Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifmhm Structured version   Unicode version

Theorem xrge0iifmhm 28374
Description: The defined function from the closed unit interval and the extended nonnegative reals is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x
) ) )
xrge0iifhmeo.k  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
Assertion
Ref Expression
xrge0iifmhm  |-  F  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  (
0 [,] 1 ) ) MndHom  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) )
Distinct variable group:    x, F
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem xrge0iifmhm
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) )
21iistmd 28337 . . . 4  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) )  e. TopMnd
3 tmdmnd 20866 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) )  e. TopMnd  ->  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) )  e. 
Mnd )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) )  e.  Mnd
5 xrge0cmn 18780 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
6 cmnmnd 17137 . . . 4  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd  ->  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )
75, 6ax-mp 5 . . 3  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd
84, 7pm3.2i 453 . 2  |-  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) )  e. 
Mnd  /\  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )
9 xrge0iifhmeo.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x
) ) )
109xrge0iifcnv 28368 . . . . 5  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  /\  `' F  =  ( y  e.  ( 0 [,] +oo )  |->  if ( y  = +oo ,  0 ,  ( exp `  -u y
) ) ) )
1110simpli 456 . . . 4  |-  F :
( 0 [,] 1
)
-1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )
12 f1of 5799 . . . 4  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] +oo ) )
1311, 12ax-mp 5 . . 3  |-  F :
( 0 [,] 1
) --> ( 0 [,] +oo )
14 xrge0iifhmeo.k . . . . 5  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
159, 14xrge0iifhom 28372 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  ( y  x.  z
) )  =  ( ( F `  y
) +e ( F `  z ) ) )
1615rgen2a 2831 . . 3  |-  A. y  e.  ( 0 [,] 1
) A. z  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  ( y  x.  z
) )  =  ( ( F `  y
) +e ( F `  z ) )
179, 14xrge0iif1 28373 . . 3  |-  ( F `
 1 )  =  0
1813, 16, 173pm3.2i 1175 . 2  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,] +oo )  /\  A. y  e.  ( 0 [,] 1 ) A. z  e.  ( 0 [,] 1 ) ( F `  ( y  x.  z ) )  =  ( ( F `
 y ) +e ( F `  z ) )  /\  ( F `  1 )  =  0 )
19 unitsscn 28331 . . . 4  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
20 eqid 2402 . . . . . 6  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
21 cnfldbas 18744 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2220, 21mgpbas 17467 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base `  (mulGrp ` fld ) )
231, 22ressbas2 14899 . . . 4  |-  ( ( 0 [,] 1 ) 
C_  CC  ->  ( 0 [,] 1 )  =  ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
2419, 23ax-mp 5 . . 3  |-  ( 0 [,] 1 )  =  ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) ) )
25 xrge0base 28125 . . 3  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
26 cnfldex 18743 . . . . 5  |-fld  e.  _V
27 ovex 6306 . . . . 5  |-  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V
28 eqid 2402 . . . . . 6  |-  (flds  ( 0 [,] 1 ) )  =  (flds  ( 0 [,] 1 ) )
2928, 20mgpress 17472 . . . . 5  |-  ( (fld  e. 
_V  /\  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V )  ->  (
(mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) )  =  (mulGrp `  (flds  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
3026, 27, 29mp2an 670 . . . 4  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) )  =  (mulGrp `  (flds  ( 0 [,] 1 ) ) )
31 cnfldmul 18746 . . . . . 6  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3228, 31ressmulr 14966 . . . . 5  |-  ( ( 0 [,] 1 )  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  (flds  (
0 [,] 1 ) ) ) )
3327, 32ax-mp 5 . . . 4  |-  x.  =  ( .r `  (flds  ( 0 [,] 1 ) ) )
3430, 33mgpplusg 17465 . . 3  |-  x.  =  ( +g  `  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) ) )
35 xrge0plusg 28127 . . 3  |-  +e 
=  ( +g  `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
36 cnring 18760 . . . 4  |-fld  e.  Ring
37 1elunit 11693 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
38 cnfld1 18763 . . . . 5  |-  1  =  ( 1r ` fld )
391, 21, 38ringidss 17545 . . . 4  |-  ( (fld  e. 
Ring  /\  ( 0 [,] 1 )  C_  CC  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  1  =  ( 0g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) ) ) )
4036, 19, 37, 39mp3an 1326 . . 3  |-  1  =  ( 0g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) ) )
41 xrge00 28126 . . 3  |-  0  =  ( 0g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
4224, 25, 34, 35, 40, 41ismhm 16292 . 2  |-  ( F  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1
) ) MndHom  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  <->  ( (
( (mulGrp ` fld )s  ( 0 [,] 1 ) )  e. 
Mnd  /\  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )  /\  ( F :
( 0 [,] 1
) --> ( 0 [,] +oo )  /\  A. y  e.  ( 0 [,] 1
) A. z  e.  ( 0 [,] 1
) ( F `  ( y  x.  z
) )  =  ( ( F `  y
) +e ( F `  z ) )  /\  ( F `
 1 )  =  0 ) ) )
438, 18, 42mpbir2an 921 1  |-  F  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  (
0 [,] 1 ) ) MndHom  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   ifcif 3885    |-> cmpt 4453   `'ccnv 4822   -->wf 5565   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   0cc0 9522   1c1 9523    x. cmul 9527   +oocpnf 9655    <_ cle 9659   -ucneg 9842   +ecxad 11369   [,]cicc 11585   expce 14006   Basecbs 14841   ↾s cress 14842   .rcmulr 14910   ↾t crest 15035   0gc0g 15054  ordTopcordt 15113   RR*scxrs 15114   Mndcmnd 16243   MndHom cmhm 16288  CMndccmn 17122  mulGrpcmgp 17461   Ringcrg 17518  ℂfldccnfld 18740  TopMndctmd 20861   logclog 23234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-plusf 16195  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-subrg 17747  df-abv 17786  df-lmod 17834  df-scaf 17835  df-sra 18138  df-rgmod 18139  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-tmd 20863  df-tgp 20864  df-trg 20954  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-nm 21395  df-ngp 21396  df-nrg 21398  df-nlm 21399  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563  df-log 23236
This theorem is referenced by:  xrge0tmd  28381
  Copyright terms: Public domain W3C validator