Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0omnd Structured version   Unicode version

Theorem xrge0omnd 28139
Description: The nonnegative extended real numbers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrge0omnd  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. oMnd

Proof of Theorem xrge0omnd
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0cmn 18778 . . 3  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
2 cmnmnd 17135 . . 3  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd  ->  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd
4 ovex 6305 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  _V
5 xrge0base 28111 . . . 4  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
6 xrge0le 28114 . . . 4  |-  <_  =  ( le `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
7 iccssxr 11659 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
87sseli 3437 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  x  e. 
RR* )
9 xrleid 11408 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_  x )
108, 9syl 17 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  x  <_  x )
117sseli 3437 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  y  e. 
RR* )
12 xrletri3 11410 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  =  y  <->  ( x  <_  y  /\  y  <_  x ) ) )
1312biimprd 223 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x  <_  y  /\  y  <_  x )  ->  x  =  y ) )
148, 11, 13syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  x )  ->  x  =  y ) )
157sseli 3437 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  z  e. 
RR* )
16 xrletr 11413 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z
) )
178, 11, 15, 16syl3an 1272 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z ) )
184, 5, 6, 10, 14, 17isposi 15908 . . 3  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Poset
19 xrletri 11409 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  \/  y  <_  x ) )
208, 11, 19syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( x  <_ 
y  \/  y  <_  x ) )
2120rgen2a 2830 . . 3  |-  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( x  <_  y  \/  y  <_  x )
225, 6istos 15987 . . 3  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. Toset  <->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  y  \/  y  <_  x ) ) )
2318, 21, 22mpbir2an 921 . 2  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. Toset
24 xleadd1a 11497 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  x  <_  y )  ->  (
x +e z )  <_  ( y +e z ) )
2524ex 432 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
x  <_  y  ->  ( x +e z )  <_  ( y +e z ) ) )
268, 11, 15, 25syl3an 1272 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( x  <_ 
y  ->  ( x +e z )  <_  ( y +e z ) ) )
2726rgen3 2829 . 2  |-  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) A. z  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( x +e
z )  <_  (
y +e z ) )
28 xrge0plusg 28113 . . 3  |-  +e 
=  ( +g  `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
295, 28, 6isomnd 28129 . 2  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. oMnd  <->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd  /\  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. Toset  /\  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) A. z  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( x +e
z )  <_  (
y +e z ) ) ) )
303, 23, 27, 29mpbir3an 1179 1  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. oMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   class class class wbr 4394  (class class class)co 6277   0cc0 9521   +oocpnf 9654   RR*cxr 9656    <_ cle 9658   +ecxad 11368   [,]cicc 11584   ↾s cress 14840   RR*scxrs 15112   Posetcpo 15891  Tosetctos 15985   Mndcmnd 16241  CMndccmn 17120  oMndcomnd 28125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-xadd 11371  df-icc 11588  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-0g 15054  df-xrs 15114  df-poset 15897  df-toset 15986  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-cmn 17122  df-omnd 28127
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator