Theorem xrge0neqmnf 27341

Description: An extended nonnegative real cannot be minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0neqmnf	|- ( A e. ( 0 [,] +oo ) -> A =/= -oo )

Proof of Theorem xrge0neqmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt0 11330	. . . . 5 |- -oo < 0
2		mnfxr 11319	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
3		0xr 9636	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
4		xrltnle 9649	. . . . . 6 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( -oo < 0 <-> -. 0 <_ -oo ) )
5	2, 3, 4	mp2an 672	. . . . 5 |- ( -oo < 0 <-> -. 0 <_ -oo )
6	1, 5	mpbi 208	. . . 4 |- -. 0 <_ -oo
7		simp2 997	. . . . 5 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) -> 0 <_ -oo )
8	7	con3i 135	. . . 4 |- ( -. 0 <_ -oo -> -. ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) )
9		pnfxr 11317	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
10		elicc1 11569	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -oo e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) ) )
11	3, 9, 10	mp2an 672	. . . . . 6 |- ( -oo e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) )
12	11	biimpi 194	. . . . 5 |- ( -oo e. ( 0 [,] +oo ) -> ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) )
13	12	con3i 135	. . . 4 |- ( -. ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) -> -. -oo e. ( 0 [,] +oo ) )
14	6, 8, 13	mp2b 10	. . 3 |- -. -oo e. ( 0 [,] +oo )
15		nelneq 2584	. . 3 |- ( ( A e. ( 0 [,] +oo ) /\ -. -oo e. ( 0 [,] +oo ) ) -> -. A = -oo )
16	14, 15	mpan2 671	. 2 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) -> -. A = -oo )
17	16	neqned 2670	1 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   0cc0 9488   +oocpnf 9621   -oocmnf 9622   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   [,]cicc 11528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-icc 11532

This theorem is referenced by:  xrge0nre  27342  xrge0adddir  27344  xrge0npcan  27346  hasheuni  27731