Theorem xrge0neqmnf 28011

Description: An extended nonnegative real cannot be minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0neqmnf	|- ( A e. ( 0 [,] +oo ) -> A =/= -oo )

Proof of Theorem xrge0neqmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt0 11305	. . . . 5 |- -oo < 0
2		mnfxr 11294	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
3		0xr 9590	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
4		xrltnle 9603	. . . . . 6 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( -oo < 0 <-> -. 0 <_ -oo ) )
5	2, 3, 4	mp2an 670	. . . . 5 |- ( -oo < 0 <-> -. 0 <_ -oo )
6	1, 5	mpbi 208	. . . 4 |- -. 0 <_ -oo
7		simp2 998	. . . . 5 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) -> 0 <_ -oo )
8	7	con3i 135	. . . 4 |- ( -. 0 <_ -oo -> -. ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) )
9		pnfxr 11292	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
10		elicc1 11544	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -oo e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) ) )
11	3, 9, 10	mp2an 670	. . . . . 6 |- ( -oo e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) )
12	11	biimpi 194	. . . . 5 |- ( -oo e. ( 0 [,] +oo ) -> ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) )
13	12	con3i 135	. . . 4 |- ( -. ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) -> -. -oo e. ( 0 [,] +oo ) )
14	6, 8, 13	mp2b 10	. . 3 |- -. -oo e. ( 0 [,] +oo )
15		nelneq 2519	. . 3 |- ( ( A e. ( 0 [,] +oo ) /\ -. -oo e. ( 0 [,] +oo ) ) -> -. A = -oo )
16	14, 15	mpan2 669	. 2 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) -> -. A = -oo )
17	16	neqned 2606	1 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   class class class wbr 4394  (class class class)co 6234   0cc0 9442   +oocpnf 9575   -oocmnf 9576   RR*cxr 9577   < clt 9578   <_ cle 9579   [,]cicc 11503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-icc 11507

This theorem is referenced by:  xrge0nre  28012  xrge0adddir  28014  xrge0npcan  28016  hasheuni  28412  esumcvgre  28418  carsgclctunlem2  28647