Theorem xrge0neqmnf 26290

Description: An extended nonnegative real cannot be minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0neqmnf	|- ( A e. ( 0 [,] +oo ) -> A =/= -oo )

Proof of Theorem xrge0neqmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt0 11209	. . . . 5 |- -oo < 0
2		mnfxr 11198	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
3		0xr 9534	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
4		xrltnle 9547	. . . . . 6 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( -oo < 0 <-> -. 0 <_ -oo ) )
5	2, 3, 4	mp2an 672	. . . . 5 |- ( -oo < 0 <-> -. 0 <_ -oo )
6	1, 5	mpbi 208	. . . 4 |- -. 0 <_ -oo
7		simp2 989	. . . . 5 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) -> 0 <_ -oo )
8	7	con3i 135	. . . 4 |- ( -. 0 <_ -oo -> -. ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) )
9		pnfxr 11196	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
10		elicc1 11448	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -oo e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) ) )
11	3, 9, 10	mp2an 672	. . . . . 6 |- ( -oo e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) )
12	11	biimpi 194	. . . . 5 |- ( -oo e. ( 0 [,] +oo ) -> ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) )
13	12	con3i 135	. . . 4 |- ( -. ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) -> -. -oo e. ( 0 [,] +oo ) )
14	6, 8, 13	mp2b 10	. . 3 |- -. -oo e. ( 0 [,] +oo )
15		nelneq 2568	. . 3 |- ( ( A e. ( 0 [,] +oo ) /\ -. -oo e. ( 0 [,] +oo ) ) -> -. A = -oo )
16	14, 15	mpan2 671	. 2 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) -> -. A = -oo )
17	16	neneqad 2652	1 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   class class class wbr 4393  (class class class)co 6193   0cc0 9386   +oocpnf 9519   -oocmnf 9520   RR*cxr 9521   < clt 9522   <_ cle 9523   [,]cicc 11407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-icc 11411

This theorem is referenced by:  xrge0nre  26291  xrge0adddir  26293  xrge0npcan  26295  hasheuni  26672