Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0tmd Structured version   Unicode version

Theorem xrge0tmd 28163
Description: The extended nonnegative real numbers monoid is a topological monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.) (Proof Shortened by Thierry Arnoux, 21-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge0tmd  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. TopMnd

Proof of Theorem xrge0tmd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2458 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  0  <->  y  =  0 ) )
2 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( log `  x )  =  ( log `  y
) )
32negeqd 9805 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  -u ( log `  x )  = 
-u ( log `  y
) )
41, 3ifbieq2d 3954 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x ) )  =  if ( y  =  0 , +oo ,  -u ( log `  y
) ) )
54cbvmptv 4530 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( y  =  0 , +oo ,  -u ( log `  y ) ) )
6 xrge0topn 28160 . . 3  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
75, 6xrge0iifmhm 28156 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x ) ) )  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) ) MndHom  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
85, 6xrge0iifhmeo 28153 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x ) ) )  e.  ( II
Homeo ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
9 cnfldex 18618 . . . . . 6  |-fld  e.  _V
10 ovex 6298 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V
11 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  (flds  ( 0 [,] 1 ) )  =  (flds  ( 0 [,] 1 ) )
12 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
1311, 12mgpress 17347 . . . . . 6  |-  ( (fld  e. 
_V  /\  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V )  ->  (
(mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) )  =  (mulGrp `  (flds  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
149, 10, 13mp2an 670 . . . . 5  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) )  =  (mulGrp `  (flds  ( 0 [,] 1 ) ) )
1511dfii4 21554 . . . . 5  |-  II  =  ( TopOpen `  (flds  ( 0 [,] 1 ) ) )
1614, 15mgptopn 17345 . . . 4  |-  II  =  ( TopOpen `  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) ) )
1716oveq1i 6280 . . 3  |-  ( II
Homeo ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) ) )  =  ( ( TopOpen `  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) ) )
Homeo ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
188, 17eleqtri 2540 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x ) ) )  e.  ( (
TopOpen `  ( (mulGrp ` fld )s  (
0 [,] 1 ) ) ) Homeo ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
19 eqid 2454 . . 3  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) )
2019iistmd 28119 . 2  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) )  e. TopMnd
21 xrge0tps 28159 . 2  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp
227, 18, 20, 21mhmhmeotmd 28144 1  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. TopMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   ifcif 3929    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482   +oocpnf 9614   -ucneg 9797   [,]cicc 11535   ↾s cress 14717   TopOpenctopn 14911   RR*scxrs 14989  mulGrpcmgp 17336  ℂfldccnfld 18615   Homeochmeo 20420  TopMndctmd 20735   IIcii 21545   logclog 23108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-ordt 14990  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-ps 16029  df-tsr 16030  df-plusf 16070  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-subrg 17622  df-abv 17661  df-lmod 17709  df-scaf 17710  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-tmd 20737  df-tgp 20738  df-trg 20828  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-nm 21269  df-ngp 21270  df-nrg 21272  df-nlm 21273  df-ii 21547  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110
This theorem is referenced by:  esumsplit  28282  esumadd  28286  esumaddf  28290  esumcst  28292
  Copyright terms: Public domain W3C validator