MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0neqmnf Structured version   Unicode version

Theorem xrge0neqmnf 11744
Description: An extended nonnegative real cannot be minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge0neqmnf  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  A  =/= -oo )

Proof of Theorem xrge0neqmnf
StepHypRef Expression
1 mnflt0 11434 . . . . 5  |- -oo  <  0
2 mnfxr 11421 . . . . . 6  |- -oo  e.  RR*
3 0xr 9694 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
4 xrltnle 9708 . . . . . 6  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( -oo  <  0  <->  -.  0  <_ -oo ) )
52, 3, 4mp2an 676 . . . . 5  |-  ( -oo  <  0  <->  -.  0  <_ -oo )
61, 5mpbi 211 . . . 4  |-  -.  0  <_ -oo
7 simp2 1006 . . . . 5  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  <_ -oo  /\ -oo  <_ +oo )  ->  0  <_ -oo )
87con3i 140 . . . 4  |-  ( -.  0  <_ -oo  ->  -.  ( -oo  e.  RR*  /\  0  <_ -oo  /\ -oo  <_ +oo ) )
9 pnfxr 11419 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
10 elicc1 11687 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( -oo  e.  RR* 
/\  0  <_ -oo  /\ -oo 
<_ +oo ) ) )
113, 9, 10mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( -oo  e.  ( 0 [,] +oo ) 
<->  ( -oo  e.  RR*  /\  0  <_ -oo  /\ -oo  <_ +oo ) )
1211biimpi 197 . . . . 5  |-  ( -oo  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( -oo  e.  RR* 
/\  0  <_ -oo  /\ -oo 
<_ +oo ) )
1312con3i 140 . . . 4  |-  ( -.  ( -oo  e.  RR*  /\  0  <_ -oo  /\ -oo  <_ +oo )  ->  -. -oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
146, 8, 13mp2b 10 . . 3  |-  -. -oo  e.  ( 0 [,] +oo )
15 nelneq 2534 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -. -oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  -.  A  = -oo )
1614, 15mpan2 675 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  -.  A  = -oo )
1716neqned 2623 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  A  =/= -oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305   0cc0 9546   +oocpnf 9679   -oocmnf 9680   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683   [,]cicc 11645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-icc 11649
This theorem is referenced by:  xrge0nre  28460  xrge0adddir  28462  xrge0npcan  28464  hasheuni  28914  esumcvgre  28920  carsgclctunlem2  29159  sge0nemnf  38170
  Copyright terms: Public domain W3C validator