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Theorem xrhmeo 21319
Description: The bijection from  [ -u
1 ,  1 ] to the extended reals is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrhmeo.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
xrhmeo.g  |-  G  =  ( y  e.  (
-u 1 [,] 1
)  |->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y
) ) )
xrhmeo.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
xrhmeo.k  |-  K  =  (ordTop `  <_  )
Assertion
Ref Expression
xrhmeo  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  /\  G  e.  (
( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, F    x, J, y
Allowed substitution hints:    F( x)    G( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem xrhmeo
Dummy variables  w  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11616 . . . 4  |-  ( -u
1 [,] 1 ) 
C_  RR*
2 xrltso 11356 . . . 4  |-  <  Or  RR*
3 soss 4808 . . . 4  |-  ( (
-u 1 [,] 1
)  C_  RR*  ->  (  <  Or  RR*  ->  <  Or  ( -u 1 [,] 1
) ) )
41, 2, 3mp2 9 . . 3  |-  <  Or  ( -u 1 [,] 1
)
5 sopo 4807 . . . 4  |-  (  < 
Or  RR*  ->  <  Po  RR* )
62, 5ax-mp 5 . . 3  |-  <  Po  RR*
7 xrhmeo.g . . . . 5  |-  G  =  ( y  e.  (
-u 1 [,] 1
)  |->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y
) ) )
8 iccssxr 11616 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
9 neg1rr 10646 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  RR
10 1re 9598 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
119, 10elicc2i 11599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  <->  ( y  e.  RR  /\  -u 1  <_  y  /\  y  <_ 
1 ) )
1211simp1bi 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  y  e.  RR )
1312adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
14 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  0  <_  y )
1511simp3bi 1014 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  y  <_  1 )
1615adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  y  <_  1 )
17 0re 9599 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
1817, 10elicc2i 11599 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y  /\  y  <_  1 ) )
1913, 14, 16, 18syl3anbrc 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  y  e.  ( 0 [,] 1
) )
20 xrhmeo.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
2120iccpnfcnv 21317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  `' F  =  ( v  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( v  = +oo ,  1 ,  ( v  /  (
1  +  v ) ) ) ) )
2221simpli 458 . . . . . . . . . 10  |-  F :
( 0 [,] 1
)
-1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )
23 f1of 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] +oo ) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  F :
( 0 [,] 1
) --> ( 0 [,] +oo )
2524ffvelrni 6015 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2619, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
278, 26sseldi 3487 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  ( F `  y )  e.  RR* )
2812adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  y  e.  RR )
2928renegcld 9992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u y  e.  RR )
30 letric 9688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 0  <_  y  \/  y  <_  0 ) )
3117, 12, 30sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  y  \/  y  <_  0 ) )
3231orcanai 913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  y  <_  0 )
3328le0neg1d 10130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  (
y  <_  0  <->  0  <_  -u y ) )
3432, 33mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  0  <_ 
-u y )
3511simp2bi 1013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  -u 1  <_  y )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u 1  <_  y )
37 lenegcon1 10062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u 1  <_ 
y  <->  -u y  <_  1
) )
3810, 28, 37sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  ( -u 1  <_  y  <->  -u y  <_ 
1 ) )
3936, 38mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u y  <_  1 )
4017, 10elicc2i 11599 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( -u y  e.  RR  /\  0  <_  -u y  /\  -u y  <_  1 ) )
4129, 34, 39, 40syl3anbrc 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1
) )
4224ffvelrni 6015 . . . . . . . . 9  |-  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  -> 
( F `  -u y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  ( F `  -u y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
448, 43sseldi 3487 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  ( F `  -u y )  e.  RR* )
4544xnegcld 11501 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -e
( F `  -u y
)  e.  RR* )
4627, 45ifclda 3958 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  e. 
RR* )
477, 46fmpti 6039 . . . 4  |-  G :
( -u 1 [,] 1
) --> RR*
48 frn 5727 . . . . . 6  |-  ( G : ( -u 1 [,] 1 ) --> RR*  ->  ran 
G  C_  RR* )
4947, 48ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  G  C_ 
RR*
50 ssabral 3556 . . . . . . 7  |-  ( RR*  C_ 
{ z  |  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) }  <->  A. z  e.  RR*  E. y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) ) )
51 0le1 10082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  1
52 le0neg2 10067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 ) )
5310, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 )
5451, 53mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  <_  0
55 1le1 10183 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <_  1
56 iccss 11601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( -u 1  <_  0  /\  1  <_  1 ) )  ->  ( 0 [,] 1 )  C_  ( -u 1 [,] 1 ) )
579, 10, 54, 55, 56mp4an 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  ( -u 1 [,] 1
)
58 elxrge0 11638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( z  e. 
RR*  /\  0  <_  z ) )
59 f1ocnv 5818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  ->  `' F :
( 0 [,] +oo )
-1-1-onto-> ( 0 [,] 1
) )
60 f1of 5806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F : ( 0 [,] +oo ) -1-1-onto-> ( 0 [,] 1 )  ->  `' F : ( 0 [,] +oo ) --> ( 0 [,] 1 ) )
6122, 59, 60mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' F : ( 0 [,] +oo ) --> ( 0 [,] 1 )
6261ffvelrni 6015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6358, 62sylbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6457, 63sseldi 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
6517, 10elicc2i 11599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( `' F `  z )  e.  RR  /\  0  <_  ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z )  <_  1 ) )
6665simp2bi 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  0  <_  ( `' F `  z ) )
6763, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  0  <_  ( `' F `  z ) )
6858biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )
69 f1ocnvfv2 6168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
7022, 68, 69sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
7170eqcomd 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) )
72 breq2 4441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  ( `' F `  z ) ) )
73 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) )
7473eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
z  =  ( F `
 y )  <->  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )
7572, 74anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y )
)  <->  ( 0  <_ 
( `' F `  z )  /\  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) ) ) )
7675rspcev 3196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  ( 0  <_  ( `' F `  z )  /\  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y )
) )
7764, 67, 71, 76syl12anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y ) ) )
78 iftrue 3932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <_  y  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  =  ( F `  y
) )
7978eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  y  ->  (
z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) )  <->  z  =  ( F `  y ) ) )
8079biimpar 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y ) )  -> 
z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) ) )
8180reximi 2911 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y )
)  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) )
8277, 81syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) )
83 xnegcl 11421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  RR*  ->  -e
z  e.  RR* )
8483adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e z  e.  RR* )
85 0xr 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR*
86 xrletri 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
0  <_  z  \/  z  <_  0 ) )
8785, 86mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( 0  <_  z  \/  z  <_  0 ) )
8887ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( -.  0  <_  z  ->  z  <_  0 ) )
89 xle0neg1 11429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( z  <_  0  <->  0  <_  -e z ) )
9088, 89sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( -.  0  <_  z  ->  0  <_  -e z ) )
9190imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
0  <_  -e z )
92 elxrge0 11638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  -e z  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 
-e z  e. 
RR*  /\  0  <_  -e z ) )
9384, 91, 92sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e z  e.  ( 0 [,] +oo )
)
9461ffvelrni 6015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  -e z  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( `' F `  -e z )  e.  ( 0 [,] 1
) )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  ( 0 [,] 1
) )
9657, 95sseldi 3487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
97 iccssre 11615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -u 1 [,] 1 )  C_  RR )
989, 10, 97mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1 [,] 1 ) 
C_  RR
9998, 96sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  RR )
100 iccneg 11650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( `' F `  -e
z )  e.  RR )  ->  ( ( `' F `  -e
z )  e.  (
-u 1 [,] 1
)  <->  -u ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] -u -u 1 ) ) )
1019, 10, 100mp3an12 1315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  -e
z )  e.  RR  ->  ( ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  <->  -u ( `' F `  -e
z )  e.  (
-u 1 [,] -u -u 1
) ) )
10299, 101syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  <->  -u ( `' F `  -e
z )  e.  (
-u 1 [,] -u -u 1
) ) )
10396, 102mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] -u -u 1 ) )
104 negneg1e1 10649 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u -u 1  =  1
105104oveq2i 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1 [,] -u -u 1
)  =  ( -u
1 [,] 1 )
106103, 105syl6eleq 2541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
107 xle0neg2 11430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( 0  <_  z  <->  -e z  <_  0 ) )
108107notbid 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( -.  0  <_  z  <->  -.  -e
z  <_  0 ) )
109108biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  -e z  <_ 
0 )
110 f1ocnvfv2 6168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  -e z  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( F `  ( `' F `  -e z ) )  =  -e z )
11122, 93, 110sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  ( `' F `  -e
z ) )  = 
-e z )
112 0elunit 11647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
113 ax-1ne0 9564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  =/=  0
114 neeq2 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
1  =/=  x  <->  1  =/=  0 ) )
115113, 114mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  1  =/=  x )
116115necomd 2714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  0  ->  x  =/=  1 )
117 ifnefalse 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =/=  1  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
119 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
120 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  x )  =  ( 1  -  0 ) )
121 1m0e1 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  -  0 )  =  1
122120, 121syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  x )  =  1 )
123119, 122oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  0  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  =  ( 0  / 
1 ) )
124 ax-1cn 9553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
125124, 113div0i 10284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  /  1 )  =  0
126123, 125syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  =  0 )
127118, 126eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  0 )
128 c0ex 9593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  _V
129127, 20, 128fvmpt 5941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  0 )  =  0 )
130112, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 0 )  =  0
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  0
)  =  0 )
132111, 131breq12d 4450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( F `  ( `' F `  -e
z ) )  <_ 
( F `  0
)  <->  -e z  <_ 
0 ) )
133109, 132mtbird 301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  ( F `  ( `' F `  -e
z ) )  <_ 
( F `  0
) )
134 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )
13520, 134iccpnfhmeo 21318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F 
Isom  <  ,  <  (
( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  F  e.  ( II Homeo ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
136135simpli 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo ) )
137 iccssxr 11616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR*
138137, 8pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 [,] 1 ) 
C_  RR*  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )
139 leisorel 12488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  ( ( 0 [,] 1 )  C_  RR* 
/\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  /\  ( ( `' F `  -e z )  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( `' F `  -e z )  <_  0  <->  ( F `  ( `' F `  -e z ) )  <_  ( F ` 
0 ) ) )
140136, 138, 139mp3an12 1315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  -e z )  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( `' F `  -e z )  <_ 
0  <->  ( F `  ( `' F `  -e
z ) )  <_ 
( F `  0
) ) )
14195, 112, 140sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( `' F `  -e z )  <_  0  <->  ( F `  ( `' F `  -e z ) )  <_  ( F ` 
0 ) ) )
142133, 141mtbird 301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  ( `' F `  -e z )  <_ 
0 )
14399le0neg1d 10130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( `' F `  -e z )  <_  0  <->  0  <_  -u ( `' F `  -e
z ) ) )
144142, 143mtbid 300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  0  <_  -u ( `' F `  -e
z ) )
145 unitssre 11676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
146145, 95sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  RR )
147146recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  CC )
148147negnegd 9927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u -u ( `' F `  -e z )  =  ( `' F `  -e z ) )
149148fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) )  =  ( F `  ( `' F `  -e
z ) ) )
150149, 111eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) )  = 
-e z )
151 xnegeq 11415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) )  = 
-e z  ->  -e ( F `  -u -u ( `' F `  -e z ) )  =  -e  -e z )
152150, 151syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e ( F `  -u -u ( `' F `  -e z ) )  =  -e  -e z )
153 xnegneg 11422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR*  ->  -e  -e z  =  z )
154153adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e  -e z  =  z )
155152, 154eqtr2d 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
z  =  -e
( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) ) )
156 breq2 4441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( 0  <_ 
y  <->  0  <_  -u ( `' F `  -e
z ) ) )
157156notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( -.  0  <_  y  <->  -.  0  <_  -u ( `' F `  -e
z ) ) )
158 negeq 9817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  -u y  =  -u -u ( `' F `  -e z ) )
159158fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( F `  -u y )  =  ( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) ) )
160 xnegeq 11415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  -u y
)  =  ( F `
 -u -u ( `' F `  -e z ) )  ->  -e ( F `  -u y
)  =  -e
( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) ) )
161159, 160syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  -e ( F `
 -u y )  = 
-e ( F `
 -u -u ( `' F `  -e z ) ) )
162161eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( z  = 
-e ( F `
 -u y )  <->  z  =  -e ( F `  -u -u ( `' F `  -e z ) ) ) )
163157, 162anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( ( -.  0  <_  y  /\  z  =  -e ( F `  -u y
) )  <->  ( -.  0  <_  -u ( `' F `  -e z )  /\  z  =  -e ( F `  -u -u ( `' F `  -e z ) ) ) ) )
164163rspcev 3196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  ( -.  0  <_  -u ( `' F `  -e
z )  /\  z  =  -e ( F `
 -u -u ( `' F `  -e z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( -.  0  <_ 
y  /\  z  =  -e ( F `  -u y ) ) )
165106, 144, 155, 164syl12anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( -.  0  <_ 
y  /\  z  =  -e ( F `  -u y ) ) )
166 iffalse 3935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  0  <_  y  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  = 
-e ( F `
 -u y ) )
167166eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  0  <_  y  ->  ( z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) )  <->  z  =  -e ( F `  -u y ) ) )
168167biimpar 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  0  <_  y  /\  z  =  -e
( F `  -u y
) )  ->  z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) )
169168reximi 2911 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) ( -.  0  <_ 
y  /\  z  =  -e ( F `  -u y ) )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) ) )
170165, 169syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) ) )
17182, 170pm2.61dan 791 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR*  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) )
17250, 171mprgbir 2807 . . . . . 6  |-  RR*  C_  { z  |  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) }
1737rnmpt 5238 . . . . . 6  |-  ran  G  =  { z  |  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) }
174172, 173sseqtr4i 3522 . . . . 5  |-  RR*  C_  ran  G
17549, 174eqssi 3505 . . . 4  |-  ran  G  =  RR*
176 dffo2 5789 . . . 4  |-  ( G : ( -u 1 [,] 1 ) -onto-> RR*  <->  ( G : ( -u 1 [,] 1 ) --> RR*  /\  ran  G  =  RR* ) )
17747, 175, 176mpbir2an 920 . . 3  |-  G :
( -u 1 [,] 1
) -onto-> RR*
178 breq1 4440 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  =  if ( 0  <_  z ,  ( F `  z ) ,  -e ( F `  -u z
) )  ->  (
( F `  z
)  <  if (
0  <_  w , 
( F `  w
) ,  -e
( F `  -u w
) )  <->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
179 breq1 4440 . . . . . . 7  |-  (  -e ( F `  -u z )  =  if ( 0  <_  z ,  ( F `  z ) ,  -e ( F `  -u z ) )  -> 
(  -e ( F `
 -u z )  < 
if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) )  <->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
180 simpl3 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  <  w )
181 simpl1 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
182 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  0  <_  z )
183 breq2 4441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  z ) )
184 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
185183, 184imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( 0  <_  y  ->  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  <-> 
( 0  <_  z  ->  z  e.  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
18619ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  y  ->  y  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
187185, 186vtoclga 3159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  z  ->  z  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
188181, 182, 187sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  e.  ( 0 [,] 1
) )
189 simpl2 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
19017a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  0  e.  RR )
19198, 181sseldi 3487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  e.  RR )
19298, 189sseldi 3487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  w  e.  RR )
193191, 192, 180ltled 9736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  <_  w )
194190, 191, 192, 182, 193letrd 9742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  0  <_  w )
195 breq2 4441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  w ) )
196 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  w  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
197195, 196imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( 0  <_  y  ->  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  <-> 
( 0  <_  w  ->  w  e.  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
198197, 186vtoclga 3159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  w  ->  w  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
199189, 194, 198sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  w  e.  ( 0 [,] 1
) )
200 isorel 6207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  w  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( z  <  w  <->  ( F `  z )  <  ( F `  w ) ) )
201136, 200mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  w  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( z  < 
w  <->  ( F `  z )  <  ( F `  w )
) )
202188, 199, 201syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  (
z  <  w  <->  ( F `  z )  <  ( F `  w )
) )
203180, 202mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  ( F `  z )  <  ( F `  w
) )
204194iftrued 3934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) )  =  ( F `  w
) )
205203, 204breqtrrd 4463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  ( F `  z )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) )
206 breq2 4441 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  w )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w
) )  ->  (  -e ( F `  -u z )  <  ( F `  w )  <->  -e ( F `  -u z )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
207 breq2 4441 . . . . . . . 8  |-  (  -e ( F `  -u w )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) )  -> 
(  -e ( F `
 -u z )  <  -e ( F `
 -u w )  <->  -e ( F `  -u z
)  <  if (
0  <_  w , 
( F `  w
) ,  -e
( F `  -u w
) ) ) )
208 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
209 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  0  <_  z )
210183notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  0  <_  y  <->  -.  0  <_  z ) )
211 negeq 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  -u y  =  -u z )
212211eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
213210, 212imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  (
( -.  0  <_ 
y  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1
) )  <->  ( -.  0  <_  z  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
21441ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( -.  0  <_  y  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
215213, 214vtoclga 3159 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( -.  0  <_  z  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
216208, 209, 215sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) )
217216adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )
21824ffvelrni 6015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u z  e.  ( 0 [,] 1 )  -> 
( F `  -u z
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
219217, 218syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  -u z
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2208, 219sseldi 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  -u z
)  e.  RR* )
221220xnegcld 11501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -e ( F `  -u z )  e.  RR* )
22285a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  e.  RR* )
223 simpll2 1037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
224 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <_  w )
225223, 224, 198sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  ( 0 [,] 1 ) )
22624ffvelrni 6015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  w )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
227225, 226syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  w
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2288, 227sseldi 3487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  w
)  e.  RR* )
229209adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -.  0  <_  z )
230 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
z  e.  ( -u
1 [,] 1 ) )
23198, 230sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
z  e.  RR )
232 ltnle 9667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( z  <  0  <->  -.  0  <_  z )
)
233231, 17, 232sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( z  <  0  <->  -.  0  <_  z )
)
234229, 233mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
z  <  0 )
235231lt0neg1d 10128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( z  <  0  <->  0  <  -u z ) )
236234, 235mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <  -u z )
237 isorel 6207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  ( 0  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0  <  -u z  <->  ( F `  0 )  <  ( F `  -u z ) ) )
238136, 237mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0  <  -u z  <->  ( F ` 
0 )  <  ( F `  -u z ) ) )
239112, 217, 238sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( 0  <  -u z  <->  ( F `  0 )  <  ( F `  -u z ) ) )
240236, 239mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  0
)  <  ( F `  -u z ) )
241130, 240syl5eqbrr 4471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <  ( F `  -u z ) )
242 xlt0neg2 11428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  -u z
)  e.  RR*  ->  ( 0  <  ( F `
 -u z )  <->  -e ( F `  -u z
)  <  0 ) )
243220, 242syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( 0  <  ( F `  -u z )  <->  -e ( F `
 -u z )  <  0 ) )
244241, 243mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -e ( F `  -u z )  <  0
)
245 elxrge0 11638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  w )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 w )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  w ) ) )
246245simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( F `  w
) )
247227, 246syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <_  ( F `  w ) )
248221, 222, 228, 244, 247xrltletrd 11373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -e ( F `  -u z )  <  ( F `  w )
)
249 simpll3 1038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  z  <  w
)
250 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  z  e.  (
-u 1 [,] 1
) )
25198, 250sseldi 3487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  z  e.  RR )
252 simpll2 1037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )
25398, 252sseldi 3487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  w  e.  RR )
254251, 253ltnegd 10136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( z  < 
w  <->  -u w  <  -u z
) )
255249, 254mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -u w  <  -u z
)
256 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -.  0  <_  w )
257195notbid 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  0  <_  y  <->  -.  0  <_  w ) )
258 negeq 9817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  ->  -u y  =  -u w )
259258eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  -u w  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
260257, 259imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( -.  0  <_ 
y  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1
) )  <->  ( -.  0  <_  w  ->  -u w  e.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
261260, 214vtoclga 3159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( -.  0  <_  w  ->  -u w  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
262252, 256, 261sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -u w  e.  ( 0 [,] 1 ) )
263216adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )
264 isorel 6207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  ( -u w  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( -u w  <  -u z  <->  ( F `  -u w
)  <  ( F `  -u z ) ) )
265136, 264mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u w  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( -u w  <  -u z  <->  ( F `  -u w )  < 
( F `  -u z
) ) )
266262, 263, 265syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( -u w  <  -u z  <->  ( F `  -u w )  < 
( F `  -u z
) ) )
267255, 266mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u w )  <  ( F `  -u z ) )
26824ffvelrni 6015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u w  e.  ( 0 [,] 1 )  -> 
( F `  -u w
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
269262, 268syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u w )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2708, 269sseldi 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u w )  e.  RR* )
271263, 218syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u z )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2728, 271sseldi 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u z )  e.  RR* )
273 xltneg 11425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  -u w
)  e.  RR*  /\  ( F `  -u z )  e.  RR* )  ->  (
( F `  -u w
)  <  ( F `  -u z )  <->  -e ( F `  -u z
)  <  -e ( F `  -u w
) ) )
274270, 272, 273syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( ( F `
 -u w )  < 
( F `  -u z
)  <->  -e ( F `
 -u z )  <  -e ( F `
 -u w ) ) )
275267, 274mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -e ( F `
 -u z )  <  -e ( F `
 -u w ) )
276206, 207, 248, 275ifbothda 3961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e
( F `  -u z
)  <  if (
0  <_  w , 
( F `  w
) ,  -e
( F `  -u w
) ) )
277178, 179, 205, 276ifbothda 3961 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  ->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) )
2782773expia 1199 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  (
z  <  w  ->  if ( 0  <_  z ,  ( F `  z ) ,  -e ( F `  -u z ) )  < 
if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
279 fveq2 5856 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
280211fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  -u y )  =  ( F `  -u z ) )
281 xnegeq 11415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  -u y
)  =  ( F `
 -u z )  ->  -e ( F `  -u y )  =  -e ( F `  -u z ) )
282280, 281syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  -e
( F `  -u y
)  =  -e
( F `  -u z
) )
283183, 279, 282ifbieq12d 3953 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  =  if ( 0  <_ 
z ,  ( F `
 z ) , 
-e ( F `
 -u z ) ) )
284 fvex 5866 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
285 xnegex 11416 . . . . . . . 8  |-  -e
( F `  -u z
)  e.  _V
286284, 285ifex 3995 . . . . . . 7  |-  if ( 0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  e.  _V
287283, 7, 286fvmpt 5941 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( G `  z )  =  if ( 0  <_ 
z ,  ( F `
 z ) , 
-e ( F `
 -u z ) ) )
288 fveq2 5856 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
289258fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  -u y )  =  ( F `  -u w ) )
290 xnegeq 11415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  -u y
)  =  ( F `
 -u w )  ->  -e ( F `  -u y )  =  -e ( F `  -u w ) )
291289, 290syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  -e
( F `  -u y
)  =  -e
( F `  -u w
) )
292195, 288, 291ifbieq12d 3953 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) )
293 fvex 5866 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
294 xnegex 11416 . . . . . . . 8  |-  -e
( F `  -u w
)  e.  _V
295293, 294ifex 3995 . . . . . . 7  |-  if ( 0  <_  w , 
( F `  w
) ,  -e
( F `  -u w
) )  e.  _V
296292, 7, 295fvmpt 5941 . . . . . 6  |-  ( w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( G `  w )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) )
297287, 296breqan12d 4452 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  (
( G `  z
)  <  ( G `  w )  <->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
298278, 297sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  (
z  <  w  ->  ( G `  z )  <  ( G `  w ) ) )
299298rgen2a 2870 . . 3  |-  A. z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) A. w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( z  <  w  ->  ( G `  z )  <  ( G `  w
) )
300 soisoi 6209 . . 3  |-  ( ( (  <  Or  ( -u 1 [,] 1 )  /\  <  Po  RR* )  /\  ( G :
( -u 1 [,] 1
) -onto-> RR*  /\  A. z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) A. w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( z  <  w  ->  ( G `  z )  <  ( G `  w
) ) ) )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( -u
1 [,] 1 ) ,  RR* ) )
3014, 6, 177, 299, 300mp4an 673 . 2  |-  G  Isom  <  ,  <  ( ( -u
1 [,] 1 ) ,  RR* )
302 letsr 15731 . . . . . 6  |-  <_  e.  TosetRel
303302elexi 3105 . . . . 5  |-  <_  e.  _V
304303inex1 4578 . . . 4  |-  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  e.  _V
305 ssid 3508 . . . . . . 7  |-  RR*  C_  RR*
306 leiso 12487 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u 1 [,] 1 )  C_  RR*  /\  RR*  C_ 
RR* )  ->  ( G  Isom  <  ,  <  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) 
<->  G  Isom  <_  ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) ) )
3071, 305, 306mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  <->  G 
Isom  <_  ,  <_  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )
)
308301, 307mpbi 208 . . . . 5  |-  G  Isom  <_  ,  <_  ( ( -u
1 [,] 1 ) ,  RR* )
309 isores1 6215 . . . . 5  |-  ( G 
Isom  <_  ,  <_  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  <->  G 
Isom  (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) ) ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) )
310308, 309mpbi 208 . . . 4  |-  G  Isom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* )
311 tsrps 15725 . . . . . . . 8  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  <_  e.  PosetRel )
312302, 311ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  <_  e.  PosetRel
313 ledm 15728 . . . . . . . 8  |-  RR*  =  dom  <_
314313psssdm 15720 . . . . . . 7  |-  ( (  <_  e.  PosetRel  /\  ( -u 1 [,] 1 ) 
C_  RR* )  ->  dom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  =  ( -u 1 [,] 1 ) )
315312, 1, 314mp2an 672 . . . . . 6  |-  dom  (  <_  i^i  ( ( -u
1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  =  ( -u 1 [,] 1 )
316315eqcomi 2456 . . . . 5  |-  ( -u
1 [,] 1 )  =  dom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
317316, 313ordthmeo 20176 . . . 4  |-  ( ( (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) )  e.  _V  /\ 
<_  e.  TosetRel  /\  G  Isom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) )  ->  G  e.  ( (ordTop `  (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) ) )
318304, 302, 310, 317mp3an 1325 . . 3  |-  G  e.  ( (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( -u
1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )
319 xrhmeo.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
320 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
321319, 320xrrest2 21186 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1 [,] 1
)  C_  RR  ->  ( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  (
-u 1 [,] 1
) ) )
32298, 321ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( Jt  (
-u 1 [,] 1
) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( -u
1 [,] 1 ) )
323 ordtresticc 19597 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( -u 1 [,] 1 ) )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) )
324322, 323eqtri 2472 . . . 4  |-  ( Jt  (
-u 1 [,] 1
) )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) ) )
325324oveq1i 6291 . . 3  |-  ( ( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )  =  ( (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( -u
1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )
326318, 325eleqtrri 2530 . 2  |-  G  e.  ( ( Jt  ( -u
1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )
327301, 326pm3.2i 455 1  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  /\  G  e.  (
( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   {cab 2428    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ifcif 3926   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    Po wpo 4788    Or wor 4789    X. cxp 4987   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   ran crn 4990   -->wf 5574   -onto->wfo 5576   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578    Isom wiso 5579  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   -ucneg 9811    / cdiv 10212    -ecxne 11324   [,]cicc 11541   ↾t crest 14695   TopOpenctopn 14696  ordTopcordt 14773   PosetRelcps 15702    TosetRel ctsr 15703  ℂfldccnfld 18294   Homeochmeo 20127   IIcii 21252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ioc 11543  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-seq 12087  df-exp 12146  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-rest 14697  df-topn 14698  df-topgen 14718  df-ordt 14775  df-ps 15704  df-tsr 15705  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cn 19601  df-hmeo 20129  df-xms 20696  df-ms 20697  df-ii 21254
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