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Theorem xrge0infssOLD 28389
Description: Any subset of nonnegative extended reals has an infimum. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2019.) Obsolete version of xrge0infss 28388 as of 4-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
xrge0infssOLD  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  E. x  e.  ( 0 [,] +oo ) ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrge0infssOLD
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel2 3438 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2 0xr 9712 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
3 pnfxr 11440 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  RR*
4 iccgelb 11719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  y )
52, 3, 4mp3an12 1363 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
y )
6 iccssxr 11745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
76sseli 3439 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  y  e. 
RR* )
8 xrlenlt 9724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
0  <_  y  <->  -.  y  <  0 ) )
92, 8mpan 681 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( 0  <_  y  <->  -.  y  <  0 ) )
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( 0  <_  y  <->  -.  y  <  0 ) )
115, 10mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  -.  y  <  0 )
12 c0ex 9662 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
13 vex 3059 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1412, 13brcnv 5035 . . . . . . . 8  |-  ( 0 `'  <  y  <->  y  <  0 )
1511, 14sylnibr 311 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  -.  0 `'  <  y )
161, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  A )  ->  -.  0 `'  <  y )
1716ralrimiva 2813 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y )
1817ad3antrrr 741 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  w  <_  0 )  ->  A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y
)
19 ssralv 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 [,] +oo )  C_ 
RR*  ->  ( A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
206, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  RR*  ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
2113, 12brcnv 5035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `'  <  0  <->  0  <  y )
22 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  w  e.  RR* )
232a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  0  e.  RR* )
24 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )
256, 24sseldi 3441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  y  e.  RR* )
26 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  w  <_  0 )
27 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  0  <  y )
2822, 23, 25, 26, 27xrlelttrd 11485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  w  <  y )
2928ex 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( 0  <  y  ->  w  <  y ) )
3021, 29syl5bi 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( y `'  <  0  ->  w  <  y ) )
31 vex 3059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
3213, 31brcnv 5035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
3332biimpri 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  <  y  ->  y `'  <  z )
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( z  <  y  ->  y `'  <  z ) )
3534reximdv 2872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( E. z  e.  A  z  <  y  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
3630, 35imim12d 77 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( (
w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  -> 
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3736ralimdva 2807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  ->  ( A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3820, 37syl5 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  ->  ( A. y  e.  RR*  (
w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3938adantll 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  w  <_  0 )  ->  ( A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
4039imp 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  w  <_  0
)  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
4140adantrl 727 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  w  <_  0
)  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
4241an32s 818 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  w  <_  0 )  ->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
43 0e0iccpnf 11771 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
44 breq1 4418 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
x `'  <  y  <->  0 `'  <  y ) )
4544notbid 300 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  0 `'  <  y
) )
4645ralbidv 2838 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y ) )
47 breq2 4419 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
y `'  <  x  <->  y `'  <  0 ) )
4847imbi1d 323 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <-> 
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
4948ralbidv 2838 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
5046, 49anbi12d 722 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
5150rspcev 3161 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  ( 0 [,] +oo ) ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
5243, 51mpan 681 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  ->  E. x  e.  ( 0 [,] +oo ) ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
5318, 42, 52syl2anc 671 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  w  <_  0 )  ->  E. x  e.  (
0 [,] +oo )
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
54 simpllr 774 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  RR* )
55 simpr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <_  w )
56 elxrge0 11769 . . . . . 6  |-  ( w  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( w  e. 
RR*  /\  0  <_  w ) )
5756biimpri 211 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5854, 55, 57syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  ( 0 [,] +oo ) )
59 vex 3059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
6059, 13brcnv 5035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w `'  <  y  <->  y  <  w )
6160bicomi 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  <  w  <->  w `'  <  y )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( y  <  w  <->  w `'  <  y ) )
6362notbid 300 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( -.  y  <  w  <->  -.  w `'  <  y ) )
6463ralbidv 2838 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  <->  A. y  e.  A  -.  w `'  <  y ) )
6564biimpd 212 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  ->  A. y  e.  A  -.  w `'  <  y ) )
6613, 59brcnv 5035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `'  <  w  <->  w  <  y )
6766biimpi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `'  <  w  ->  w  <  y )
6833reximi 2866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  A  z  <  y  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )
6967, 68imim12i 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  -> 
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
7069ralimi 2792 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
7120, 70syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  RR*  ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
7271a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( A. y  e.  RR*  ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
7365, 72anim12d 570 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  (
w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
7473adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  -> 
( ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
7574imp 435 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  < 
w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  -> 
( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
7675adantr 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  0  <_  w )  -> 
( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
77 breq1 4418 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
x `'  <  y  <->  w `'  <  y ) )
7877notbid 300 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  w `'  <  y
) )
7978ralbidv 2838 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  w `'  <  y ) )
80 breq2 4419 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
y `'  <  x  <->  y `'  <  w ) )
8180imbi1d 323 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  (
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <-> 
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
8281ralbidv 2838 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
8379, 82anbi12d 722 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
8483rspcev 3161 . . . 4  |-  ( ( w  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  ( 0 [,] +oo ) ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
8558, 76, 84syl2anc 671 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  0  <_  w )  ->  E. x  e.  (
0 [,] +oo )
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
86 simplr 767 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  < 
w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  w  e.  RR* )
872a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  < 
w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  -> 
0  e.  RR* )
88 xrletri 11478 . . . 4  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
w  <_  0  \/  0  <_  w ) )
8986, 87, 88syl2anc 671 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  < 
w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  -> 
( w  <_  0  \/  0  <_  w ) )
9053, 85, 89mpjaodan 800 . 2  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  < 
w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  E. x  e.  (
0 [,] +oo )
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
91 sstr 3451 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  ->  A  C_ 
RR* )
926, 91mpan2 682 . . 3  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  A  C_  RR* )
93 xrinfmss 11623 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. w  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
9492, 93syl 17 . 2  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  E. w  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
9590, 94r19.29a 2943 1  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  E. x  e.  ( 0 [,] +oo ) ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   E.wrex 2749    C_ wss 3415   class class class wbr 4415   `'ccnv 4851  (class class class)co 6314   0cc0 9564   +oocpnf 9697   RR*cxr 9699    < clt 9700    <_ cle 9701   [,]cicc 11666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-icc 11670
This theorem is referenced by:  xrge0infssdOLD  28391  infxrge0lbOLD  28395  infxrge0glbOLD  28397  infxrge0gelbOLD  28399  omsfOLD  29172  omssubaddlemOLD  29179  omssubaddOLD  29180
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