Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0neqmnf Structured version   Unicode version

Theorem xrge0neqmnf 27341
Description: An extended nonnegative real cannot be minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge0neqmnf  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  A  =/= -oo )

Proof of Theorem xrge0neqmnf
StepHypRef Expression
1 mnflt0 11330 . . . . 5  |- -oo  <  0
2 mnfxr 11319 . . . . . 6  |- -oo  e.  RR*
3 0xr 9636 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
4 xrltnle 9649 . . . . . 6  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( -oo  <  0  <->  -.  0  <_ -oo ) )
52, 3, 4mp2an 672 . . . . 5  |-  ( -oo  <  0  <->  -.  0  <_ -oo )
61, 5mpbi 208 . . . 4  |-  -.  0  <_ -oo
7 simp2 997 . . . . 5  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  <_ -oo  /\ -oo  <_ +oo )  ->  0  <_ -oo )
87con3i 135 . . . 4  |-  ( -.  0  <_ -oo  ->  -.  ( -oo  e.  RR*  /\  0  <_ -oo  /\ -oo  <_ +oo ) )
9 pnfxr 11317 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
10 elicc1 11569 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( -oo  e.  RR* 
/\  0  <_ -oo  /\ -oo 
<_ +oo ) ) )
113, 9, 10mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( -oo  e.  ( 0 [,] +oo ) 
<->  ( -oo  e.  RR*  /\  0  <_ -oo  /\ -oo  <_ +oo ) )
1211biimpi 194 . . . . 5  |-  ( -oo  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( -oo  e.  RR* 
/\  0  <_ -oo  /\ -oo 
<_ +oo ) )
1312con3i 135 . . . 4  |-  ( -.  ( -oo  e.  RR*  /\  0  <_ -oo  /\ -oo  <_ +oo )  ->  -. -oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
146, 8, 13mp2b 10 . . 3  |-  -. -oo  e.  ( 0 [,] +oo )
15 nelneq 2584 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -. -oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  -.  A  = -oo )
1614, 15mpan2 671 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  -.  A  = -oo )
1716neqned 2670 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  A  =/= -oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   0cc0 9488   +oocpnf 9621   -oocmnf 9622   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625   [,]cicc 11528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-icc 11532
This theorem is referenced by:  xrge0nre  27342  xrge0adddir  27344  xrge0npcan  27346  hasheuni  27731
  Copyright terms: Public domain W3C validator