Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0omnd Structured version   Unicode version

Theorem xrge0omnd 26174
Description: The nonnegative extended real numbers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrge0omnd  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. oMnd

Proof of Theorem xrge0omnd
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0cmn 17855 . . 3  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
2 cmnmnd 16292 . . 3  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd  ->  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd
4 ovex 6116 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  _V
5 iccssxr 11378 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
65sseli 3352 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  x  e. 
RR* )
7 xrleid 11127 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_  x )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  x  <_  x )
983ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  x  <_  x
)
105sseli 3352 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  y  e. 
RR* )
11 xrletri3 11129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  =  y  <->  ( x  <_  y  /\  y  <_  x ) ) )
1211biimprd 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x  <_  y  /\  y  <_  x )  ->  x  =  y ) )
136, 10, 12syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  x )  ->  x  =  y ) )
14133adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  x )  ->  x  =  y ) )
155sseli 3352 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  z  e. 
RR* )
16 xrletr 11132 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z
) )
176, 10, 15, 16syl3an 1260 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z ) )
189, 14, 173jca 1168 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( x  <_  x  /\  ( ( x  <_  y  /\  y  <_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z ) ) )
1918rgen3 2813 . . . 4  |-  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) A. z  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  x  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  y  <_  x )  ->  x  =  y )  /\  (
( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z
) )
20 xrge0base 26146 . . . . 5  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
21 ovex 6116 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V
22 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
23 xrsle 17836 . . . . . . 7  |-  <_  =  ( le `  RR*s
)
2422, 23ressle 14338 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] +oo )  e.  _V  ->  <_  =  ( le `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
2521, 24ax-mp 5 . . . . 5  |-  <_  =  ( le `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2620, 25ispos 15117 . . . 4  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Poset  <->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  _V  /\ 
A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo ) A. z  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  x  /\  ( ( x  <_ 
y  /\  y  <_  x )  ->  x  =  y )  /\  (
( x  <_  y  /\  y  <_  z )  ->  x  <_  z
) ) ) )
274, 19, 26mpbir2an 911 . . 3  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Poset
286, 10anim12i 566 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* ) )
29 xrletri 11128 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  \/  y  <_  x ) )
3028, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( x  <_ 
y  \/  y  <_  x ) )
3130rgen2a 2782 . . 3  |-  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( x  <_  y  \/  y  <_  x )
3220, 25istos 15205 . . 3  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. Toset  <->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  y  \/  y  <_  x ) ) )
3327, 31, 32mpbir2an 911 . 2  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. Toset
34 xleadd1a 11216 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  x  <_  y )  ->  (
x +e z )  <_  ( y +e z ) )
3534ex 434 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
x  <_  y  ->  ( x +e z )  <_  ( y +e z ) ) )
366, 10, 15, 35syl3an 1260 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( x  <_ 
y  ->  ( x +e z )  <_  ( y +e z ) ) )
3736rgen3 2813 . 2  |-  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) A. z  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( x +e
z )  <_  (
y +e z ) )
38 xrge0plusg 26148 . . 3  |-  +e 
=  ( +g  `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
3920, 38, 25isomnd 26164 . 2  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. oMnd  <->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd  /\  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. Toset  /\  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) A. z  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( x +e
z )  <_  (
y +e z ) ) ) )
403, 33, 37, 39mpbir3an 1170 1  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. oMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417    <_ cle 9419   +ecxad 11087   [,]cicc 11303   ↾s cress 14175   lecple 14245   RR*scxrs 14438   Posetcpo 15110  Tosetctos 15203   Mndcmnd 15409  CMndccmn 16277  oMndcomnd 26160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-xadd 11090  df-icc 11307  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-0g 14380  df-xrs 14440  df-poset 15116  df-toset 15204  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-cmn 16279  df-omnd 26162
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator