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Theorem xrhmeo 22052
 Description: The bijection from to the extended reals is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrhmeo.f
xrhmeo.g
xrhmeo.j fld
xrhmeo.k ordTop
Assertion
Ref Expression
xrhmeo t ordTop
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem xrhmeo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11742 . . . 4
2 xrltso 11463 . . . 4
3 soss 4778 . . . 4
41, 2, 3mp2 9 . . 3
5 sopo 4777 . . . 4
62, 5ax-mp 5 . . 3
7 xrhmeo.g . . . . 5
8 iccssxr 11742 . . . . . . 7
9 neg1rr 10736 . . . . . . . . . . . 12
10 1re 9660 . . . . . . . . . . . 12
119, 10elicc2i 11725 . . . . . . . . . . 11
1211simp1bi 1045 . . . . . . . . . 10
1312adantr 472 . . . . . . . . 9
14 simpr 468 . . . . . . . . 9
1511simp3bi 1047 . . . . . . . . . 10
1615adantr 472 . . . . . . . . 9
17 0re 9661 . . . . . . . . . 10
1817, 10elicc2i 11725 . . . . . . . . 9
1913, 14, 16, 18syl3anbrc 1214 . . . . . . . 8
20 xrhmeo.f . . . . . . . . . . . 12
2120iccpnfcnv 22050 . . . . . . . . . . 11
2221simpli 465 . . . . . . . . . 10
23 f1of 5828 . . . . . . . . . 10
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9
2524ffvelrni 6036 . . . . . . . 8
2619, 25syl 17 . . . . . . 7
278, 26sseldi 3416 . . . . . 6
2812adantr 472 . . . . . . . . . . 11
2928renegcld 10067 . . . . . . . . . 10
30 letric 9752 . . . . . . . . . . . . 13
3117, 12, 30sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12
3231orcanai 927 . . . . . . . . . . 11
3328le0neg1d 10206 . . . . . . . . . . 11
3432, 33mpbid 215 . . . . . . . . . 10
3511simp2bi 1046 . . . . . . . . . . . 12
3635adantr 472 . . . . . . . . . . 11
37 lenegcon1 10139 . . . . . . . . . . . 12
3810, 28, 37sylancr 676 . . . . . . . . . . 11
3936, 38mpbid 215 . . . . . . . . . 10
4017, 10elicc2i 11725 . . . . . . . . . 10
4129, 34, 39, 40syl3anbrc 1214 . . . . . . . . 9
4224ffvelrni 6036 . . . . . . . . 9
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8
448, 43sseldi 3416 . . . . . . 7
4544xnegcld 11611 . . . . . 6
4627, 45ifclda 3904 . . . . 5
477, 46fmpti 6060 . . . 4
48 frn 5747 . . . . . 6
4947, 48ax-mp 5 . . . . 5
50 ssabral 3486 . . . . . . 7
51 0le1 10158 . . . . . . . . . . . . 13
52 le0neg2 10144 . . . . . . . . . . . . . 14
5310, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
5451, 53mpbi 213 . . . . . . . . . . . 12
55 1le1 10262 . . . . . . . . . . . 12
56 iccss 11727 . . . . . . . . . . . 12
579, 10, 54, 55, 56mp4an 687 . . . . . . . . . . 11
58 elxrge0 11767 . . . . . . . . . . . 12
59 f1ocnv 5840 . . . . . . . . . . . . . 14
60 f1of 5828 . . . . . . . . . . . . . 14
6122, 59, 60mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13
6261ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . 12
6358, 62sylbir 218 . . . . . . . . . . 11
6457, 63sseldi 3416 . . . . . . . . . 10
6517, 10elicc2i 11725 . . . . . . . . . . . 12
6665simp2bi 1046 . . . . . . . . . . 11
6763, 66syl 17 . . . . . . . . . 10
6858biimpri 211 . . . . . . . . . . . 12
69 f1ocnvfv2 6194 . . . . . . . . . . . 12
7022, 68, 69sylancr 676 . . . . . . . . . . 11
7170eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10
72 breq2 4399 . . . . . . . . . . . 12
73 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
7473eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12
7572, 74anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11
7675rspcev 3136 . . . . . . . . . 10
7764, 67, 71, 76syl12anc 1290 . . . . . . . . 9
78 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . 12
7978eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11
8079biimpar 493 . . . . . . . . . 10
8180reximi 2852 . . . . . . . . 9
8277, 81syl 17 . . . . . . . 8
83 xnegcl 11529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8483adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
86 xrletri 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8785, 86mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8887ord 384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
89 xle0neg1 11537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9088, 89sylibd 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9190imp 436 . . . . . . . . . . . . . . 15
92 elxrge0 11767 . . . . . . . . . . . . . . 15
9384, 91, 92sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . 14
9461ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . . . 14
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
9657, 95sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12
97 iccssre 11741 . . . . . . . . . . . . . . 15
989, 10, 97mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . 14
9998, 96sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13
100 iccneg 11779 . . . . . . . . . . . . . 14
1019, 10, 100mp3an12 1380 . . . . . . . . . . . . 13
10299, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12
10396, 102mpbid 215 . . . . . . . . . . 11
104 negneg1e1 10739 . . . . . . . . . . . 12
105104oveq2i 6319 . . . . . . . . . . 11
106103, 105syl6eleq 2559 . . . . . . . . . 10
107 xle0neg2 11538 . . . . . . . . . . . . . . 15
108107notbid 301 . . . . . . . . . . . . . 14
109108biimpa 492 . . . . . . . . . . . . 13
110 f1ocnvfv2 6194 . . . . . . . . . . . . . . 15
11122, 93, 110sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14
112 0elunit 11776 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113 ax-1ne0 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
114 neeq2 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
115113, 114mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
116115necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117 ifnefalse 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
120 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
121 1m0e1 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
122120, 121syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
123119, 122oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
125124, 113div0i 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
126123, 125syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
127118, 126eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128 c0ex 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129127, 20, 128fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130112, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
132111, 131breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . 13
133109, 132mtbird 308 . . . . . . . . . . . 12
134 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ordTop t ordTop t
13520, 134iccpnfhmeo 22051 . . . . . . . . . . . . . . 15 ordTop t
136135simpli 465 . . . . . . . . . . . . . 14
137 iccssxr 11742 . . . . . . . . . . . . . . 15
138137, 8pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . 14
139 leisorel 12664 . . . . . . . . . . . . . 14
140136, 138, 139mp3an12 1380 . . . . . . . . . . . . 13
14195, 112, 140sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12
142133, 141mtbird 308 . . . . . . . . . . 11
14399le0neg1d 10206 . . . . . . . . . . 11
144142, 143mtbid 307 . . . . . . . . . 10
145 unitssre 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
146145, 95sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16
147146recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15
148147negnegd 9996 . . . . . . . . . . . . . 14
149148fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
150149, 111eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12
151 xnegeq 11523 . . . . . . . . . . . 12
152150, 151syl 17 . . . . . . . . . . 11
153 xnegneg 11530 . . . . . . . . . . . 12
154153adantr 472 . . . . . . . . . . 11
155152, 154eqtr2d 2506 . . . . . . . . . 10
156 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . 13
157156notbid 301 . . . . . . . . . . . 12
158 negeq 9887 . . . . . . . . . . . . . . 15
159158fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
160 xnegeq 11523 . . . . . . . . . . . . . 14
161159, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
162161eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12
163157, 162anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11
164163rspcev 3136 . . . . . . . . . 10
165106, 144, 155, 164syl12anc 1290 . . . . . . . . 9
166 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . 12
167166eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11
168167biimpar 493 . . . . . . . . . 10
169168reximi 2852 . . . . . . . . 9
170165, 169syl 17 . . . . . . . 8
17182, 170pm2.61dan 808 . . . . . . 7
17250, 171mprgbir 2771 . . . . . 6
1737rnmpt 5086 . . . . . 6
174172, 173sseqtr4i 3451 . . . . 5
17549, 174eqssi 3434 . . . 4
176 dffo2 5810 . . . 4
17747, 175, 176mpbir2an 934 . . 3
178 breq1 4398 . . . . . . 7
179 breq1 4398 . . . . . . 7
180 simpl3 1035 . . . . . . . . 9
181 simpl1 1033 . . . . . . . . . . 11
182 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
183 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . 13
184 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13
185183, 184imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12
18619ex 441 . . . . . . . . . . . 12
187185, 186vtoclga 3099 . . . . . . . . . . 11
188181, 182, 187sylc 61 . . . . . . . . . 10
189 simpl2 1034 . . . . . . . . . . 11
19017a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
19198, 181sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12
19298, 189sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12
193191, 192, 180ltled 9800 . . . . . . . . . . . 12
194190, 191, 192, 182, 193letrd 9809 . . . . . . . . . . 11
195 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . 13
196 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13
197195, 196imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12
198197, 186vtoclga 3099 . . . . . . . . . . 11
199189, 194, 198sylc 61 . . . . . . . . . 10
200 isorel 6235 . . . . . . . . . . 11
201136, 200mpan 684 . . . . . . . . . 10
202188, 199, 201syl2anc 673 . . . . . . . . 9
203180, 202mpbid 215 . . . . . . . 8
204194iftrued 3880 . . . . . . . 8
205203, 204breqtrrd 4422 . . . . . . 7
206 breq2 4399 . . . . . . . 8
207 breq2 4399 . . . . . . . 8
208 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . . . 14
209 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
210183notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . 16
211 negeq 9887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
212211eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16
213210, 212imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15
21441ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15
215213, 214vtoclga 3099 . . . . . . . . . . . . . 14
216208, 209, 215sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13
217216adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
21824ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . 12
219217, 218syl 17 . . . . . . . . . . 11
2208, 219sseldi 3416 . . . . . . . . . 10
221220xnegcld 11611 . . . . . . . . 9
22285a1i 11 . . . . . . . . 9
223 simpll2 1070 . . . . . . . . . . . 12
224 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
225223, 224, 198sylc 61 . . . . . . . . . . 11
22624ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . 11
227225, 226syl 17 . . . . . . . . . 10
2288, 227sseldi 3416 . . . . . . . . 9
229209adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
230 simpll1 1069 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23198, 230sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15
232 ltnle 9731 . . . . . . . . . . . . . . 15
233231, 17, 232sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14
234229, 233mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13
235231lt0neg1d 10204 . . . . . . . . . . . . 13
236234, 235mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
237 isorel 6235 . . . . . . . . . . . . . 14
238136, 237mpan 684 . . . . . . . . . . . . 13
239112, 217, 238sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12
240236, 239mpbid 215 . . . . . . . . . . 11
241130, 240syl5eqbrr 4430 . . . . . . . . . 10
242 xlt0neg2 11536 . . . . . . . . . . 11
243220, 242syl 17 . . . . . . . . . 10
244241, 243mpbid 215 . . . . . . . . 9
245 elxrge0 11767 . . . . . . . . . . 11
246245simprbi 471 . . . . . . . . . 10
247227, 246syl 17 . . . . . . . . 9
248221, 222, 228, 244, 247xrltletrd 11481 . . . . . . . 8
249 simpll3 1071 . . . . . . . . . . 11
250 simpll1 1069 . . . . . . . . . . . . 13
25198, 250sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12
252 simpll2 1070 . . . . . . . . . . . . 13
25398, 252sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12
254251, 253ltnegd 10212 . . . . . . . . . . 11
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