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Theorem xrhmeo 21970
Description: The bijection from  [ -u
1 ,  1 ] to the extended reals is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrhmeo.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
xrhmeo.g  |-  G  =  ( y  e.  (
-u 1 [,] 1
)  |->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y
) ) )
xrhmeo.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
xrhmeo.k  |-  K  =  (ordTop `  <_  )
Assertion
Ref Expression
xrhmeo  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  /\  G  e.  (
( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, F    x, J, y
Allowed substitution hints:    F( x)    G( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem xrhmeo
Dummy variables  w  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11723 . . . 4  |-  ( -u
1 [,] 1 ) 
C_  RR*
2 xrltso 11446 . . . 4  |-  <  Or  RR*
3 soss 4791 . . . 4  |-  ( (
-u 1 [,] 1
)  C_  RR*  ->  (  <  Or  RR*  ->  <  Or  ( -u 1 [,] 1
) ) )
41, 2, 3mp2 9 . . 3  |-  <  Or  ( -u 1 [,] 1
)
5 sopo 4790 . . . 4  |-  (  < 
Or  RR*  ->  <  Po  RR* )
62, 5ax-mp 5 . . 3  |-  <  Po  RR*
7 xrhmeo.g . . . . 5  |-  G  =  ( y  e.  (
-u 1 [,] 1
)  |->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y
) ) )
8 iccssxr 11723 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
9 neg1rr 10720 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  RR
10 1re 9648 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
119, 10elicc2i 11706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  <->  ( y  e.  RR  /\  -u 1  <_  y  /\  y  <_ 
1 ) )
1211simp1bi 1021 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  y  e.  RR )
1312adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
14 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  0  <_  y )
1511simp3bi 1023 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  y  <_  1 )
1615adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  y  <_  1 )
17 0re 9649 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
1817, 10elicc2i 11706 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y  /\  y  <_  1 ) )
1913, 14, 16, 18syl3anbrc 1190 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  y  e.  ( 0 [,] 1
) )
20 xrhmeo.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
2120iccpnfcnv 21968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  `' F  =  ( v  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( v  = +oo ,  1 ,  ( v  /  (
1  +  v ) ) ) ) )
2221simpli 460 . . . . . . . . . 10  |-  F :
( 0 [,] 1
)
-1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )
23 f1of 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] +oo ) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  F :
( 0 [,] 1
) --> ( 0 [,] +oo )
2524ffvelrni 6035 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2619, 25syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
278, 26sseldi 3464 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  ( F `  y )  e.  RR* )
2812adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  y  e.  RR )
2928renegcld 10052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u y  e.  RR )
30 letric 9740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 0  <_  y  \/  y  <_  0 ) )
3117, 12, 30sylancr 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  y  \/  y  <_  0 ) )
3231orcanai 922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  y  <_  0 )
3328le0neg1d 10191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  (
y  <_  0  <->  0  <_  -u y ) )
3432, 33mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  0  <_ 
-u y )
3511simp2bi 1022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  -u 1  <_  y )
3635adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u 1  <_  y )
37 lenegcon1 10124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u 1  <_ 
y  <->  -u y  <_  1
) )
3810, 28, 37sylancr 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  ( -u 1  <_  y  <->  -u y  <_ 
1 ) )
3936, 38mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u y  <_  1 )
4017, 10elicc2i 11706 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( -u y  e.  RR  /\  0  <_  -u y  /\  -u y  <_  1 ) )
4129, 34, 39, 40syl3anbrc 1190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1
) )
4224ffvelrni 6035 . . . . . . . . 9  |-  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  -> 
( F `  -u y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  ( F `  -u y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
448, 43sseldi 3464 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  ( F `  -u y )  e.  RR* )
4544xnegcld 11592 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -e
( F `  -u y
)  e.  RR* )
4627, 45ifclda 3943 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  e. 
RR* )
477, 46fmpti 6059 . . . 4  |-  G :
( -u 1 [,] 1
) --> RR*
48 frn 5751 . . . . . 6  |-  ( G : ( -u 1 [,] 1 ) --> RR*  ->  ran 
G  C_  RR* )
4947, 48ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  G  C_ 
RR*
50 ssabral 3534 . . . . . . 7  |-  ( RR*  C_ 
{ z  |  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) }  <->  A. z  e.  RR*  E. y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) ) )
51 0le1 10143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  1
52 le0neg2 10129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 ) )
5310, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 )
5451, 53mpbi 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  <_  0
55 1le1 10246 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <_  1
56 iccss 11708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( -u 1  <_  0  /\  1  <_  1 ) )  ->  ( 0 [,] 1 )  C_  ( -u 1 [,] 1 ) )
579, 10, 54, 55, 56mp4an 678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  ( -u 1 [,] 1
)
58 elxrge0 11747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( z  e. 
RR*  /\  0  <_  z ) )
59 f1ocnv 5842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  ->  `' F :
( 0 [,] +oo )
-1-1-onto-> ( 0 [,] 1
) )
60 f1of 5830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F : ( 0 [,] +oo ) -1-1-onto-> ( 0 [,] 1 )  ->  `' F : ( 0 [,] +oo ) --> ( 0 [,] 1 ) )
6122, 59, 60mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' F : ( 0 [,] +oo ) --> ( 0 [,] 1 )
6261ffvelrni 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6358, 62sylbir 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6457, 63sseldi 3464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
6517, 10elicc2i 11706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( `' F `  z )  e.  RR  /\  0  <_  ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z )  <_  1 ) )
6665simp2bi 1022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  0  <_  ( `' F `  z ) )
6763, 66syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  0  <_  ( `' F `  z ) )
6858biimpri 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )
69 f1ocnvfv2 6190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
7022, 68, 69sylancr 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
7170eqcomd 2431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) )
72 breq2 4426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  ( `' F `  z ) ) )
73 fveq2 5880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) )
7473eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
z  =  ( F `
 y )  <->  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )
7572, 74anbi12d 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y )
)  <->  ( 0  <_ 
( `' F `  z )  /\  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) ) ) )
7675rspcev 3183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  ( 0  <_  ( `' F `  z )  /\  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y )
) )
7764, 67, 71, 76syl12anc 1263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y ) ) )
78 iftrue 3917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <_  y  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  =  ( F `  y
) )
7978eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  y  ->  (
z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) )  <->  z  =  ( F `  y ) ) )
8079biimpar 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y ) )  -> 
z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) ) )
8180reximi 2894 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y )
)  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) )
8277, 81syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) )
83 xnegcl 11512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  RR*  ->  -e
z  e.  RR* )
8483adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e z  e.  RR* )
85 0xr 9693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR*
86 xrletri 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
0  <_  z  \/  z  <_  0 ) )
8785, 86mpan 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( 0  <_  z  \/  z  <_  0 ) )
8887ord 379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( -.  0  <_  z  ->  z  <_  0 ) )
89 xle0neg1 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( z  <_  0  <->  0  <_  -e z ) )
9088, 89sylibd 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( -.  0  <_  z  ->  0  <_  -e z ) )
9190imp 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
0  <_  -e z )
92 elxrge0 11747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  -e z  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 
-e z  e. 
RR*  /\  0  <_  -e z ) )
9384, 91, 92sylanbrc 669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e z  e.  ( 0 [,] +oo )
)
9461ffvelrni 6035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  -e z  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( `' F `  -e z )  e.  ( 0 [,] 1
) )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  ( 0 [,] 1
) )
9657, 95sseldi 3464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
97 iccssre 11722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -u 1 [,] 1 )  C_  RR )
989, 10, 97mp2an 677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1 [,] 1 ) 
C_  RR
9998, 96sseldi 3464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  RR )
100 iccneg 11759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( `' F `  -e
z )  e.  RR )  ->  ( ( `' F `  -e
z )  e.  (
-u 1 [,] 1
)  <->  -u ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] -u -u 1 ) ) )
1019, 10, 100mp3an12 1351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  -e
z )  e.  RR  ->  ( ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  <->  -u ( `' F `  -e
z )  e.  (
-u 1 [,] -u -u 1
) ) )
10299, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  <->  -u ( `' F `  -e
z )  e.  (
-u 1 [,] -u -u 1
) ) )
10396, 102mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] -u -u 1 ) )
104 negneg1e1 10723 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u -u 1  =  1
105104oveq2i 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1 [,] -u -u 1
)  =  ( -u
1 [,] 1 )
106103, 105syl6eleq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
107 xle0neg2 11521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( 0  <_  z  <->  -e z  <_  0 ) )
108107notbid 296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( -.  0  <_  z  <->  -.  -e
z  <_  0 ) )
109108biimpa 487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  -e z  <_ 
0 )
110 f1ocnvfv2 6190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  -e z  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( F `  ( `' F `  -e z ) )  =  -e z )
11122, 93, 110sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  ( `' F `  -e
z ) )  = 
-e z )
112 0elunit 11756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
113 ax-1ne0 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  =/=  0
114 neeq2 2708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
1  =/=  x  <->  1  =/=  0 ) )
115113, 114mpbiri 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  1  =/=  x )
116115necomd 2696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  0  ->  x  =/=  1 )
117 ifnefalse 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =/=  1  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
119 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
120 oveq2 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  x )  =  ( 1  -  0 ) )
121 1m0e1 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  -  0 )  =  1
122120, 121syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  x )  =  1 )
123119, 122oveq12d 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  0  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  =  ( 0  / 
1 ) )
124 ax-1cn 9603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
125124, 113div0i 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  /  1 )  =  0
126123, 125syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  =  0 )
127118, 126eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  0 )
128 c0ex 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  _V
129127, 20, 128fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  0 )  =  0 )
130112, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 0 )  =  0
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  0
)  =  0 )
132111, 131breq12d 4435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( F `  ( `' F `  -e
z ) )  <_ 
( F `  0
)  <->  -e z  <_ 
0 ) )
133109, 132mtbird 303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  ( F `  ( `' F `  -e
z ) )  <_ 
( F `  0
) )
134 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )
13520, 134iccpnfhmeo 21969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F 
Isom  <  ,  <  (
( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  F  e.  ( II Homeo ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
136135simpli 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo ) )
137 iccssxr 11723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR*
138137, 8pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 [,] 1 ) 
C_  RR*  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )
139 leisorel 12626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  ( ( 0 [,] 1 )  C_  RR* 
/\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  /\  ( ( `' F `  -e z )  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( `' F `  -e z )  <_  0  <->  ( F `  ( `' F `  -e z ) )  <_  ( F ` 
0 ) ) )
140136, 138, 139mp3an12 1351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  -e z )  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( `' F `  -e z )  <_ 
0  <->  ( F `  ( `' F `  -e
z ) )  <_ 
( F `  0
) ) )
14195, 112, 140sylancl 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( `' F `  -e z )  <_  0  <->  ( F `  ( `' F `  -e z ) )  <_  ( F ` 
0 ) ) )
142133, 141mtbird 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  ( `' F `  -e z )  <_ 
0 )
14399le0neg1d 10191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( `' F `  -e z )  <_  0  <->  0  <_  -u ( `' F `  -e
z ) ) )
144142, 143mtbid 302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  0  <_  -u ( `' F `  -e
z ) )
145 unitssre 11785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
146145, 95sseldi 3464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  RR )
147146recnd 9675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  CC )
148147negnegd 9983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u -u ( `' F `  -e z )  =  ( `' F `  -e z ) )
149148fveq2d 5884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) )  =  ( F `  ( `' F `  -e
z ) ) )
150149, 111eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) )  = 
-e z )
151 xnegeq 11506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) )  = 
-e z  ->  -e ( F `  -u -u ( `' F `  -e z ) )  =  -e  -e z )
152150, 151syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e ( F `  -u -u ( `' F `  -e z ) )  =  -e  -e z )
153 xnegneg 11513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR*  ->  -e  -e z  =  z )
154153adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e  -e z  =  z )
155152, 154eqtr2d 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
z  =  -e
( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) ) )
156 breq2 4426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( 0  <_ 
y  <->  0  <_  -u ( `' F `  -e
z ) ) )
157156notbid 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( -.  0  <_  y  <->  -.  0  <_  -u ( `' F `  -e
z ) ) )
158 negeq 9873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  -u y  =  -u -u ( `' F `  -e z ) )
159158fveq2d 5884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( F `  -u y )  =  ( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) ) )
160 xnegeq 11506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  -u y
)  =  ( F `
 -u -u ( `' F `  -e z ) )  ->  -e ( F `  -u y
)  =  -e
( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) ) )
161159, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  -e ( F `
 -u y )  = 
-e ( F `
 -u -u ( `' F `  -e z ) ) )
162161eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( z  = 
-e ( F `
 -u y )  <->  z  =  -e ( F `  -u -u ( `' F `  -e z ) ) ) )
163157, 162anbi12d 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( ( -.  0  <_  y  /\  z  =  -e ( F `  -u y
) )  <->  ( -.  0  <_  -u ( `' F `  -e z )  /\  z  =  -e ( F `  -u -u ( `' F `  -e z ) ) ) ) )
164163rspcev 3183 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  ( -.  0  <_  -u ( `' F `  -e
z )  /\  z  =  -e ( F `
 -u -u ( `' F `  -e z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( -.  0  <_ 
y  /\  z  =  -e ( F `  -u y ) ) )
165106, 144, 155, 164syl12anc 1263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( -.  0  <_ 
y  /\  z  =  -e ( F `  -u y ) ) )
166 iffalse 3920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  0  <_  y  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  = 
-e ( F `
 -u y ) )
167166eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  0  <_  y  ->  ( z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) )  <->  z  =  -e ( F `  -u y ) ) )
168167biimpar 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  0  <_  y  /\  z  =  -e
( F `  -u y
) )  ->  z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) )
169168reximi 2894 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) ( -.  0  <_ 
y  /\  z  =  -e ( F `  -u y ) )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) ) )
170165, 169syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) ) )
17182, 170pm2.61dan 799 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR*  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) )
17250, 171mprgbir 2790 . . . . . 6  |-  RR*  C_  { z  |  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) }
1737rnmpt 5098 . . . . . 6  |-  ran  G  =  { z  |  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) }
174172, 173sseqtr4i 3499 . . . . 5  |-  RR*  C_  ran  G
17549, 174eqssi 3482 . . . 4  |-  ran  G  =  RR*
176 dffo2 5813 . . . 4  |-  ( G : ( -u 1 [,] 1 ) -onto-> RR*  <->  ( G : ( -u 1 [,] 1 ) --> RR*  /\  ran  G  =  RR* ) )
17747, 175, 176mpbir2an 929 . . 3  |-  G :
( -u 1 [,] 1
) -onto-> RR*
178 breq1 4425 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  =  if ( 0  <_  z ,  ( F `  z ) ,  -e ( F `  -u z
) )  ->  (
( F `  z
)  <  if (
0  <_  w , 
( F `  w
) ,  -e
( F `  -u w
) )  <->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
179 breq1 4425 . . . . . . 7  |-  (  -e ( F `  -u z )  =  if ( 0  <_  z ,  ( F `  z ) ,  -e ( F `  -u z ) )  -> 
(  -e ( F `
 -u z )  < 
if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) )  <->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
180 simpl3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  <  w )
181 simpl1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
182 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  0  <_  z )
183 breq2 4426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  z ) )
184 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
185183, 184imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( 0  <_  y  ->  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  <-> 
( 0  <_  z  ->  z  e.  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
18619ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  y  ->  y  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
187185, 186vtoclga 3146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  z  ->  z  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
188181, 182, 187sylc 63 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  e.  ( 0 [,] 1
) )
189 simpl2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
19017a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  0  e.  RR )
19198, 181sseldi 3464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  e.  RR )
19298, 189sseldi 3464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  w  e.  RR )
193191, 192, 180ltled 9789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  <_  w )
194190, 191, 192, 182, 193letrd 9798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  0  <_  w )
195 breq2 4426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  w ) )
196 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  w  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
197195, 196imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( 0  <_  y  ->  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  <-> 
( 0  <_  w  ->  w  e.  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
198197, 186vtoclga 3146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  w  ->  w  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
199189, 194, 198sylc 63 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  w  e.  ( 0 [,] 1
) )
200 isorel 6231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  w  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( z  <  w  <->  ( F `  z )  <  ( F `  w ) ) )
201136, 200mpan 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  w  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( z  < 
w  <->  ( F `  z )  <  ( F `  w )
) )
202188, 199, 201syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  (
z  <  w  <->  ( F `  z )  <  ( F `  w )
) )
203180, 202mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  ( F `  z )  <  ( F `  w
) )
204194iftrued 3919 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) )  =  ( F `  w
) )
205203, 204breqtrrd 4449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  ( F `  z )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) )
206 breq2 4426 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  w )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w
) )  ->  (  -e ( F `  -u z )  <  ( F `  w )  <->  -e ( F `  -u z )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
207 breq2 4426 . . . . . . . 8  |-  (  -e ( F `  -u w )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) )  -> 
(  -e ( F `
 -u z )  <  -e ( F `
 -u w )  <->  -e ( F `  -u z
)  <  if (
0  <_  w , 
( F `  w
) ,  -e
( F `  -u w
) ) ) )
208 simpl1 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
209 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  0  <_  z )
210183notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  0  <_  y  <->  -.  0  <_  z ) )
211 negeq 9873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  -u y  =  -u z )
212211eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
213210, 212imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  (
( -.  0  <_ 
y  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1
) )  <->  ( -.  0  <_  z  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
21441ex 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( -.  0  <_  y  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
215213, 214vtoclga 3146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( -.  0  <_  z  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
216208, 209, 215sylc 63 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) )
217216adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )
21824ffvelrni 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u z  e.  ( 0 [,] 1 )  -> 
( F `  -u z
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
219217, 218syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  -u z
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2208, 219sseldi 3464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  -u z
)  e.  RR* )
221220xnegcld 11592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -e ( F `  -u z )  e.  RR* )
22285a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  e.  RR* )
223 simpll2 1046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
224 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <_  w )
225223, 224, 198sylc 63 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  ( 0 [,] 1 ) )
22624ffvelrni 6035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  w )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
227225, 226syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  w
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2288, 227sseldi 3464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  w
)  e.  RR* )
229209adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -.  0  <_  z )
230 simpll1 1045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
z  e.  ( -u
1 [,] 1 ) )
23198, 230sseldi 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
z  e.  RR )
232 ltnle 9719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( z  <  0  <->  -.  0  <_  z )
)
233231, 17, 232sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( z  <  0  <->  -.  0  <_  z )
)
234229, 233mpbird 236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
z  <  0 )
235231lt0neg1d 10189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( z  <  0  <->  0  <  -u z ) )
236234, 235mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <  -u z )
237 isorel 6231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  ( 0  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0  <  -u z  <->  ( F `  0 )  <  ( F `  -u z ) ) )
238136, 237mpan 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0  <  -u z  <->  ( F ` 
0 )  <  ( F `  -u z ) ) )
239112, 217, 238sylancr 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( 0  <  -u z  <->  ( F `  0 )  <  ( F `  -u z ) ) )
240236, 239mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  0
)  <  ( F `  -u z ) )
241130, 240syl5eqbrr 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <  ( F `  -u z ) )
242 xlt0neg2 11519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  -u z
)  e.  RR*  ->  ( 0  <  ( F `
 -u z )  <->  -e ( F `  -u z
)  <  0 ) )
243220, 242syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( 0  <  ( F `  -u z )  <->  -e ( F `
 -u z )  <  0 ) )
244241, 243mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -e ( F `  -u z )  <  0
)
245 elxrge0 11747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  w )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 w )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  w ) ) )
246245simprbi 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( F `  w
) )
247227, 246syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <_  ( F `  w ) )
248221, 222, 228, 244, 247xrltletrd 11464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -e ( F `  -u z )  <  ( F `  w )
)
249 simpll3 1047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  z  <  w
)
250 simpll1 1045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  z  e.  (
-u 1 [,] 1
) )
25198, 250sseldi 3464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  z  e.  RR )
252 simpll2 1046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )
25398, 252sseldi 3464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  w  e.  RR )
254251, 253ltnegd 10197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( z  < 
w  <->  -u w  <  -u z
) )
255249, 254mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -u w  <  -u z
)
256 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -.  0  <_  w )
257195notbid 296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  0  <_  y  <->  -.  0  <_  w ) )
258 negeq 9873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  ->  -u y  =  -u w )
259258eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  -u w  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
260257, 259imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( -.  0  <_ 
y  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1
) )  <->  ( -.  0  <_  w  ->  -u w  e.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
261260, 214vtoclga 3146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( -.  0  <_  w  ->  -u w  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
262252, 256, 261sylc 63 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -u w  e.  ( 0 [,] 1 ) )
263216adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )
264 isorel 6231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  ( -u w  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( -u w  <  -u z  <->  ( F `  -u w
)  <  ( F `  -u z ) ) )
265136, 264mpan 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u w  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( -u w  <  -u z  <->  ( F `  -u w )  < 
( F `  -u z
) ) )
266262, 263, 265syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( -u w  <  -u z  <->  ( F `  -u w )  < 
( F `  -u z
) ) )
267255, 266mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u w )  <  ( F `  -u z ) )
26824ffvelrni 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u w  e.  ( 0 [,] 1 )  -> 
( F `  -u w
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
269262, 268syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u w )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2708, 269sseldi 3464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u w )  e.  RR* )
271263, 218syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u z )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2728, 271sseldi 3464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u z )  e.  RR* )
273 xltneg 11516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  -u w
)  e.  RR*  /\  ( F `  -u z )  e.  RR* )  ->  (
( F `  -u w
)  <  ( F `  -u z )  <->  -e ( F `  -u z
)  <  -e ( F `  -u w
) ) )
274270, 272, 273syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( ( F `
 -u w )  < 
( F `  -u z
)  <->  -e ( F `
 -u z )  <  -e ( F `
 -u w ) ) )
275267, 274mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -e ( F `
 -u z )  <  -e ( F `
 -u w ) )
276206, 207, 248, 275ifbothda 3946 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e
( F `  -u z
)  <  if (
0  <_  w , 
( F `  w
) ,  -e
( F `  -u w
) ) )
277178, 179, 205, 276ifbothda 3946 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  ->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) )
2782773expia 1208 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  (
z  <  w  ->  if ( 0  <_  z ,  ( F `  z ) ,  -e ( F `  -u z ) )  < 
if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
279 fveq2 5880 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
280211fveq2d 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  -u y )  =  ( F `  -u z ) )
281 xnegeq 11506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  -u y
)  =  ( F `
 -u z )  ->  -e ( F `  -u y )  =  -e ( F `  -u z ) )
282280, 281syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  -e
( F `  -u y
)  =  -e
( F `  -u z
) )
283183, 279, 282ifbieq12d 3938 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  =  if ( 0  <_ 
z ,  ( F `
 z ) , 
-e ( F `
 -u z ) ) )
284 fvex 5890 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
285 xnegex 11507 . . . . . . . 8  |-  -e
( F `  -u z
)  e.  _V
286284, 285ifex 3979 . . . . . . 7  |-  if ( 0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  e.  _V
287283, 7, 286fvmpt 5963 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( G `  z )  =  if ( 0  <_ 
z ,  ( F `
 z ) , 
-e ( F `
 -u z ) ) )
288 fveq2 5880 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
289258fveq2d 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  -u y )  =  ( F `  -u w ) )
290 xnegeq 11506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  -u y
)  =  ( F `
 -u w )  ->  -e ( F `  -u y )  =  -e ( F `  -u w ) )
291289, 290syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  -e
( F `  -u y
)  =  -e
( F `  -u w
) )
292195, 288, 291ifbieq12d 3938 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) )
293 fvex 5890 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
294 xnegex 11507 . . . . . . . 8  |-  -e
( F `  -u w
)  e.  _V
295293, 294ifex 3979 . . . . . . 7  |-  if ( 0  <_  w , 
( F `  w
) ,  -e
( F `  -u w
) )  e.  _V
296292, 7, 295fvmpt 5963 . . . . . 6  |-  ( w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( G `  w )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) )
297287, 296breqan12d 4438 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  (
( G `  z
)  <  ( G `  w )  <->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
298278, 297sylibrd 238 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  (
z  <  w  ->  ( G `  z )  <  ( G `  w ) ) )
299298rgen2a 2853 . . 3  |-  A. z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) A. w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( z  <  w  ->  ( G `  z )  <  ( G `  w
) )
300 soisoi 6233 . . 3  |-  ( ( (  <  Or  ( -u 1 [,] 1 )  /\  <  Po  RR* )  /\  ( G :
( -u 1 [,] 1
) -onto-> RR*  /\  A. z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) A. w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( z  <  w  ->  ( G `  z )  <  ( G `  w
) ) ) )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( -u
1 [,] 1 ) ,  RR* ) )
3014, 6, 177, 299, 300mp4an 678 . 2  |-  G  Isom  <  ,  <  ( ( -u
1 [,] 1 ) ,  RR* )
302 letsr 16470 . . . . . 6  |-  <_  e.  TosetRel
303302elexi 3092 . . . . 5  |-  <_  e.  _V
304303inex1 4564 . . . 4  |-  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  e.  _V
305 ssid 3485 . . . . . . 7  |-  RR*  C_  RR*
306 leiso 12625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u 1 [,] 1 )  C_  RR*  /\  RR*  C_ 
RR* )  ->  ( G  Isom  <  ,  <  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) 
<->  G  Isom  <_  ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) ) )
3071, 305, 306mp2an 677 . . . . . 6  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  <->  G 
Isom  <_  ,  <_  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )
)
308301, 307mpbi 212 . . . . 5  |-  G  Isom  <_  ,  <_  ( ( -u
1 [,] 1 ) ,  RR* )
309 isores1 6239 . . . . 5  |-  ( G 
Isom  <_  ,  <_  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  <->  G 
Isom  (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) ) ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) )
310308, 309mpbi 212 . . . 4  |-  G  Isom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* )
311 tsrps 16464 . . . . . . . 8  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  <_  e.  PosetRel )
312302, 311ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  <_  e.  PosetRel
313 ledm 16467 . . . . . . . 8  |-  RR*  =  dom  <_
314313psssdm 16459 . . . . . . 7  |-  ( (  <_  e.  PosetRel  /\  ( -u 1 [,] 1 ) 
C_  RR* )  ->  dom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  =  ( -u 1 [,] 1 ) )
315312, 1, 314mp2an 677 . . . . . 6  |-  dom  (  <_  i^i  ( ( -u
1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  =  ( -u 1 [,] 1 )
316315eqcomi 2436 . . . . 5  |-  ( -u
1 [,] 1 )  =  dom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
317316, 313ordthmeo 20813 . . . 4  |-  ( ( (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) )  e.  _V  /\ 
<_  e.  TosetRel  /\  G  Isom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) )  ->  G  e.  ( (ordTop `  (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) ) )
318304, 302, 310, 317mp3an 1361 . . 3  |-  G  e.  ( (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( -u
1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )
319 xrhmeo.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
320 eqid 2423 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
321319, 320xrrest2 21822 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1 [,] 1
)  C_  RR  ->  ( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  (
-u 1 [,] 1
) ) )
32298, 321ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( Jt  (
-u 1 [,] 1
) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( -u
1 [,] 1 ) )
323 ordtresticc 20235 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( -u 1 [,] 1 ) )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) )
324322, 323eqtri 2452 . . . 4  |-  ( Jt  (
-u 1 [,] 1
) )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) ) )
325324oveq1i 6314 . . 3  |-  ( ( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )  =  ( (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( -u
1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )
326318, 325eleqtrri 2510 . 2  |-  G  e.  ( ( Jt  ( -u
1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )
327301, 326pm3.2i 457 1  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  /\  G  e.  (
( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   {cab 2408    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    i^i cin 3437    C_ wss 3438   ifcif 3911   class class class wbr 4422    |-> cmpt 4481    Po wpo 4771    Or wor 4772    X. cxp 4850   `'ccnv 4851   dom cdm 4852   ran crn 4853   -->wf 5596   -onto->wfo 5598   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600    Isom wiso 5601  (class class class)co 6304   RRcr 9544   0cc0 9545   1c1 9546    + caddc 9548   +oocpnf 9678   RR*cxr 9680    < clt 9681    <_ cle 9682    - cmin 9866   -ucneg 9867    / cdiv 10275    -ecxne 11412   [,]cicc 11644   ↾t crest 15316   TopOpenctopn 15317  ordTopcordt 15394   PosetRelcps 16441    TosetRel ctsr 16442  ℂfldccnfld 18967   Homeochmeo 20764   IIcii 21903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4535  ax-sep 4545  ax-nul 4554  ax-pow 4601  ax-pr 4659  ax-un 6596  ax-cnex 9601  ax-resscn 9602  ax-1cn 9603  ax-icn 9604  ax-addcl 9605  ax-addrcl 9606  ax-mulcl 9607  ax-mulrcl 9608  ax-mulcom 9609  ax-addass 9610  ax-mulass 9611  ax-distr 9612  ax-i2m1 9613  ax-1ne0 9614  ax-1rid 9615  ax-rnegex 9616  ax-rrecex 9617  ax-cnre 9618  ax-pre-lttri 9619  ax-pre-lttrn 9620  ax-pre-ltadd 9621  ax-pre-mulgt0 9622  ax-pre-sup 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3302  df-csb 3398  df-dif 3441  df-un 3443  df-in 3445  df-ss 3452  df-pss 3454  df-nul 3764  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4219  df-int 4255  df-iun 4300  df-iin 4301  df-br 4423  df-opab 4482  df-mpt 4483  df-tr 4518  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6266  df-ov 6307  df-oprab 6308  df-mpt2 6309  df-om 6706  df-1st 6806  df-2nd 6807  df-wrecs 7038  df-recs 7100  df-rdg 7138  df-1o 7192  df-oadd 7196  df-er 7373  df-map 7484  df-en 7580  df-dom 7581  df-sdom 7582  df-fin 7583  df-fi 7933  df-sup 7964  df-inf 7965  df-pnf 9683  df-mnf 9684  df-xr 9685  df-ltxr 9686  df-le 9687  df-sub 9868  df-neg 9869  df-div 10276  df-nn 10616  df-2 10674  df-3 10675  df-4 10676  df-5 10677  df-6 10678  df-7 10679  df-8 10680  df-9 10681  df-10 10682  df-n0 10876  df-z 10944  df-dec 11058  df-uz 11166  df-q 11271  df-rp 11309  df-xneg 11415  df-xadd 11416  df-xmul 11417  df-ioo 11645  df-ioc 11646  df-ico 11647  df-icc 11648  df-fz 11791  df-seq 12219  df-exp 12278  df-cj 13160  df-re 13161  df-im 13162  df-sqrt 13296  df-abs 13297  df-struct 15120  df-ndx 15121  df-slot 15122  df-base 15123  df-plusg 15200  df-mulr 15201  df-starv 15202  df-tset 15206  df-ple 15207  df-ds 15209  df-unif 15210  df-rest 15318  df-topn 15319  df-topgen 15339  df-ordt 15396  df-ps 16443  df-tsr 16444  df-psmet 18959  df-xmet 18960  df-met 18961  df-bl 18962  df-mopn 18963  df-cnfld 18968  df-top 19917  df-bases 19918  df-topon 19919  df-topsp 19920  df-cn 20239  df-hmeo 20766  df-xms 21331  df-ms 21332  df-ii 21905
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