MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0tsms2 Structured version   Unicode version

Theorem xrge0tsms2 21506
Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is convergent. This is a rather unique property of the set  [ 0 , +oo ]; a similar theorem is not true for  RR* or  RR or  [ 0 , +oo ). It is true for  NN0  u.  { +oo }, however, or more generally any additive submonoid of  [ 0 , +oo ) with +oo adjoined. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrge0tsms2.g  |-  G  =  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
xrge0tsms2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( G tsums  F
)  ~~  1o )

Proof of Theorem xrge0tsms2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0tsms2.g . . 3  |-  G  =  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
2 simpl 455 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> ( 0 [,] +oo ) )  ->  A  e.  V
)
3 simpr 459 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> ( 0 [,] +oo ) )  ->  F : A --> ( 0 [,] +oo ) )
4 eqid 2454 . . 3  |-  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  x ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  x
) ) ) , 
RR* ,  <  )
51, 2, 3, 4xrge0tsms 21505 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( G tsums  F
)  =  { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  x ) ) ) ,  RR* ,  <  ) } )
6 xrltso 11350 . . . 4  |-  <  Or  RR*
76supex 7914 . . 3  |-  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  x ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  _V
87ensn1 7572 . 2  |-  { sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  x ) ) ) ,  RR* ,  <  ) }  ~~  1o
95, 8syl6eqbr 4476 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( G tsums  F
)  ~~  1o )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    i^i cin 3460   ~Pcpw 3999   {csn 4016   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ran crn 4989    |` cres 4990   -->wf 5566  (class class class)co 6270   1oc1o 7115    ~~ cen 7506   Fincfn 7509   supcsup 7892   0cc0 9481   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    < clt 9617   [,]cicc 11535   ↾s cress 14717    gsumg cgsu 14930   RR*scxrs 14989   tsums ctsu 20790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-xadd 11322  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-ordt 14990  df-xrs 14991  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-ps 16029  df-tsr 16030  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-ntr 19688  df-nei 19766  df-cn 19895  df-haus 19983  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-tsms 20791
This theorem is referenced by:  xrge0tsmsbi  28011  xrge0tsmseq  28012
  Copyright terms: Public domain W3C validator