Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0tmd Structured version   Unicode version

Theorem xrge0tmd 26522
Description: The extended nonnegative real numbers monoid is a topological monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.) (Proof Shortened by Thierry Arnoux, 21-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge0tmd  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. TopMnd

Proof of Theorem xrge0tmd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2616 . . . 4  |-  F/_ y if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x ) )
2 nfcv 2616 . . . 4  |-  F/_ x if ( y  =  0 , +oo ,  -u ( log `  y ) )
3 eqeq1 2458 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  0  <->  y  =  0 ) )
4 fveq2 5800 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( log `  x )  =  ( log `  y
) )
54negeqd 9716 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  -u ( log `  x )  = 
-u ( log `  y
) )
63, 5ifbieq2d 3923 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x ) )  =  if ( y  =  0 , +oo ,  -u ( log `  y
) ) )
71, 2, 6cbvmpt 4491 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( y  =  0 , +oo ,  -u ( log `  y ) ) )
8 xrge0topn 26519 . . 3  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
97, 8xrge0iifmhm 26515 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x ) ) )  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) ) MndHom  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
107, 8xrge0iifhmeo 26512 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x ) ) )  e.  ( II
Homeo ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
11 cnfldex 17947 . . . . . 6  |-fld  e.  _V
12 ovex 6226 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V
13 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  (flds  ( 0 [,] 1 ) )  =  (flds  ( 0 [,] 1 ) )
14 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
1513, 14mgpress 16725 . . . . . 6  |-  ( (fld  e. 
_V  /\  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V )  ->  (
(mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) )  =  (mulGrp `  (flds  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
1611, 12, 15mp2an 672 . . . . 5  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) )  =  (mulGrp `  (flds  ( 0 [,] 1 ) ) )
1713dfii4 20593 . . . . 5  |-  II  =  ( TopOpen `  (flds  ( 0 [,] 1 ) ) )
1816, 17mgptopn 16723 . . . 4  |-  II  =  ( TopOpen `  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) ) )
1918oveq1i 6211 . . 3  |-  ( II
Homeo ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) ) )  =  ( ( TopOpen `  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) ) )
Homeo ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
2010, 19eleqtri 2540 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x ) ) )  e.  ( (
TopOpen `  ( (mulGrp ` fld )s  (
0 [,] 1 ) ) ) Homeo ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
21 eqid 2454 . . 3  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) )
2221iistmd 26478 . 2  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) )  e. TopMnd
23 xrge0tps 26518 . 2  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp
249, 20, 22, 23mhmhmeotmd 26503 1  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. TopMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   ifcif 3900    |-> cmpt 4459   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   0cc0 9394   1c1 9395   +oocpnf 9527   -ucneg 9708   [,]cicc 11415   ↾s cress 14294   TopOpenctopn 14480   RR*scxrs 14558  mulGrpcmgp 16714  ℂfldccnfld 17944   Homeochmeo 19459  TopMndctmd 19774   IIcii 20584   logclog 22140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-ioc 11417  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-mod 11827  df-seq 11925  df-exp 11984  df-fac 12170  df-bc 12197  df-hash 12222  df-shft 12675  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-limsup 13068  df-clim 13085  df-rlim 13086  df-sum 13283  df-ef 13472  df-sin 13474  df-cos 13475  df-pi 13477  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-ordt 14559  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-ps 15490  df-tsr 15491  df-mnd 15535  df-plusf 15536  df-mhm 15584  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-subrg 16987  df-abv 17026  df-lmod 17074  df-scaf 17075  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-lp 18873  df-perf 18874  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-haus 19052  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-tmd 19776  df-tgp 19777  df-trg 19867  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-nm 20308  df-ngp 20309  df-nrg 20311  df-nlm 20312  df-ii 20586  df-cncf 20587  df-limc 21475  df-dv 21476  df-log 22142
This theorem is referenced by:  esumsplit  26652  esumadd  26653  esumaddf  26658  esumcst  26660
  Copyright terms: Public domain W3C validator