Theorem xrge0neqmnf 11762

Description: An extended nonnegative real cannot be minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0neqmnf	|- ( A e. ( 0 [,] +oo ) -> A =/= -oo )

Proof of Theorem xrge0neqmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt0 11450	. . . . 5 |- -oo < 0
2		mnfxr 11437	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
3		0xr 9705	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
4		xrltnle 9719	. . . . . 6 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( -oo < 0 <-> -. 0 <_ -oo ) )
5	2, 3, 4	mp2an 686	. . . . 5 |- ( -oo < 0 <-> -. 0 <_ -oo )
6	1, 5	mpbi 213	. . . 4 |- -. 0 <_ -oo
7		simp2 1031	. . . . 5 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) -> 0 <_ -oo )
8	7	con3i 142	. . . 4 |- ( -. 0 <_ -oo -> -. ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) )
9		pnfxr 11435	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
10		elicc1 11705	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -oo e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) ) )
11	3, 9, 10	mp2an 686	. . . . . 6 |- ( -oo e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) )
12	11	biimpi 199	. . . . 5 |- ( -oo e. ( 0 [,] +oo ) -> ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) )
13	12	con3i 142	. . . 4 |- ( -. ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) -> -. -oo e. ( 0 [,] +oo ) )
14	6, 8, 13	mp2b 10	. . 3 |- -. -oo e. ( 0 [,] +oo )
15		nelneq 2573	. . 3 |- ( ( A e. ( 0 [,] +oo ) /\ -. -oo e. ( 0 [,] +oo ) ) -> -. A = -oo )
16	14, 15	mpan2 685	. 2 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) -> -. A = -oo )
17	16	neqned 2650	1 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   0cc0 9557   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   [,]cicc 11663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-icc 11667

This theorem is referenced by:  xrge0nre  11763  xrge0adddir  28529  xrge0npcan  28531  hasheuni  28980  esumcvgre  28986  carsgclctunlem2  29224  sge0nemnf  38376