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Theorem xrge0infss 27276
Description: Any subset of nonnegative extended reals has an infimum. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
xrge0infss  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  E. x  e.  ( 0 [,] +oo ) ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrge0infss
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel2 3499 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2 0xr 9640 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
3 pnfxr 11321 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  RR*
4 iccgelb 11581 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  y )
52, 3, 4mp3an12 1314 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
y )
6 iccssxr 11607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
76sseli 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  y  e. 
RR* )
8 xrlenlt 9652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
0  <_  y  <->  -.  y  <  0 ) )
92, 8mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( 0  <_  y  <->  -.  y  <  0 ) )
107, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( 0  <_  y  <->  -.  y  <  0 ) )
115, 10mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  -.  y  <  0 )
122elexi 3123 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
13 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
1412, 13brcnv 5185 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 `'  <  y  <->  y  <  0 )
1514notbii 296 . . . . . . . 8  |-  ( -.  0 `'  <  y  <->  -.  y  <  0 )
1611, 15sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  -.  0 `'  <  y )
171, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  A )  ->  -.  0 `'  <  y )
1817ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y )
1918ad3antrrr 729 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  w  <_  0 )  ->  A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y
)
20 ssralv 3564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 [,] +oo )  C_ 
RR*  ->  ( A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
216, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  RR*  ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
2213, 12brcnv 5185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `'  <  0  <->  0  <  y )
23 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  w  e.  RR* )
242a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  0  e.  RR* )
25 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )
266, 25sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  y  e.  RR* )
27 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  w  <_  0 )
28 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  0  <  y )
2923, 24, 26, 27, 28xrlelttrd 11363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  w  <  y )
3029ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( 0  <  y  ->  w  <  y ) )
3122, 30syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( y `'  <  0  ->  w  <  y ) )
32 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
3313, 32brcnv 5185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
3433biimpri 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  <  y  ->  y `'  <  z )
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( z  <  y  ->  y `'  <  z ) )
3635reximdv 2937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( E. z  e.  A  z  <  y  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
3731, 36imim12d 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( (
w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  -> 
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3837ralimdva 2872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  ->  ( A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3921, 38syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  ->  ( A. y  e.  RR*  (
w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
4039adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  w  <_  0 )  ->  ( A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
4140imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  w  <_  0
)  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
4241adantrl 715 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  w  <_  0
)  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
4342an32s 802 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  w  <_  0 )  ->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
44 pnfge 11339 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_ +oo )
452, 44ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  <_ +oo
46 lbicc2 11636 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
472, 3, 45, 46mp3an 1324 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
48 breq1 4450 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
x `'  <  y  <->  0 `'  <  y ) )
4948notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  0 `'  <  y
) )
5049ralbidv 2903 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y ) )
51 breq2 4451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
y `'  <  x  <->  y `'  <  0 ) )
5251imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <-> 
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
5352ralbidv 2903 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
5450, 53anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
5554rspcev 3214 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  ( 0 [,] +oo ) ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
5647, 55mpan 670 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  ->  E. x  e.  ( 0 [,] +oo ) ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
5719, 43, 56syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  w  <_  0 )  ->  E. x  e.  (
0 [,] +oo )
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
58 simpllr 758 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  RR* )
59 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <_  w )
60 elxrge0 11629 . . . . . 6  |-  ( w  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( w  e. 
RR*  /\  0  <_  w ) )
6160biimpri 206 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6258, 59, 61syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  ( 0 [,] +oo ) )
63 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
6463, 13brcnv 5185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w `'  <  y  <->  y  <  w )
6564bicomi 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  <  w  <->  w `'  <  y )
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( y  <  w  <->  w `'  <  y ) )
6766notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( -.  y  <  w  <->  -.  w `'  <  y ) )
6867ralbidv 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  <->  A. y  e.  A  -.  w `'  <  y ) )
6968biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  ->  A. y  e.  A  -.  w `'  <  y ) )
7013, 63brcnv 5185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `'  <  w  <->  w  <  y )
7170biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `'  <  w  ->  w  <  y )
7234reximi 2932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  A  z  <  y  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )
7371, 72imim12i 57 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  -> 
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
7473ralimi 2857 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
7521, 74syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  RR*  ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
7675a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( A. y  e.  RR*  ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
7769, 76anim12d 563 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  (
w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
7877adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  -> 
( ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
7978imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  < 
w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  -> 
( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
8079adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  0  <_  w )  -> 
( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
81 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
x `'  <  y  <->  w `'  <  y ) )
8281notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  w `'  <  y
) )
8382ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  w `'  <  y ) )
84 breq2 4451 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
y `'  <  x  <->  y `'  <  w ) )
8584imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  (
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <-> 
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
8685ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
8783, 86anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
8887rspcev 3214 . . . 4  |-  ( ( w  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  ( 0 [,] +oo ) ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
8962, 80, 88syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  0  <_  w )  ->  E. x  e.  (
0 [,] +oo )
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
90 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  < 
w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  w  e.  RR* )
912a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  < 
w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  -> 
0  e.  RR* )
92 xrletri 11357 . . . 4  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
w  <_  0  \/  0  <_  w ) )
9390, 91, 92syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  < 
w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  -> 
( w  <_  0  \/  0  <_  w ) )
9457, 89, 93mpjaodan 784 . 2  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  < 
w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  E. x  e.  (
0 [,] +oo )
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
95 sstr 3512 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  ->  A  C_ 
RR* )
966, 95mpan2 671 . . 3  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  A  C_  RR* )
97 xrinfmss 11501 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. w  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
9896, 97syl 16 . 2  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  E. w  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
9994, 98r19.29a 3003 1  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  E. x  e.  ( 0 [,] +oo ) ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998  (class class class)co 6284   0cc0 9492   +oocpnf 9625   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   [,]cicc 11532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-icc 11536
This theorem is referenced by:  xrge0infssd  27277
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