Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0neqmnf Structured version   Unicode version

Theorem xrge0neqmnf 28011
Description: An extended nonnegative real cannot be minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge0neqmnf  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  A  =/= -oo )

Proof of Theorem xrge0neqmnf
StepHypRef Expression
1 mnflt0 11305 . . . . 5  |- -oo  <  0
2 mnfxr 11294 . . . . . 6  |- -oo  e.  RR*
3 0xr 9590 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
4 xrltnle 9603 . . . . . 6  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( -oo  <  0  <->  -.  0  <_ -oo ) )
52, 3, 4mp2an 670 . . . . 5  |-  ( -oo  <  0  <->  -.  0  <_ -oo )
61, 5mpbi 208 . . . 4  |-  -.  0  <_ -oo
7 simp2 998 . . . . 5  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  <_ -oo  /\ -oo  <_ +oo )  ->  0  <_ -oo )
87con3i 135 . . . 4  |-  ( -.  0  <_ -oo  ->  -.  ( -oo  e.  RR*  /\  0  <_ -oo  /\ -oo  <_ +oo ) )
9 pnfxr 11292 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
10 elicc1 11544 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( -oo  e.  RR* 
/\  0  <_ -oo  /\ -oo 
<_ +oo ) ) )
113, 9, 10mp2an 670 . . . . . 6  |-  ( -oo  e.  ( 0 [,] +oo ) 
<->  ( -oo  e.  RR*  /\  0  <_ -oo  /\ -oo  <_ +oo ) )
1211biimpi 194 . . . . 5  |-  ( -oo  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( -oo  e.  RR* 
/\  0  <_ -oo  /\ -oo 
<_ +oo ) )
1312con3i 135 . . . 4  |-  ( -.  ( -oo  e.  RR*  /\  0  <_ -oo  /\ -oo  <_ +oo )  ->  -. -oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
146, 8, 13mp2b 10 . . 3  |-  -. -oo  e.  ( 0 [,] +oo )
15 nelneq 2519 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -. -oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  -.  A  = -oo )
1614, 15mpan2 669 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  -.  A  = -oo )
1716neqned 2606 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  A  =/= -oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4394  (class class class)co 6234   0cc0 9442   +oocpnf 9575   -oocmnf 9576   RR*cxr 9577    < clt 9578    <_ cle 9579   [,]cicc 11503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-icc 11507
This theorem is referenced by:  xrge0nre  28012  xrge0adddir  28014  xrge0npcan  28016  hasheuni  28412  esumcvgre  28418  carsgclctunlem2  28647
  Copyright terms: Public domain W3C validator