MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0neqmnf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xrge0neqmnf 11762
Description: An extended nonnegative real cannot be minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge0neqmnf  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  A  =/= -oo )

Proof of Theorem xrge0neqmnf
StepHypRef Expression
1 mnflt0 11450 . . . . 5  |- -oo  <  0
2 mnfxr 11437 . . . . . 6  |- -oo  e.  RR*
3 0xr 9705 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
4 xrltnle 9719 . . . . . 6  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( -oo  <  0  <->  -.  0  <_ -oo ) )
52, 3, 4mp2an 686 . . . . 5  |-  ( -oo  <  0  <->  -.  0  <_ -oo )
61, 5mpbi 213 . . . 4  |-  -.  0  <_ -oo
7 simp2 1031 . . . . 5  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  <_ -oo  /\ -oo  <_ +oo )  ->  0  <_ -oo )
87con3i 142 . . . 4  |-  ( -.  0  <_ -oo  ->  -.  ( -oo  e.  RR*  /\  0  <_ -oo  /\ -oo  <_ +oo ) )
9 pnfxr 11435 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
10 elicc1 11705 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( -oo  e.  RR* 
/\  0  <_ -oo  /\ -oo 
<_ +oo ) ) )
113, 9, 10mp2an 686 . . . . . 6  |-  ( -oo  e.  ( 0 [,] +oo ) 
<->  ( -oo  e.  RR*  /\  0  <_ -oo  /\ -oo  <_ +oo ) )
1211biimpi 199 . . . . 5  |-  ( -oo  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( -oo  e.  RR* 
/\  0  <_ -oo  /\ -oo 
<_ +oo ) )
1312con3i 142 . . . 4  |-  ( -.  ( -oo  e.  RR*  /\  0  <_ -oo  /\ -oo  <_ +oo )  ->  -. -oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
146, 8, 13mp2b 10 . . 3  |-  -. -oo  e.  ( 0 [,] +oo )
15 nelneq 2573 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -. -oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  -.  A  = -oo )
1614, 15mpan2 685 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  -.  A  = -oo )
1716neqned 2650 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  A  =/= -oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   0cc0 9557   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   [,]cicc 11663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-icc 11667
This theorem is referenced by:  xrge0nre  11763  xrge0adddir  28529  xrge0npcan  28531  hasheuni  28980  esumcvgre  28986  carsgclctunlem2  29224  sge0nemnf  38376
  Copyright terms: Public domain W3C validator