Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0omnd Structured version   Unicode version

Theorem xrge0omnd 27363
Description: The nonnegative extended real numbers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrge0omnd  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. oMnd

Proof of Theorem xrge0omnd
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0cmn 18228 . . 3  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
2 cmnmnd 16609 . . 3  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd  ->  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd
4 ovex 6307 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  _V
5 iccssxr 11603 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
65sseli 3500 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  x  e. 
RR* )
7 xrleid 11352 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_  x )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  x  <_  x )
983ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  x  <_  x
)
105sseli 3500 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  y  e. 
RR* )
11 xrletri3 11354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  =  y  <->  ( x  <_  y  /\  y  <_  x ) ) )
1211biimprd 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x  <_  y  /\  y  <_  x )  ->  x  =  y ) )
136, 10, 12syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  x )  ->  x  =  y ) )
14133adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  x )  ->  x  =  y ) )
155sseli 3500 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  z  e. 
RR* )
16 xrletr 11357 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z
) )
176, 10, 15, 16syl3an 1270 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z ) )
189, 14, 173jca 1176 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( x  <_  x  /\  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z ) ) )
1918rgen3 2890 . . . 4  |-  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) A. z  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  x  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  y  <_  x )  ->  x  =  y )  /\  (
( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z
) )
20 xrge0base 27335 . . . . 5  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
21 ovex 6307 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V
22 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
23 xrsle 18209 . . . . . . 7  |-  <_  =  ( le `  RR*s
)
2422, 23ressle 14651 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] +oo )  e.  _V  ->  <_  =  ( le `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
2521, 24ax-mp 5 . . . . 5  |-  <_  =  ( le `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2620, 25ispos 15430 . . . 4  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Poset  <->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  _V  /\ 
A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo ) A. z  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  x  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  y  <_  x )  ->  x  =  y )  /\  (
( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z
) ) ) )
274, 19, 26mpbir2an 918 . . 3  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Poset
286, 10anim12i 566 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* ) )
29 xrletri 11353 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  \/  y  <_  x ) )
3028, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( x  <_ 
y  \/  y  <_  x ) )
3130rgen2a 2891 . . 3  |-  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( x  <_  y  \/  y  <_  x )
3220, 25istos 15518 . . 3  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. Toset  <->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  y  \/  y  <_  x ) ) )
3327, 31, 32mpbir2an 918 . 2  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. Toset
34 xleadd1a 11441 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  x  <_  y )  ->  (
x +e z )  <_  ( y +e z ) )
3534ex 434 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
x  <_  y  ->  ( x +e z )  <_  ( y +e z ) ) )
366, 10, 15, 35syl3an 1270 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( x  <_ 
y  ->  ( x +e z )  <_  ( y +e z ) ) )
3736rgen3 2890 . 2  |-  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) A. z  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( x +e
z )  <_  (
y +e z ) )
38 xrge0plusg 27337 . . 3  |-  +e 
=  ( +g  `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
3920, 38, 25isomnd 27353 . 2  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. oMnd  <->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd  /\  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. Toset  /\  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) A. z  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( x +e
z )  <_  (
y +e z ) ) ) )
403, 33, 37, 39mpbir3an 1178 1  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. oMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    <_ cle 9625   +ecxad 11312   [,]cicc 11528   ↾s cress 14487   lecple 14558   RR*scxrs 14751   Posetcpo 15423  Tosetctos 15516   Mndcmnd 15722  CMndccmn 16594  oMndcomnd 27349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-xadd 11315  df-icc 11532  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-0g 14693  df-xrs 14753  df-poset 15429  df-toset 15517  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-cmn 16596  df-omnd 27351
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator