ) )
4129, 34, 39, 40syl3anbrc 1178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1
) )
4224ffvelrni 5932 . . . . . . . . 9  |-  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  -> 
( F `  -u y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  ( F `  -u y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
448, 43sseldi 3415 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  ( F `  -u y )  e.  RR* )
4544xnegcld 11413 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -e
( F `  -u y
)  e.  RR* )
4627, 45ifclda 3889 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  e. 
RR* )
477, 46fmpti 5956 . . . 4  |-  G :
( -u 1 [,] 1
) --> RR*
48 frn 5645 . . . . . 6  |-  ( G : ( -u 1 [,] 1 ) --> RR*  ->  ran 
G  C_  RR* )
4947, 48ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  G  C_ 
RR*
50 ssabral 3485 . . . . . . 7  |-  ( RR*  C_ 
{ z  |  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) }  <->  A. z  e.  RR*  E. y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) ) )
51 0le1 9993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  1
52 le0neg2 9979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 ) )
5310, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 )
5451, 53mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  <_  0
55 1le1 10094 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <_  1
56 iccss 11513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( -u 1  <_  0  /\  1  <_  1 ) )  ->  ( 0 [,] 1 )  C_  ( -u 1 [,] 1 ) )
579, 10, 54, 55, 56mp4an 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  ( -u 1 [,] 1
)
58 elxrge0 11550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( z  e. 
RR*  /\  0  <_  z ) )
59 f1ocnv 5736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  ->  `' F :
( 0 [,] +oo )
-1-1-onto-> ( 0 [,] 1
) )
60 f1of 5724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F : ( 0 [,] +oo ) -1-1-onto-> ( 0 [,] 1 )  ->  `' F : ( 0 [,] +oo ) --> ( 0 [,] 1 ) )
6122, 59, 60mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' F : ( 0 [,] +oo ) --> ( 0 [,] 1 )
6261ffvelrni 5932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6358, 62sylbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6457, 63sseldi 3415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
6517, 10elicc2i 11511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( `' F `  z )  e.  RR  /\  0  <_  ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z )  <_  1 ) )
6665simp2bi 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  0  <_  ( `' F `  z ) )
6763, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  0  <_  ( `' F `  z ) )
6858biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )
69 f1ocnvfv2 6084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
7022, 68, 69sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
7170eqcomd 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) )
72 breq2 4371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  ( `' F `  z ) ) )
73 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) )
7473eqeq2d 2396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
z  =  ( F `
 y )  <->  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )
7572, 74anbi12d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y )
)  <->  ( 0  <_ 
( `' F `  z )  /\  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) ) ) )
7675rspcev 3135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  ( 0  <_  ( `' F `  z )  /\  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y )
) )
7764, 67, 71, 76syl12anc 1224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y ) ) )
78 iftrue 3863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <_  y  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  =  ( F `  y
) )
7978eqeq2d 2396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  y  ->  (
z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) )  <->  z  =  ( F `  y ) ) )
8079biimpar 483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y ) )  -> 
z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) ) )
8180reximi 2850 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y )
)  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) )
8277, 81syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) )
83 xnegcl 11333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  RR*  ->  -e
z  e.  RR* )
8483adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e z  e.  RR* )
85 0xr 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR*
86 xrletri 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
0  <_  z  \/  z  <_  0 ) )
8785, 86mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( 0  <_  z  \/  z  <_  0 ) )
8887ord 375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( -.  0  <_  z  ->  z  <_  0 ) )
89 xle0neg1 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( z  <_  0  <->  0  <_  -e z ) )
9088, 89sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( -.  0  <_  z  ->  0  <_  -e z ) )
9190imp 427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
0  <_  -e z )
92 elxrge0 11550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  -e z  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 
-e z  e. 
RR*  /\  0  <_  -e z ) )
9384, 91, 92sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e z  e.  ( 0 [,] +oo )
)
9461ffvelrni 5932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  -e z  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( `' F `  -e z )  e.  ( 0 [,] 1
) )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  ( 0 [,] 1
) )
9657, 95sseldi 3415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
97 iccssre 11527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -u 1 [,] 1 )  C_  RR )
989, 10, 97mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1 [,] 1 ) 
C_  RR
9998, 96sseldi 3415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  RR )
100 iccneg 11562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( `' F `  -e
z )  e.  RR )  ->  ( ( `' F `  -e
z )  e.  (
-u 1 [,] 1
)  <->  -u ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] -u -u 1 ) ) )
1019, 10, 100mp3an12 1312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  -e
z )  e.  RR  ->  ( ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  <->  -u ( `' F `  -e
z )  e.  (
-u 1 [,] -u -u 1
) ) )
10299, 101syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  <->  -u ( `' F `  -e
z )  e.  (
-u 1 [,] -u -u 1
) ) )
10396, 102mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] -u -u 1 ) )
104 negneg1e1 10560 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u -u 1  =  1
105104oveq2i 6207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1 [,] -u -u 1
)  =  ( -u
1 [,] 1 )
106103, 105syl6eleq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
107 xle0neg2 11342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( 0  <_  z  <->  -e z  <_  0 ) )
108107notbid 292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( -.  0  <_  z  <->  -.  -e
z  <_  0 ) )
109108biimpa 482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  -e z  <_ 
0 )
110 f1ocnvfv2 6084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  -e z  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( F `  ( `' F `  -e z ) )  =  -e z )
11122, 93, 110sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  ( `' F `  -e
z ) )  = 
-e z )
112 0elunit 11559 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
113 ax-1ne0 9472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  =/=  0
114 neeq2 2665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
1  =/=  x  <->  1  =/=  0 ) )
115113, 114mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  1  =/=  x )
116115necomd 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  0  ->  x  =/=  1 )
117 ifnefalse 3869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =/=  1  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
119 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
120 oveq2 6204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  x )  =  ( 1  -  0 ) )
121 1m0e1 10563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  -  0 )  =  1
122120, 121syl6eq 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  x )  =  1 )
123119, 122oveq12d 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  0  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  =  ( 0  / 
1 ) )
124 ax-1cn 9461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
125124, 113div0i 10195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  /  1 )  =  0
126123, 125syl6eq 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  =  0 )
127118, 126eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  0 )
128 c0ex 9501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  _V
129127, 20, 128fvmpt 5857 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  0 )  =  0 )
130112, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 0 )  =  0
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  0
)  =  0 )
132111, 131breq12d 4380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( F `  ( `' F `  -e
z ) )  <_ 
( F `  0
)  <->  -e z  <_ 
0 ) )
133109, 132mtbird 299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  ( F `  ( `' F `  -e
z ) )  <_ 
( F `  0
) )
134 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )
13520, 134iccpnfhmeo 21530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F 
Isom  <  ,  <  (
( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  F  e.  ( II Homeo ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
136135simpli 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo ) )
137 iccssxr 11528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR*
138137, 8pm3.2i 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 [,] 1 ) 
C_  RR*  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )
139 leisorel 12413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  ( ( 0 [,] 1 )  C_  RR* 
/\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  /\  ( ( `' F `  -e z )  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( `' F `  -e z )  <_  0  <->  ( F `  ( `' F `  -e z ) )  <_  ( F ` 
0 ) ) )
140136, 138, 139mp3an12 1312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  -e z )  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( `' F `  -e z )  <_ 
0  <->  ( F `  ( `' F `  -e
z ) )  <_ 
( F `  0
) ) )
14195, 112, 140sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( `' F `  -e z )  <_  0  <->  ( F `  ( `' F `  -e z ) )  <_  ( F ` 
0 ) ) )
142133, 141mtbird 299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  ( `' F `  -e z )  <_ 
0 )
14399le0neg1d 10041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( `' F `  -e z )  <_  0  <->  0  <_  -u ( `' F `  -e
z ) ) )
144142, 143mtbid 298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  0  <_  -u ( `' F `  -e
z ) )
145 unitssre 11588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
146145, 95sseldi 3415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  RR )
147146recnd 9533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  CC )
148147negnegd 9835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u -u ( `' F `  -e z )  =  ( `' F `  -e z ) )
149148fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) )  =  ( F `  ( `' F `  -e
z ) ) )
150149, 111eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) )  = 
-e z )
151 xnegeq 11327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) )  = 
-e z  ->  -e ( F `  -u -u ( `' F `  -e z ) )  =  -e  -e z )
152150, 151syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e ( F `  -u -u ( `' F `  -e z ) )  =  -e  -e z )
153 xnegneg 11334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR*  ->  -e  -e z  =  z )
154153adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e  -e z  =  z )
155152, 154eqtr2d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
z  =  -e
( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) ) )
156 breq2 4371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( 0  <_ 
y  <->  0  <_  -u ( `' F `  -e
z ) ) )
157156notbid 292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( -.  0  <_  y  <->  -.  0  <_  -u ( `' F `  -e
z ) ) )
158 negeq 9725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  -u y  =  -u -u ( `' F `  -e z ) )
159158fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( F `  -u y )  =  ( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) ) )
160 xnegeq 11327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  -u y
)  =  ( F `
 -u -u ( `' F `  -e z ) )  ->  -e ( F `  -u y
)  =  -e
( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) ) )
161159, 160syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  -e ( F `
 -u y )  = 
-e ( F `
 -u -u ( `' F `  -e z ) ) )
162161eqeq2d 2396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( z  = 
-e ( F `
 -u y )  <->  z  =  -e ( F `  -u -u ( `' F `  -e z ) ) ) )
163157, 162anbi12d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( ( -.  0  <_  y  /\  z  =  -e ( F `  -u y
) )  <->  ( -.  0  <_  -u ( `' F `  -e z )  /\  z  =  -e ( F `  -u -u ( `' F `  -e z ) ) ) ) )
164163rspcev 3135 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  ( -.  0  <_  -u ( `' F `  -e
z )  /\  z  =  -e ( F `
 -u -u ( `' F `  -e z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( -.  0  <_ 
y  /\  z  =  -e ( F `  -u y ) ) )
165106, 144, 155, 164syl12anc 1224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( -.  0  <_ 
y  /\  z  =  -e ( F `  -u y ) ) )
166 iffalse 3866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  0  <_  y  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  = 
-e ( F `
 -u y ) )
167166eqeq2d 2396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  0  <_  y  ->  ( z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) )  <->  z  =  -e ( F `  -u y ) ) )
168167biimpar 483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  0  <_  y  /\  z  =  -e
( F `  -u y
) )  ->  z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) )
169168reximi 2850 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) ( -.  0  <_ 
y  /\  z  =  -e ( F `  -u y ) )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) ) )
170165, 169syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) ) )
17182, 170pm2.61dan 789 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR*  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) )
17250, 171mprgbir 2746 . . . . . 6  |-  RR*  C_  { z  |  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) }
1737rnmpt 5161 . . . . . 6  |-  ran  G  =  { z  |  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) }
174172, 173sseqtr4i 3450 . . . . 5  |-  RR*  C_  ran  G
17549, 174eqssi 3433 . . . 4  |-  ran  G  =  RR*
176 dffo2 5707 . . . 4  |-  ( G : ( -u 1 [,] 1 ) -onto-> RR*  <->  ( G : ( -u 1 [,] 1 ) --> RR*  /\  ran  G  =  RR* ) )
17747, 175, 176mpbir2an 918 . . 3  |-  G :
( -u 1 [,] 1
) -onto-> RR*
178 breq1 4370 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  =  if ( 0  <_  z ,  ( F `  z ) ,  -e ( F `  -u z
) )  ->  (
( F `  z
)  <  if (
0  <_  w , 
( F `  w
) ,  -e
( F `  -u w
) )  <->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
179 breq1 4370 . . . . . . 7  |-  (  -e ( F `  -u z )  =  if ( 0  <_  z ,  ( F `  z ) ,  -e ( F `  -u z ) )  -> 
(  -e ( F `
 -u z )  < 
if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) )  <->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
180 simpl3 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  <  w )
181 simpl1 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
182 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  0  <_  z )
183 breq2 4371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  z ) )
184 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
185183, 184imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( 0  <_  y  ->  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  <-> 
( 0  <_  z  ->  z  e.  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
18619ex 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  y  ->  y  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
187185, 186vtoclga 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  z  ->  z  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
188181, 182, 187sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  e.  ( 0 [,] 1
) )
189 simpl2 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
19017a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  0  e.  RR )
19198, 181sseldi 3415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  e.  RR )
19298, 189sseldi 3415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  w  e.  RR )
193191, 192, 180ltled 9644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  <_  w )
194190, 191, 192, 182, 193letrd 9650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  0  <_  w )
195 breq2 4371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  w ) )
196 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  w  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
197195, 196imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( 0  <_  y  ->  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  <-> 
( 0  <_  w  ->  w  e.  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
198197, 186vtoclga 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  w  ->  w  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
199189, 194, 198sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  w  e.  ( 0 [,] 1
) )
200 isorel 6123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  w  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( z  <  w  <->  ( F `  z )  <  ( F `  w ) ) )
201136, 200mpan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  w  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( z  < 
w  <->  ( F `  z )  <  ( F `  w )
) )
202188, 199, 201syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  (
z  <  w  <->  ( F `  z )  <  ( F `  w )
) )
203180, 202mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  ( F `  z )  <  ( F `  w
) )
204194iftrued 3865 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) )  =  ( F `  w
) )
205203, 204breqtrrd 4393 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  ( F `  z )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) )
206 breq2 4371 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  w )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w
) )  ->  (  -e ( F `  -u z )  <  ( F `  w )  <->  -e ( F `  -u z )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
207 breq2 4371 . . . . . . . 8  |-  (  -e ( F `  -u w )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) )  -> 
(  -e ( F `
 -u z )  <  -e ( F `
 -u w )  <->  -e ( F `  -u z
)  <  if (
0  <_  w , 
( F `  w
) ,  -e
( F `  -u w
) ) ) )
208 simpl1 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
209 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  0  <_  z )
210183notbid 292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  0  <_  y  <->  -.  0  <_  z ) )
211 negeq 9725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  -u y  =  -u z )
212211eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
213210, 212imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  (
( -.  0  <_ 
y  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1
) )  <->  ( -.  0  <_  z  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
21441ex 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( -.  0  <_  y  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
215213, 214vtoclga 3098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( -.  0  <_  z  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
216208, 209, 215sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) )
217216adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )
21824ffvelrni 5932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u z  e.  ( 0 [,] 1 )  -> 
( F `  -u z
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
219217, 218syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  -u z
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2208, 219sseldi 3415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  -u z
)  e.  RR* )
221220xnegcld 11413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -e ( F `  -u z )  e.  RR* )
22285a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  e.  RR* )
223 simpll2 1034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
224 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <_  w )
225223, 224, 198sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  ( 0 [,] 1 ) )
22624ffvelrni 5932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  w )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
227225, 226syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  w
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2288, 227sseldi 3415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  w
)  e.  RR* )
229209adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -.  0  <_  z )
230 simpll1 1033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
z  e.  ( -u
1 [,] 1 ) )
23198, 230sseldi 3415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
z  e.  RR )
232 ltnle 9575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( z  <  0  <->  -.  0  <_  z )
)
233231, 17, 232sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( z  <  0  <->  -.  0  <_  z )
)
234229, 233mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
z  <  0 )
235231lt0neg1d 10039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( z  <  0  <->  0  <  -u z ) )
236234, 235mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <  -u z )
237 isorel 6123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  ( 0  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0  <  -u z  <->  ( F `  0 )  <  ( F `  -u z ) ) )
238136, 237mpan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0  <  -u z  <->  ( F ` 
0 )  <  ( F `  -u z ) ) )
239112, 217, 238sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( 0  <  -u z  <->  ( F `  0 )  <  ( F `  -u z ) ) )
240236, 239mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  0
)  <  ( F `  -u z ) )
241130, 240syl5eqbrr 4401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <  ( F `  -u z ) )
242 xlt0neg2 11340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  -u z
)  e.  RR*  ->  ( 0  <  ( F `
 -u z )  <->  -e ( F `  -u z
)  <  0 ) )
243220, 242syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( 0  <  ( F `  -u z )  <->  -e ( F `
 -u z )  <  0 ) )
244241, 243mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -e ( F `  -u z )  <  0
)
245 elxrge0 11550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  w )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 w )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  w ) ) )
246245simprbi 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( F `  w
) )
247227, 246syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <_  ( F `  w ) )
248221, 222, 228, 244, 247xrltletrd 11285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -e ( F `  -u z )  <  ( F `  w )
)
249 simpll3 1035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  z  <  w
)
250 simpll1 1033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  z  e.  (
-u 1 [,] 1
) )
25198, 250sseldi 3415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  z  e.  RR )
252 simpll2 1034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )
25398, 252sseldi 3415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  w  e.  RR )
254251, 253ltnegd 10047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( z  < 
w  <->  -u w  <  -u z
) )
255249, 254mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -u w  <  -u z
)
256 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -.  0  <_  w )
257195notbid 292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  0  <_  y  <->  -.  0  <_  w ) )
258 negeq 9725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  ->  -u y  =  -u w )
259258eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  -u w  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
260257, 259imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( -.  0  <_ 
y  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1
) )  <->  ( -.  0  <_  w  ->  -u w  e.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
261260, 214vtoclga 3098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( -.  0  <_  w  ->  -u w  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
262252, 256, 261sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -u w  e.  ( 0 [,] 1 ) )
263216adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )
264 isorel 6123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  ( -u w  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( -u w  <  -u z  <->  ( F `  -u w
)  <  ( F `  -u z ) ) )
265136, 264mpan 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u w  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( -u w  <  -u z  <->  ( F `  -u w )  < 
( F `  -u z
) ) )
266262, 263, 265syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( -u w  <  -u z  <->  ( F `  -u w )  < 
( F `  -u z
) ) )
267255, 266mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u w )  <  ( F `  -u z ) )
26824ffvelrni 5932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u w  e.  ( 0 [,] 1 )  -> 
( F `  -u w
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
269262, 268syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u w )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2708, 269sseldi 3415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u w )  e.  RR* )
271263, 218syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u z )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2728, 271sseldi 3415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u z )  e.  RR* )
273 xltneg 11337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  -u w
)  e.  RR*  /\  ( F `  -u z )  e.  RR* )  ->  (
( F `  -u w
)  <  ( F `  -u z )  <->  -e ( F `  -u z
)  <  -e ( F `  -u w
) ) )
274270, 272, 273syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( ( F `
 -u w )  < 
( F `  -u z
)  <->  -e ( F `
 -u z )  <  -e ( F `
 -u w ) ) )
275267, 274mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -e ( F `
 -u z )  <  -e ( F `
 -u w ) )
276206, 207, 248, 275ifbothda 3892 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e
( F `  -u z
)  <  if (
0  <_  w , 
( F `  w
) ,  -e
( F `  -u w
) ) )
277178, 179, 205, 276ifbothda 3892 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  ->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) )
2782773expia 1196 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  (
z  <  w  ->  if ( 0  <_  z ,  ( F `  z ) ,  -e ( F `  -u z ) )  < 
if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
279 fveq2 5774 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
280211fveq2d 5778 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  -u y )  =  ( F `  -u z ) )
281 xnegeq 11327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  -u y
)  =  ( F `
 -u z )  ->  -e ( F `  -u y )  =  -e ( F `  -u z ) )
282280, 281syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  -e
( F `  -u y
)  =  -e
( F `  -u z
) )
283183, 279, 282ifbieq12d 3884 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  =  if ( 0  <_ 
z ,  ( F `
 z ) , 
-e ( F `
 -u z ) ) )
284 fvex 5784 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
285 xnegex 11328 . . . . . . . 8  |-  -e
( F `  -u z
)  e.  _V
286284, 285ifex 3925 . . . . . . 7  |-  if ( 0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  e.  _V
287283, 7, 286fvmpt 5857 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( G `  z )  =  if ( 0  <_ 
z ,  ( F `
 z ) , 
-e ( F `
 -u z ) ) )
288 fveq2 5774 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
289258fveq2d 5778 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  -u y )  =  ( F `  -u w ) )
290 xnegeq 11327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  -u y
)  =  ( F `
 -u w )  ->  -e ( F `  -u y )  =  -e ( F `  -u w ) )
291289, 290syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  -e
( F `  -u y
)  =  -e
( F `  -u w
) )
292195, 288, 291ifbieq12d 3884 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) )
293 fvex 5784 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
294 xnegex 11328 . . . . . . . 8  |-  -e
( F `  -u w
)  e.  _V
295293, 294ifex 3925 . . . . . . 7  |-  if ( 0  <_  w , 
( F `  w
) ,  -e
( F `  -u w
) )  e.  _V
296292, 7, 295fvmpt 5857 . . . . . 6  |-  ( w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( G `  w )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) )
297287, 296breqan12d 4382 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  (
( G `  z
)  <  ( G `  w )  <->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
298278, 297sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  (
z  <  w  ->  ( G `  z )  <  ( G `  w ) ) )
299298rgen2a 2809 . . 3  |-  A. z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) A. w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( z  <  w  ->  ( G `  z )  <  ( G `  w
) )
300 soisoi 6125 . . 3  |-  ( ( (  <  Or  ( -u 1 [,] 1 )  /\  <  Po  RR* )  /\  ( G :
( -u 1 [,] 1
) -onto-> RR*  /\  A. z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) A. w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( z  <  w  ->  ( G `  z )  <  ( G `  w
) ) ) )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( -u
1 [,] 1 ) ,  RR* ) )
3014, 6, 177, 299, 300mp4an 671 . 2  |-  G  Isom  <  ,  <  ( ( -u
1 [,] 1 ) ,  RR* )
302 letsr 15974 . . . . . 6  |-  <_  e.  TosetRel
303302elexi 3044 . . . . 5  |-  <_  e.  _V
304303inex1 4506 . . . 4  |-  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  e.  _V
305 ssid 3436 . . . . . . 7  |-  RR*  C_  RR*
306 leiso 12412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u 1 [,] 1 )  C_  RR*  /\  RR*  C_ 
RR* )  ->  ( G  Isom  <  ,  <  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) 
<->  G  Isom  <_  ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) ) )
3071, 305, 306mp2an 670 . . . . . 6  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  <->  G 
Isom  <_  ,  <_  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )
)
308301, 307mpbi 208 . . . . 5  |-  G  Isom  <_  ,  <_  ( ( -u
1 [,] 1 ) ,  RR* )
309 isores1 6131 . . . . 5  |-  ( G 
Isom  <_  ,  <_  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  <->  G 
Isom  (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) ) ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) )
310308, 309mpbi 208 . . . 4  |-  G  Isom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* )
311 tsrps 15968 . . . . . . . 8  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  <_  e.  PosetRel )
312302, 311ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  <_  e.  PosetRel
313 ledm 15971 . . . . . . . 8  |-  RR*  =  dom  <_
314313psssdm 15963 . . . . . . 7  |-  ( (  <_  e.  PosetRel  /\  ( -u 1 [,] 1 ) 
C_  RR* )  ->  dom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  =  ( -u 1 [,] 1 ) )
315312, 1, 314mp2an 670 . . . . . 6  |-  dom  (  <_  i^i  ( ( -u
1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  =  ( -u 1 [,] 1 )
316315eqcomi 2395 . . . . 5  |-  ( -u
1 [,] 1 )  =  dom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
317316, 313ordthmeo 20388 . . . 4  |-  ( ( (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) )  e.  _V  /\ 
<_  e.  TosetRel  /\  G  Isom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) )  ->  G  e.  ( (ordTop `  (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) ) )
318304, 302, 310, 317mp3an 1322 . . 3  |-  G  e.  ( (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( -u
1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )
319 xrhmeo.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
320 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
321319, 320xrrest2 21398 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1 [,] 1
)  C_  RR  ->  ( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  (
-u 1 [,] 1
) ) )
32298, 321ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( Jt  (
-u 1 [,] 1
) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( -u
1 [,] 1 ) )
323 ordtresticc 19810 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( -u 1 [,] 1 ) )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) )
324322, 323eqtri 2411 . . . 4  |-  ( Jt  (
-u 1 [,] 1
) )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) ) )
325324oveq1i 6206 . . 3  |-  ( ( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )  =  ( (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( -u
1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )
326318, 325eleqtrri 2469 . 2  |-  G  e.  ( ( Jt  ( -u
1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )
327301, 326pm3.2i 453 1  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  /\  G  e.  (
( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   {cab 2367    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034    i^i cin 3388    C_ wss 3389   ifcif 3857   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425    Po wpo 4712    Or wor 4713    X. cxp 4911   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   ran crn 4914   -->wf 5492   -onto->wfo 5494   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496    Isom wiso 5497  (class class class)co 6196   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406   +oocpnf 9536   RR*cxr 9538    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718   -ucneg 9719    / cdiv 10123    -ecxne 11236   [,]cicc 11453   ↾t crest 14828   TopOpenctopn 14829  ordTopcordt 14906   PosetRelcps 15945    TosetRel ctsr 15946  ℂfldccnfld 18533   Homeochmeo 20339   IIcii 21464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fi 7786  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-rest 14830  df-topn 14831  df-topgen 14851  df-ordt 14908  df-ps 15947  df-tsr 15948  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cn 19814  df-hmeo 20341  df-xms 20908  df-ms 20909  df-ii 21466
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