Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0slmod Structured version   Unicode version

Theorem xrge0slmod 27707
 Description: The extended nonnegative real numbers form a semiring left module. One could also have used subringAlg to get the same structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0slmod.1 s
xrge0slmod.2 v
Assertion
Ref Expression
xrge0slmod SLMod

Proof of Theorem xrge0slmod
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0slmod.1 . . . 4 s
2 xrge0cmn 18334 . . . 4 s CMnd
31, 2eqeltri 2527 . . 3 CMnd
4 ovex 6309 . . . 4
5 xrge0slmod.2 . . . . 5 v
65resvcmn 27701 . . . 4 CMnd CMnd
74, 6ax-mp 5 . . 3 CMnd CMnd
83, 7mpbi 208 . 2 CMnd
9 rge0srg 18361 . 2 flds SRing
10 icossicc 11620 . . . . . . . 8
11 simplr 755 . . . . . . . 8
1210, 11sseldi 3487 . . . . . . 7
13 simprr 757 . . . . . . 7
14 ge0xmulcl 11644 . . . . . . 7
1512, 13, 14syl2anc 661 . . . . . 6
16 simprl 756 . . . . . . 7
17 xrge0adddi 27556 . . . . . . 7
1813, 16, 12, 17syl3anc 1229 . . . . . 6
19 rge0ssre 11637 . . . . . . . . . 10
20 simpll 753 . . . . . . . . . 10
2119, 20sseldi 3487 . . . . . . . . 9
2219, 11sseldi 3487 . . . . . . . . 9
23 rexadd 11440 . . . . . . . . 9
2421, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . 8
2524oveq1d 6296 . . . . . . 7
2610, 20sseldi 3487 . . . . . . . 8
27 xrge0adddir 27555 . . . . . . . 8
2826, 12, 13, 27syl3anc 1229 . . . . . . 7
2925, 28eqtr3d 2486 . . . . . 6
3015, 18, 293jca 1177 . . . . 5
31 rexmul 11472 . . . . . . . . 9
3221, 22, 31syl2anc 661 . . . . . . . 8
3332oveq1d 6296 . . . . . . 7
3421rexrd 9646 . . . . . . . 8
3522rexrd 9646 . . . . . . . 8
36 iccssxr 11616 . . . . . . . . 9
3736, 13sseldi 3487 . . . . . . . 8
38 xmulass 11488 . . . . . . . 8
3934, 35, 37, 38syl3anc 1229 . . . . . . 7
4033, 39eqtr3d 2486 . . . . . 6
41 xmulid2 11481 . . . . . . 7
4237, 41syl 16 . . . . . 6
43 xmul02 11469 . . . . . . 7
4437, 43syl 16 . . . . . 6
4540, 42, 443jca 1177 . . . . 5
4630, 45jca 532 . . . 4
4746ralrimivva 2864 . . 3
4847rgen2a 2870 . 2
49 xrge0base 27546 . . . . . 6 s
501fveq2i 5859 . . . . . 6 s
5149, 50eqtr4i 2475 . . . . 5
525, 51resvbas 27695 . . . 4
534, 52ax-mp 5 . . 3
54 xrge0plusg 27548 . . . . . 6 s
551fveq2i 5859 . . . . . 6 s
5654, 55eqtr4i 2475 . . . . 5
575, 56resvplusg 27696 . . . 4
584, 57ax-mp 5 . . 3
59 ovex 6309 . . . . . 6
60 ax-xrsvsca 27535 . . . . . . 7
611, 60ressvsca 14653 . . . . . 6
6259, 61ax-mp 5 . . . . 5
635, 62resvvsca 27697 . . . 4
644, 63ax-mp 5 . . 3
65 xrge00 27547 . . . . . 6 s
661fveq2i 5859 . . . . . 6 s
6765, 66eqtr4i 2475 . . . . 5
685, 67resv0g 27699 . . . 4
694, 68ax-mp 5 . . 3
70 df-refld 18514 . . . . . 6 RRfld flds
7170oveq1i 6291 . . . . 5 RRfld ↾s flds s
72 reex 9586 . . . . . 6
73 ressress 14571 . . . . . 6 flds s flds
7472, 4, 73mp2an 672 . . . . 5 flds s flds
7571, 74eqtri 2472 . . . 4 RRfld ↾s flds
76 ax-xrssca 27534 . . . . . . . . 9 flds Scalar
771, 76resssca 14652 . . . . . . . 8 flds Scalar
7859, 77ax-mp 5 . . . . . . 7 flds Scalar
7970, 78eqtri 2472 . . . . . 6 RRfld Scalar
80 rebase 18515 . . . . . 6 RRfld
815, 79, 80resvsca 27693 . . . . 5 RRfld ↾s Scalar
824, 81ax-mp 5 . . . 4 RRfld ↾s Scalar
83 incom 3676 . . . . . 6
84 df-ss 3475 . . . . . . 7
8519, 84mpbi 208 . . . . . 6
8683, 85eqtr3i 2474 . . . . 5
8786oveq2i 6292 . . . 4 flds flds
8875, 82, 873eqtr3ri 2481 . . 3 flds Scalar
89 ax-resscn 9552 . . . . 5
9019, 89sstri 3498 . . . 4
91 eqid 2443 . . . . 5 flds flds
92 cnfldbas 18298 . . . . 5 fld
9391, 92ressbas2 14565 . . . 4 flds
9490, 93ax-mp 5 . . 3 flds
95 cnfldadd 18299 . . . . 5 fld
9691, 95ressplusg 14616 . . . 4 flds
974, 96ax-mp 5 . . 3 flds
98 cnfldmul 18300 . . . . 5 fld
9991, 98ressmulr 14627 . . . 4 flds
1004, 99ax-mp 5 . . 3 flds
101 cnring 18314 . . . 4 fld
102 1re 9598 . . . . 5
103 0le1 10082 . . . . 5
104 ltpnf 11340 . . . . . 6
105102, 104ax-mp 5 . . . . 5
106 0re 9599 . . . . . 6
107 pnfxr 11330 . . . . . 6
108 elico2 11597 . . . . . 6
109106, 107, 108mp2an 672 . . . . 5
110102, 103, 105, 109mpbir3an 1179 . . . 4
111 cnfld1 18317 . . . . 5 fld
11291, 92, 111ress1r 27652 . . . 4 fld flds
113101, 110, 90, 112mp3an 1325 . . 3 flds
114 cndrng 18321 . . . . 5 fld
115 drngring 17277 . . . . 5 fld fld
116 ringmnd 17081 . . . . 5 fld fld
117114, 115, 116mp2b 10 . . . 4 fld
118 0e0icopnf 11639 . . . 4
119 cnfld0 18316 . . . . 5 fld
12091, 92, 119ress0g 15823 . . . 4 fld flds
121117, 118, 90, 120mp3an 1325 . . 3 flds
12253, 58, 64, 69, 88, 94, 97, 100, 113, 121isslmd 27618 . 2 SLMod CMnd flds SRing
1238, 9, 48, 122mpbir3an 1179 1 SLMod
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793  cvv 3095   cin 3460   wss 3461   class class class wbr 4437  cfv 5578  (class class class)co 6281  cc 9493  cr 9494  cc0 9495  c1 9496   caddc 9498   cmul 9500   cpnf 9628  cxr 9630   clt 9631   cle 9632  cxad 11325  cxmu 11326  cico 11540  cicc 11541  cbs 14509   ↾s cress 14510   cplusg 14574  cmulr 14575  Scalarcsca 14577  cvsca 14578  c0g 14714  cxrs 14774  cmnd 15793  CMndccmn 16672  cur 17027  SRingcsrg 17031  crg 17072  cdr 17270  ℂfldccnfld 18294  RRfldcrefld 18513  SLModcslmd 27616   ↾v cresv 27687 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-addf 9574  ax-mulf 9575  ax-xrssca 27534  ax-xrsvsca 27535 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-0g 14716  df-xrs 14776  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-srg 17032  df-ring 17074  df-cring 17075  df-oppr 17146  df-dvdsr 17164  df-unit 17165  df-invr 17195  df-dvr 17206  df-drng 17272  df-cnfld 18295  df-refld 18514  df-slmd 27617  df-resv 27688 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator