Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifmhm Structured version   Unicode version

Theorem xrge0iifmhm 27554
Description: The defined function from the closed unit interval and the extended nonnegative reals is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x
) ) )
xrge0iifhmeo.k  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
Assertion
Ref Expression
xrge0iifmhm  |-  F  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  (
0 [,] 1 ) ) MndHom  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) )
Distinct variable group:    x, F
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem xrge0iifmhm
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) )
21iistmd 27517 . . . 4  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) )  e. TopMnd
3 tmdmnd 20306 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) )  e. TopMnd  ->  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) )  e. 
Mnd )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) )  e.  Mnd
5 xrge0cmn 18225 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
6 cmnmnd 16606 . . . 4  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd  ->  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )
75, 6ax-mp 5 . . 3  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd
84, 7pm3.2i 455 . 2  |-  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) )  e. 
Mnd  /\  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )
9 xrge0iifhmeo.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x
) ) )
109xrge0iifcnv 27548 . . . . 5  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( y  = +oo ,  0 ,  ( exp `  -u y
) ) ) )
1110simpli 458 . . . 4  |-  F :
( 0 [,] 1
)
-1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )
12 f1of 5814 . . . 4  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] +oo ) )
1311, 12ax-mp 5 . . 3  |-  F :
( 0 [,] 1
) --> ( 0 [,] +oo )
14 xrge0iifhmeo.k . . . . 5  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
159, 14xrge0iifhom 27552 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  ( y  x.  z
) )  =  ( ( F `  y
) +e ( F `  z ) ) )
1615rgen2a 2891 . . 3  |-  A. y  e.  ( 0 [,] 1
) A. z  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  ( y  x.  z
) )  =  ( ( F `  y
) +e ( F `  z ) )
179, 14xrge0iif1 27553 . . 3  |-  ( F `
 1 )  =  0
1813, 16, 173pm3.2i 1174 . 2  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] +oo )  /\  A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) A. z  e.  ( 0 [,] 1 ) ( F `  ( y  x.  z ) )  =  ( ( F `
 y ) +e ( F `  z ) )  /\  ( F `  1 )  =  0 )
19 unitsscn 27511 . . . 4  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
20 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
21 cnfldbas 18192 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2220, 21mgpbas 16934 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base `  (mulGrp ` fld ) )
231, 22ressbas2 14539 . . . 4  |-  ( ( 0 [,] 1 ) 
C_  CC  ->  ( 0 [,] 1 )  =  ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
2419, 23ax-mp 5 . . 3  |-  ( 0 [,] 1 )  =  ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) ) )
25 xrge0base 27332 . . 3  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
26 cnfldex 18191 . . . . 5  |-fld  e.  _V
27 ovex 6307 . . . . 5  |-  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V
28 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (flds  ( 0 [,] 1 ) )  =  (flds  ( 0 [,] 1 ) )
2928, 20mgpress 16939 . . . . 5  |-  ( (fld  e. 
_V  /\  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V )  ->  (
(mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) )  =  (mulGrp `  (flds  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
3026, 27, 29mp2an 672 . . . 4  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) )  =  (mulGrp `  (flds  ( 0 [,] 1 ) ) )
31 cnfldmul 18194 . . . . . 6  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3228, 31ressmulr 14601 . . . . 5  |-  ( ( 0 [,] 1 )  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  (flds  (
0 [,] 1 ) ) ) )
3327, 32ax-mp 5 . . . 4  |-  x.  =  ( .r `  (flds  ( 0 [,] 1 ) ) )
3430, 33mgpplusg 16932 . . 3  |-  x.  =  ( +g  `  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) ) )
35 xrge0plusg 27334 . . 3  |-  +e 
=  ( +g  `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
36 cnrng 18208 . . . 4  |-fld  e.  Ring
37 1elunit 11635 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
38 cnfld1 18211 . . . . 5  |-  1  =  ( 1r ` fld )
391, 21, 38rngidss 17009 . . . 4  |-  ( (fld  e. 
Ring  /\  ( 0 [,] 1 )  C_  CC  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  1  =  ( 0g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) ) ) )
4036, 19, 37, 39mp3an 1324 . . 3  |-  1  =  ( 0g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) ) )
41 xrge00 27333 . . 3  |-  0  =  ( 0g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
4224, 25, 34, 35, 40, 41ismhm 15776 . 2  |-  ( F  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) ) MndHom  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  <->  ( (
( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) )  e. 
Mnd  /\  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )  /\  ( F :
( 0 [,] 1
) --> ( 0 [,] +oo )  /\  A. y  e.  ( 0 [,] 1
) A. z  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  ( y  x.  z
) )  =  ( ( F `  y
) +e ( F `  z ) )  /\  ( F `
 1 )  =  0 ) ) )
438, 18, 42mpbir2an 918 1  |-  F  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  (
0 [,] 1 ) ) MndHom  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ifcif 3939    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489    x. cmul 9493   +oocpnf 9621    <_ cle 9625   -ucneg 9802   +ecxad 11312   [,]cicc 11528   expce 13652   Basecbs 14483   ↾s cress 14484   .rcmulr 14549   ↾t crest 14669   0gc0g 14688  ordTopcordt 14747   RR*scxrs 14748   Mndcmnd 15719   MndHom cmhm 15772  CMndccmn 16591  mulGrpcmgp 16928   Ringcrg 16983  ℂfldccnfld 18188  TopMndctmd 20301   logclog 22667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-fac 12316  df-bc 12343  df-hash 12368  df-shft 12857  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-limsup 13250  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-ef 13658  df-sin 13660  df-cos 13661  df-pi 13663  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-plusf 15726  df-mhm 15774  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mulg 15858  df-subg 15990  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-cring 16986  df-subrg 17207  df-abv 17246  df-lmod 17294  df-scaf 17295  df-sra 17598  df-rgmod 17599  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-ntr 19284  df-cls 19285  df-nei 19362  df-lp 19400  df-perf 19401  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-haus 19579  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-fil 20079  df-fm 20171  df-flim 20172  df-flf 20173  df-tmd 20303  df-tgp 20304  df-trg 20394  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-nm 20835  df-ngp 20836  df-nrg 20838  df-nlm 20839  df-cncf 21114  df-limc 22002  df-dv 22003  df-log 22669
This theorem is referenced by:  xrge0tmd  27561
  Copyright terms: Public domain W3C validator