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Theorem xrge0infss 28181
Description: Any subset of nonnegative extended reals has an infimum. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
xrge0infss  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  E. x  e.  ( 0 [,] +oo ) ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrge0infss
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel2 3465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2 0xr 9686 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
3 pnfxr 11412 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  RR*
4 iccgelb 11691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  y )
52, 3, 4mp3an12 1350 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
y )
6 iccssxr 11717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
76sseli 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  y  e. 
RR* )
8 xrlenlt 9698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
0  <_  y  <->  -.  y  <  0 ) )
92, 8mpan 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( 0  <_  y  <->  -.  y  <  0 ) )
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( 0  <_  y  <->  -.  y  <  0 ) )
115, 10mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  -.  y  <  0 )
12 c0ex 9636 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
13 vex 3090 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1412, 13brcnv 5037 . . . . . . . 8  |-  ( 0 `'  <  y  <->  y  <  0 )
1511, 14sylnibr 306 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  -.  0 `'  <  y )
161, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  A )  ->  -.  0 `'  <  y )
1716ralrimiva 2846 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y )
1817ad3antrrr 734 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  w  <_  0 )  ->  A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y
)
19 ssralv 3531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 [,] +oo )  C_ 
RR*  ->  ( A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
206, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  RR*  ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
2113, 12brcnv 5037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `'  <  0  <->  0  <  y )
22 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  w  e.  RR* )
232a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  0  e.  RR* )
24 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )
256, 24sseldi 3468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  y  e.  RR* )
26 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  w  <_  0 )
27 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  0  <  y )
2822, 23, 25, 26, 27xrlelttrd 11457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( w  e. 
RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  0  <  y )  ->  w  <  y )
2928ex 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( 0  <  y  ->  w  <  y ) )
3021, 29syl5bi 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( y `'  <  0  ->  w  <  y ) )
31 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
3213, 31brcnv 5037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
3332biimpri 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  <  y  ->  y `'  <  z )
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( z  <  y  ->  y `'  <  z ) )
3534reximdv 2906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( E. z  e.  A  z  <  y  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
3630, 35imim12d 77 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
)  ->  ( (
w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  -> 
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3736ralimdva 2840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  ->  ( A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3820, 37syl5 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  w  <_  0 )  ->  ( A. y  e.  RR*  (
w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
3938adantll 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  w  <_  0 )  ->  ( A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
4039imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  w  <_  0
)  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
4140adantrl 720 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  w  <_  0
)  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
4241an32s 811 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  w  <_  0 )  ->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
43 0e0iccpnf 11741 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
44 breq1 4429 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
x `'  <  y  <->  0 `'  <  y ) )
4544notbid 295 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  0 `'  <  y
) )
4645ralbidv 2871 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y ) )
47 breq2 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
y `'  <  x  <->  y `'  <  0 ) )
4847imbi1d 318 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <-> 
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
4948ralbidv 2871 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
5046, 49anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
5150rspcev 3188 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  ( 0 [,] +oo ) ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
5243, 51mpan 674 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  0 `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( y `'  <  0  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  ->  E. x  e.  ( 0 [,] +oo ) ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
5318, 42, 52syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  w  <_  0 )  ->  E. x  e.  (
0 [,] +oo )
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
54 simpllr 767 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  RR* )
55 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <_  w )
56 elxrge0 11739 . . . . . 6  |-  ( w  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( w  e. 
RR*  /\  0  <_  w ) )
5756biimpri 209 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5854, 55, 57syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  ( 0 [,] +oo ) )
59 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
6059, 13brcnv 5037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w `'  <  y  <->  y  <  w )
6160bicomi 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  <  w  <->  w `'  <  y )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( y  <  w  <->  w `'  <  y ) )
6362notbid 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( -.  y  <  w  <->  -.  w `'  <  y ) )
6463ralbidv 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  <->  A. y  e.  A  -.  w `'  <  y ) )
6564biimpd 210 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  ->  A. y  e.  A  -.  w `'  <  y ) )
6613, 59brcnv 5037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `'  <  w  <->  w  <  y )
6766biimpi 197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `'  <  w  ->  w  <  y )
6833reximi 2900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  A  z  <  y  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )
6967, 68imim12i 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  -> 
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
7069ralimi 2825 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
7120, 70syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  RR*  ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )
7271a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( A. y  e.  RR*  ( w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
7365, 72anim12d 565 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  (
w  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
7473adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  -> 
( ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
7574imp 430 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  < 
w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  -> 
( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
7675adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  0  <_  w )  -> 
( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
77 breq1 4429 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
x `'  <  y  <->  w `'  <  y ) )
7877notbid 295 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  w `'  <  y
) )
7978ralbidv 2871 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  w `'  <  y ) )
80 breq2 4430 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
y `'  <  x  <->  y `'  <  w ) )
8180imbi1d 318 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  (
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <-> 
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
8281ralbidv 2871 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
8379, 82anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) ) )
8483rspcev 3188 . . . 4  |-  ( ( w  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( A. y  e.  A  -.  w `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( y `'  <  w  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  ( 0 [,] +oo ) ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
8558, 76, 84syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  /\  0  <_  w )  ->  E. x  e.  (
0 [,] +oo )
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
86 simplr 760 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  < 
w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  w  e.  RR* )
872a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  < 
w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  -> 
0  e.  RR* )
88 xrletri 11450 . . . 4  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
w  <_  0  \/  0  <_  w ) )
8986, 87, 88syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  < 
w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  -> 
( w  <_  0  \/  0  <_  w ) )
9053, 85, 89mpjaodan 793 . 2  |-  ( ( ( A  C_  (
0 [,] +oo )  /\  w  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  < 
w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  E. x  e.  (
0 [,] +oo )
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
91 sstr 3478 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ( 0 [,] +oo )  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  ->  A  C_ 
RR* )
926, 91mpan2 675 . . 3  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  A  C_  RR* )
93 xrinfmss 11595 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. w  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
9492, 93syl 17 . 2  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  E. w  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  w  /\  A. y  e.  RR*  ( w  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
9590, 94r19.29a 2977 1  |-  ( A 
C_  ( 0 [,] +oo )  ->  E. x  e.  ( 0 [,] +oo ) ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  ( 0 [,] +oo ) ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   class class class wbr 4426   `'ccnv 4853  (class class class)co 6305   0cc0 9538   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675   [,]cicc 11638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-icc 11642
This theorem is referenced by:  xrge0infssd  28182  infxrge0lb  28185  infxrge0glb  28186  infxrge0gelb  28187  omsf  28957  omssubaddlem  28960  omssubadd  28961
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