MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrhmeo Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xrhmeo 22052
Description: The bijection from  [ -u
1 ,  1 ] to the extended reals is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrhmeo.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
xrhmeo.g  |-  G  =  ( y  e.  (
-u 1 [,] 1
)  |->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y
) ) )
xrhmeo.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
xrhmeo.k  |-  K  =  (ordTop `  <_  )
Assertion
Ref Expression
xrhmeo  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  /\  G  e.  (
( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, F    x, J, y
Allowed substitution hints:    F( x)    G( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem xrhmeo
Dummy variables  w  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11742 . . . 4  |-  ( -u
1 [,] 1 ) 
C_  RR*
2 xrltso 11463 . . . 4  |-  <  Or  RR*
3 soss 4778 . . . 4  |-  ( (
-u 1 [,] 1
)  C_  RR*  ->  (  <  Or  RR*  ->  <  Or  ( -u 1 [,] 1
) ) )
41, 2, 3mp2 9 . . 3  |-  <  Or  ( -u 1 [,] 1
)
5 sopo 4777 . . . 4  |-  (  < 
Or  RR*  ->  <  Po  RR* )
62, 5ax-mp 5 . . 3  |-  <  Po  RR*
7 xrhmeo.g . . . . 5  |-  G  =  ( y  e.  (
-u 1 [,] 1
)  |->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y
) ) )
8 iccssxr 11742 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
9 neg1rr 10736 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  RR
10 1re 9660 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
119, 10elicc2i 11725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  <->  ( y  e.  RR  /\  -u 1  <_  y  /\  y  <_ 
1 ) )
1211simp1bi 1045 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  y  e.  RR )
1312adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
14 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  0  <_  y )
1511simp3bi 1047 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  y  <_  1 )
1615adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  y  <_  1 )
17 0re 9661 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
1817, 10elicc2i 11725 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y  /\  y  <_  1 ) )
1913, 14, 16, 18syl3anbrc 1214 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  y  e.  ( 0 [,] 1
) )
20 xrhmeo.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 , +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
2120iccpnfcnv 22050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  `' F  =  ( v  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( v  = +oo ,  1 ,  ( v  /  (
1  +  v ) ) ) ) )
2221simpli 465 . . . . . . . . . 10  |-  F :
( 0 [,] 1
)
-1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )
23 f1of 5828 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] +oo ) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  F :
( 0 [,] 1
) --> ( 0 [,] +oo )
2524ffvelrni 6036 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2619, 25syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
278, 26sseldi 3416 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  ( F `  y )  e.  RR* )
2812adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  y  e.  RR )
2928renegcld 10067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u y  e.  RR )
30 letric 9752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 0  <_  y  \/  y  <_  0 ) )
3117, 12, 30sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  y  \/  y  <_  0 ) )
3231orcanai 927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  y  <_  0 )
3328le0neg1d 10206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  (
y  <_  0  <->  0  <_  -u y ) )
3432, 33mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  0  <_ 
-u y )
3511simp2bi 1046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  -u 1  <_  y )
3635adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u 1  <_  y )
37 lenegcon1 10139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u 1  <_ 
y  <->  -u y  <_  1
) )
3810, 28, 37sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  ( -u 1  <_  y  <->  -u y  <_ 
1 ) )
3936, 38mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u y  <_  1 )
4017, 10elicc2i 11725 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( -u y  e.  RR  /\  0  <_  -u y  /\  -u y  <_  1 ) )
4129, 34, 39, 40syl3anbrc 1214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1
) )
4224ffvelrni 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  -> 
( F `  -u y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  ( F `  -u y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
448, 43sseldi 3416 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  ( F `  -u y )  e.  RR* )
4544xnegcld 11611 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -e
( F `  -u y
)  e.  RR* )
4627, 45ifclda 3904 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  e. 
RR* )
477, 46fmpti 6060 . . . 4  |-  G :
( -u 1 [,] 1
) --> RR*
48 frn 5747 . . . . . 6  |-  ( G : ( -u 1 [,] 1 ) --> RR*  ->  ran 
G  C_  RR* )
4947, 48ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  G  C_ 
RR*
50 ssabral 3486 . . . . . . 7  |-  ( RR*  C_ 
{ z  |  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) }  <->  A. z  e.  RR*  E. y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) ) )
51 0le1 10158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  1
52 le0neg2 10144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 ) )
5310, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 )
5451, 53mpbi 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  <_  0
55 1le1 10262 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <_  1
56 iccss 11727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( -u 1  <_  0  /\  1  <_  1 ) )  ->  ( 0 [,] 1 )  C_  ( -u 1 [,] 1 ) )
579, 10, 54, 55, 56mp4an 687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  ( -u 1 [,] 1
)
58 elxrge0 11767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( z  e. 
RR*  /\  0  <_  z ) )
59 f1ocnv 5840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  ->  `' F :
( 0 [,] +oo )
-1-1-onto-> ( 0 [,] 1
) )
60 f1of 5828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F : ( 0 [,] +oo ) -1-1-onto-> ( 0 [,] 1 )  ->  `' F : ( 0 [,] +oo ) --> ( 0 [,] 1 ) )
6122, 59, 60mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' F : ( 0 [,] +oo ) --> ( 0 [,] 1 )
6261ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6358, 62sylbir 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6457, 63sseldi 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
6517, 10elicc2i 11725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( `' F `  z )  e.  RR  /\  0  <_  ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z )  <_  1 ) )
6665simp2bi 1046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  0  <_  ( `' F `  z ) )
6763, 66syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  0  <_  ( `' F `  z ) )
6858biimpri 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )
69 f1ocnvfv2 6194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
7022, 68, 69sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
7170eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) )
72 breq2 4399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  ( `' F `  z ) ) )
73 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) )
7473eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
z  =  ( F `
 y )  <->  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )
7572, 74anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y )
)  <->  ( 0  <_ 
( `' F `  z )  /\  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) ) ) )
7675rspcev 3136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  ( 0  <_  ( `' F `  z )  /\  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y )
) )
7764, 67, 71, 76syl12anc 1290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y ) ) )
78 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <_  y  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  =  ( F `  y
) )
7978eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  y  ->  (
z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) )  <->  z  =  ( F `  y ) ) )
8079biimpar 493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y ) )  -> 
z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) ) )
8180reximi 2852 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y )
)  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) )
8277, 81syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) )
83 xnegcl 11529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  RR*  ->  -e
z  e.  RR* )
8483adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e z  e.  RR* )
85 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR*
86 xrletri 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
0  <_  z  \/  z  <_  0 ) )
8785, 86mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( 0  <_  z  \/  z  <_  0 ) )
8887ord 384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( -.  0  <_  z  ->  z  <_  0 ) )
89 xle0neg1 11537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( z  <_  0  <->  0  <_  -e z ) )
9088, 89sylibd 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( -.  0  <_  z  ->  0  <_  -e z ) )
9190imp 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
0  <_  -e z )
92 elxrge0 11767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  -e z  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 
-e z  e. 
RR*  /\  0  <_  -e z ) )
9384, 91, 92sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e z  e.  ( 0 [,] +oo )
)
9461ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  -e z  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( `' F `  -e z )  e.  ( 0 [,] 1
) )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  ( 0 [,] 1
) )
9657, 95sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
97 iccssre 11741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -u 1 [,] 1 )  C_  RR )
989, 10, 97mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1 [,] 1 ) 
C_  RR
9998, 96sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  RR )
100 iccneg 11779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( `' F `  -e
z )  e.  RR )  ->  ( ( `' F `  -e
z )  e.  (
-u 1 [,] 1
)  <->  -u ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] -u -u 1 ) ) )
1019, 10, 100mp3an12 1380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  -e
z )  e.  RR  ->  ( ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  <->  -u ( `' F `  -e
z )  e.  (
-u 1 [,] -u -u 1
) ) )
10299, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  <->  -u ( `' F `  -e
z )  e.  (
-u 1 [,] -u -u 1
) ) )
10396, 102mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] -u -u 1 ) )
104 negneg1e1 10739 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u -u 1  =  1
105104oveq2i 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1 [,] -u -u 1
)  =  ( -u
1 [,] 1 )
106103, 105syl6eleq 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
107 xle0neg2 11538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( 0  <_  z  <->  -e z  <_  0 ) )
108107notbid 301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( -.  0  <_  z  <->  -.  -e
z  <_  0 ) )
109108biimpa 492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  -e z  <_ 
0 )
110 f1ocnvfv2 6194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  -e z  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( F `  ( `' F `  -e z ) )  =  -e z )
11122, 93, 110sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  ( `' F `  -e
z ) )  = 
-e z )
112 0elunit 11776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
113 ax-1ne0 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  =/=  0
114 neeq2 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
1  =/=  x  <->  1  =/=  0 ) )
115113, 114mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  1  =/=  x )
116115necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  0  ->  x  =/=  1 )
117 ifnefalse 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =/=  1  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
119 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
120 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  x )  =  ( 1  -  0 ) )
121 1m0e1 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  -  0 )  =  1
122120, 121syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  x )  =  1 )
123119, 122oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  0  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  =  ( 0  / 
1 ) )
124 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
125124, 113div0i 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  /  1 )  =  0
126123, 125syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  =  0 )
127118, 126eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  =  1 , +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  0 )
128 c0ex 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  _V
129127, 20, 128fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  0 )  =  0 )
130112, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 0 )  =  0
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  0
)  =  0 )
132111, 131breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( F `  ( `' F `  -e
z ) )  <_ 
( F `  0
)  <->  -e z  <_ 
0 ) )
133109, 132mtbird 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  ( F `  ( `' F `  -e
z ) )  <_ 
( F `  0
) )
134 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )
13520, 134iccpnfhmeo 22051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F 
Isom  <  ,  <  (
( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  F  e.  ( II Homeo ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
136135simpli 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo ) )
137 iccssxr 11742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR*
138137, 8pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 [,] 1 ) 
C_  RR*  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )
139 leisorel 12664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  ( ( 0 [,] 1 )  C_  RR* 
/\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  /\  ( ( `' F `  -e z )  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( `' F `  -e z )  <_  0  <->  ( F `  ( `' F `  -e z ) )  <_  ( F ` 
0 ) ) )
140136, 138, 139mp3an12 1380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  -e z )  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( `' F `  -e z )  <_ 
0  <->  ( F `  ( `' F `  -e
z ) )  <_ 
( F `  0
) ) )
14195, 112, 140sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( `' F `  -e z )  <_  0  <->  ( F `  ( `' F `  -e z ) )  <_  ( F ` 
0 ) ) )
142133, 141mtbird 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  ( `' F `  -e z )  <_ 
0 )
14399le0neg1d 10206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( `' F `  -e z )  <_  0  <->  0  <_  -u ( `' F `  -e
z ) ) )
144142, 143mtbid 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  0  <_  -u ( `' F `  -e
z ) )
145 unitssre 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
146145, 95sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  RR )
147146recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  -e z )  e.  CC )
148147negnegd 9996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u -u ( `' F `  -e z )  =  ( `' F `  -e z ) )
149148fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) )  =  ( F `  ( `' F `  -e
z ) ) )
150149, 111eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) )  = 
-e z )
151 xnegeq 11523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) )  = 
-e z  ->  -e ( F `  -u -u ( `' F `  -e z ) )  =  -e  -e z )
152150, 151syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e ( F `  -u -u ( `' F `  -e z ) )  =  -e  -e z )
153 xnegneg 11530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR*  ->  -e  -e z  =  z )
154153adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e  -e z  =  z )
155152, 154eqtr2d 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
z  =  -e
( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) ) )
156 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( 0  <_ 
y  <->  0  <_  -u ( `' F `  -e
z ) ) )
157156notbid 301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( -.  0  <_  y  <->  -.  0  <_  -u ( `' F `  -e
z ) ) )
158 negeq 9887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  -u y  =  -u -u ( `' F `  -e z ) )
159158fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( F `  -u y )  =  ( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) ) )
160 xnegeq 11523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  -u y
)  =  ( F `
 -u -u ( `' F `  -e z ) )  ->  -e ( F `  -u y
)  =  -e
( F `  -u -u ( `' F `  -e
z ) ) )
161159, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  -e ( F `
 -u y )  = 
-e ( F `
 -u -u ( `' F `  -e z ) ) )
162161eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( z  = 
-e ( F `
 -u y )  <->  z  =  -e ( F `  -u -u ( `' F `  -e z ) ) ) )
163157, 162anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -u ( `' F `  -e z )  ->  ( ( -.  0  <_  y  /\  z  =  -e ( F `  -u y
) )  <->  ( -.  0  <_  -u ( `' F `  -e z )  /\  z  =  -e ( F `  -u -u ( `' F `  -e z ) ) ) ) )
164163rspcev 3136 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( `' F `  -e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  ( -.  0  <_  -u ( `' F `  -e
z )  /\  z  =  -e ( F `
 -u -u ( `' F `  -e z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( -.  0  <_ 
y  /\  z  =  -e ( F `  -u y ) ) )
165106, 144, 155, 164syl12anc 1290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( -.  0  <_ 
y  /\  z  =  -e ( F `  -u y ) ) )
166 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  0  <_  y  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  = 
-e ( F `
 -u y ) )
167166eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  0  <_  y  ->  ( z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) )  <->  z  =  -e ( F `  -u y ) ) )
168167biimpar 493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  0  <_  y  /\  z  =  -e
( F `  -u y
) )  ->  z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) )
169168reximi 2852 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) ( -.  0  <_ 
y  /\  z  =  -e ( F `  -u y ) )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) ) )
170165, 169syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  -e
( F `  -u y
) ) )
17182, 170pm2.61dan 808 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR*  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) )
17250, 171mprgbir 2771 . . . . . 6  |-  RR*  C_  { z  |  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) }
1737rnmpt 5086 . . . . . 6  |-  ran  G  =  { z  |  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
-e ( F `
 -u y ) ) }
174172, 173sseqtr4i 3451 . . . . 5  |-  RR*  C_  ran  G
17549, 174eqssi 3434 . . . 4  |-  ran  G  =  RR*
176 dffo2 5810 . . . 4  |-  ( G : ( -u 1 [,] 1 ) -onto-> RR*  <->  ( G : ( -u 1 [,] 1 ) --> RR*  /\  ran  G  =  RR* ) )
17747, 175, 176mpbir2an 934 . . 3  |-  G :
( -u 1 [,] 1
) -onto-> RR*
178 breq1 4398 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  =  if ( 0  <_  z ,  ( F `  z ) ,  -e ( F `  -u z
) )  ->  (
( F `  z
)  <  if (
0  <_  w , 
( F `  w
) ,  -e
( F `  -u w
) )  <->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
179 breq1 4398 . . . . . . 7  |-  (  -e ( F `  -u z )  =  if ( 0  <_  z ,  ( F `  z ) ,  -e ( F `  -u z ) )  -> 
(  -e ( F `
 -u z )  < 
if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) )  <->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
180 simpl3 1035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  <  w )
181 simpl1 1033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
182 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  0  <_  z )
183 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  z ) )
184 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
185183, 184imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( 0  <_  y  ->  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  <-> 
( 0  <_  z  ->  z  e.  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
18619ex 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  y  ->  y  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
187185, 186vtoclga 3099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  z  ->  z  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
188181, 182, 187sylc 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  e.  ( 0 [,] 1
) )
189 simpl2 1034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
19017a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  0  e.  RR )
19198, 181sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  e.  RR )
19298, 189sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  w  e.  RR )
193191, 192, 180ltled 9800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  <_  w )
194190, 191, 192, 182, 193letrd 9809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  0  <_  w )
195 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  w ) )
196 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  w  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
197195, 196imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( 0  <_  y  ->  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  <-> 
( 0  <_  w  ->  w  e.  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
198197, 186vtoclga 3099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  w  ->  w  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
199189, 194, 198sylc 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  w  e.  ( 0 [,] 1
) )
200 isorel 6235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  w  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( z  <  w  <->  ( F `  z )  <  ( F `  w ) ) )
201136, 200mpan 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  w  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( z  < 
w  <->  ( F `  z )  <  ( F `  w )
) )
202188, 199, 201syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  (
z  <  w  <->  ( F `  z )  <  ( F `  w )
) )
203180, 202mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  ( F `  z )  <  ( F `  w
) )
204194iftrued 3880 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) )  =  ( F `  w
) )
205203, 204breqtrrd 4422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  ( F `  z )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) )
206 breq2 4399 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  w )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w
) )  ->  (  -e ( F `  -u z )  <  ( F `  w )  <->  -e ( F `  -u z )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
207 breq2 4399 . . . . . . . 8  |-  (  -e ( F `  -u w )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) )  -> 
(  -e ( F `
 -u z )  <  -e ( F `
 -u w )  <->  -e ( F `  -u z
)  <  if (
0  <_  w , 
( F `  w
) ,  -e
( F `  -u w
) ) ) )
208 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
209 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  0  <_  z )
210183notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  0  <_  y  <->  -.  0  <_  z ) )
211 negeq 9887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  -u y  =  -u z )
212211eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
213210, 212imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  (
( -.  0  <_ 
y  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1
) )  <->  ( -.  0  <_  z  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
21441ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( -.  0  <_  y  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
215213, 214vtoclga 3099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( -.  0  <_  z  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
216208, 209, 215sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) )
217216adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )
21824ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u z  e.  ( 0 [,] 1 )  -> 
( F `  -u z
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
219217, 218syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  -u z
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2208, 219sseldi 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  -u z
)  e.  RR* )
221220xnegcld 11611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -e ( F `  -u z )  e.  RR* )
22285a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  e.  RR* )
223 simpll2 1070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
224 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <_  w )
225223, 224, 198sylc 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  ( 0 [,] 1 ) )
22624ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  w )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
227225, 226syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  w
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2288, 227sseldi 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  w
)  e.  RR* )
229209adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -.  0  <_  z )
230 simpll1 1069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
z  e.  ( -u
1 [,] 1 ) )
23198, 230sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
z  e.  RR )
232 ltnle 9731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( z  <  0  <->  -.  0  <_  z )
)
233231, 17, 232sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( z  <  0  <->  -.  0  <_  z )
)
234229, 233mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
z  <  0 )
235231lt0neg1d 10204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( z  <  0  <->  0  <  -u z ) )
236234, 235mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <  -u z )
237 isorel 6235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  ( 0  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0  <  -u z  <->  ( F `  0 )  <  ( F `  -u z ) ) )
238136, 237mpan 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0  <  -u z  <->  ( F ` 
0 )  <  ( F `  -u z ) ) )
239112, 217, 238sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( 0  <  -u z  <->  ( F `  0 )  <  ( F `  -u z ) ) )
240236, 239mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  0
)  <  ( F `  -u z ) )
241130, 240syl5eqbrr 4430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <  ( F `  -u z ) )
242 xlt0neg2 11536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  -u z
)  e.  RR*  ->  ( 0  <  ( F `
 -u z )  <->  -e ( F `  -u z
)  <  0 ) )
243220, 242syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( 0  <  ( F `  -u z )  <->  -e ( F `
 -u z )  <  0 ) )
244241, 243mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -e ( F `  -u z )  <  0
)
245 elxrge0 11767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  w )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 w )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  w ) ) )
246245simprbi 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( F `  w
) )
247227, 246syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <_  ( F `  w ) )
248221, 222, 228, 244, 247xrltletrd 11481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -e ( F `  -u z )  <  ( F `  w )
)
249 simpll3 1071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  z  <  w
)
250 simpll1 1069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  z  e.  (
-u 1 [,] 1
) )
25198, 250sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  z  e.  RR )
252 simpll2 1070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )
25398, 252sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  w  e.  RR )
254251, 253ltnegd 10212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( z  < 
w  <->  -u w  <  -u z
) )
255249, 254mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -u w  <  -u z
)
256 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -.  0  <_  w )
257195notbid 301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  0  <_  y  <->  -.  0  <_  w ) )
258 negeq 9887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  ->  -u y  =  -u w )
259258eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  -u w  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
260257, 259imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( -.  0  <_ 
y  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1
) )  <->  ( -.  0  <_  w  ->  -u w  e.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
261260, 214vtoclga 3099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( -.  0  <_  w  ->  -u w  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
262252, 256, 261sylc 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -u w  e.  ( 0 [,] 1 ) )
263216adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )
264 isorel 6235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  /\  ( -u w  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( -u w  <  -u z  <->  ( F `  -u w
)  <  ( F `  -u z ) ) )
265136, 264mpan 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u w  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( -u w  <  -u z  <->  ( F `  -u w )  < 
( F `  -u z
) ) )
266262, 263, 265syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( -u w  <  -u z  <->  ( F `  -u w )  < 
( F `  -u z
) ) )
267255, 266mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u w )  <  ( F `  -u z ) )
26824ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u w  e.  ( 0 [,] 1 )  -> 
( F `  -u w
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
269262, 268syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u w )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2708, 269sseldi 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u w )  e.  RR* )
271263, 218syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u z )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2728, 271sseldi 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u z )  e.  RR* )
273 xltneg 11533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  -u w
)  e.  RR*  /\  ( F `  -u z )  e.  RR* )  ->  (
( F `  -u w
)  <  ( F `  -u z )  <->  -e ( F `  -u z
)  <  -e ( F `  -u w
) ) )
274270, 272, 273syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( ( F `
 -u w )  < 
( F `  -u z
)  <->  -e ( F `
 -u z )  <  -e ( F `
 -u w ) ) )
275267, 274mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -e ( F `
 -u z )  <  -e ( F `
 -u w ) )
276206, 207, 248, 275ifbothda 3907 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  -e
( F `  -u z
)  <  if (
0  <_  w , 
( F `  w
) ,  -e
( F `  -u w
) ) )
277178, 179, 205, 276ifbothda 3907 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  ->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) )
2782773expia 1233 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  (
z  <  w  ->  if ( 0  <_  z ,  ( F `  z ) ,  -e ( F `  -u z ) )  < 
if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
279 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
280211fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  -u y )  =  ( F `  -u z ) )
281 xnegeq 11523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  -u y
)  =  ( F `
 -u z )  ->  -e ( F `  -u y )  =  -e ( F `  -u z ) )
282280, 281syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  -e
( F `  -u y
)  =  -e
( F `  -u z
) )
283183, 279, 282ifbieq12d 3899 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  =  if ( 0  <_ 
z ,  ( F `
 z ) , 
-e ( F `
 -u z ) ) )
284 fvex 5889 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
285 xnegex 11524 . . . . . . . 8  |-  -e
( F `  -u z
)  e.  _V
286284, 285ifex 3940 . . . . . . 7  |-  if ( 0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  e.  _V
287283, 7, 286fvmpt 5963 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( G `  z )  =  if ( 0  <_ 
z ,  ( F `
 z ) , 
-e ( F `
 -u z ) ) )
288 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
289258fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  -u y )  =  ( F `  -u w ) )
290 xnegeq 11523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  -u y
)  =  ( F `
 -u w )  ->  -e ( F `  -u y )  =  -e ( F `  -u w ) )
291289, 290syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  -e
( F `  -u y
)  =  -e
( F `  -u w
) )
292195, 288, 291ifbieq12d 3899 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  -e ( F `  -u y ) )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) )
293 fvex 5889 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
294 xnegex 11524 . . . . . . . 8  |-  -e
( F `  -u w
)  e.  _V
295293, 294ifex 3940 . . . . . . 7  |-  if ( 0  <_  w , 
( F `  w
) ,  -e
( F `  -u w
) )  e.  _V
296292, 7, 295fvmpt 5963 . . . . . 6  |-  ( w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( G `  w )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) )
297287, 296breqan12d 4411 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  (
( G `  z
)  <  ( G `  w )  <->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  -e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  -e ( F `  -u w ) ) ) )
298278, 297sylibrd 242 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  (
z  <  w  ->  ( G `  z )  <  ( G `  w ) ) )
299298rgen2a 2820 . . 3  |-  A. z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) A. w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( z  <  w  ->  ( G `  z )  <  ( G `  w
) )
300 soisoi 6237 . . 3  |-  ( ( (  <  Or  ( -u 1 [,] 1 )  /\  <  Po  RR* )  /\  ( G :
( -u 1 [,] 1
) -onto-> RR*  /\  A. z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) A. w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( z  <  w  ->  ( G `  z )  <  ( G `  w
) ) ) )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( -u
1 [,] 1 ) ,  RR* ) )
3014, 6, 177, 299, 300mp4an 687 . 2  |-  G  Isom  <  ,  <  ( ( -u
1 [,] 1 ) ,  RR* )
302 letsr 16551 . . . . . 6  |-  <_  e.  TosetRel
303302elexi 3041 . . . . 5  |-  <_  e.  _V
304303inex1 4537 . . . 4  |-  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  e.  _V
305 ssid 3437 . . . . . . 7  |-  RR*  C_  RR*
306 leiso 12663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u 1 [,] 1 )  C_  RR*  /\  RR*  C_ 
RR* )  ->  ( G  Isom  <  ,  <  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) 
<->  G  Isom  <_  ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) ) )
3071, 305, 306mp2an 686 . . . . . 6  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  <->  G 
Isom  <_  ,  <_  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )
)
308301, 307mpbi 213 . . . . 5  |-  G  Isom  <_  ,  <_  ( ( -u
1 [,] 1 ) ,  RR* )
309 isores1 6243 . . . . 5  |-  ( G 
Isom  <_  ,  <_  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  <->  G 
Isom  (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) ) ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) )
310308, 309mpbi 213 . . . 4  |-  G  Isom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* )
311 tsrps 16545 . . . . . . . 8  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  <_  e.  PosetRel )
312302, 311ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  <_  e.  PosetRel
313 ledm 16548 . . . . . . . 8  |-  RR*  =  dom  <_
314313psssdm 16540 . . . . . . 7  |-  ( (  <_  e.  PosetRel  /\  ( -u 1 [,] 1 ) 
C_  RR* )  ->  dom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  =  ( -u 1 [,] 1 ) )
315312, 1, 314mp2an 686 . . . . . 6  |-  dom  (  <_  i^i  ( ( -u
1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  =  ( -u 1 [,] 1 )
316315eqcomi 2480 . . . . 5  |-  ( -u
1 [,] 1 )  =  dom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
317316, 313ordthmeo 20894 . . . 4  |-  ( ( (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) )  e.  _V  /\ 
<_  e.  TosetRel  /\  G  Isom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) )  ->  G  e.  ( (ordTop `  (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) ) )
318304, 302, 310, 317mp3an 1390 . . 3  |-  G  e.  ( (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( -u
1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )
319 xrhmeo.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
320 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
321319, 320xrrest2 21904 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1 [,] 1
)  C_  RR  ->  ( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  (
-u 1 [,] 1
) ) )
32298, 321ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( Jt  (
-u 1 [,] 1
) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( -u
1 [,] 1 ) )
323 ordtresticc 20316 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( -u 1 [,] 1 ) )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) )
324322, 323eqtri 2493 . . . 4  |-  ( Jt  (
-u 1 [,] 1
) )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) ) )
325324oveq1i 6318 . . 3  |-  ( ( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )  =  ( (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( -u
1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )
326318, 325eleqtrri 2548 . 2  |-  G  e.  ( ( Jt  ( -u
1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) )
327301, 326pm3.2i 462 1  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  /\  G  e.  (
( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) ) Homeo (ordTop `  <_  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    Po wpo 4758    Or wor 4759    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589    Isom wiso 5590  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291    -ecxne 11429   [,]cicc 11663   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398  ordTopcordt 15475   PosetRelcps 16522    TosetRel ctsr 16523  ℂfldccnfld 19047   Homeochmeo 20845   IIcii 21985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-ii 21987
This theorem is referenced by:  xrhmph  22053
  Copyright terms: Public domain W3C validator