Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifhmeo Structured version   Unicode version

Theorem xrge0iifhmeo 26366
Description: Expose a homeomorphism from the closed unit interval and the extended nonnegative reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x
) ) )
xrge0iifhmeo.k  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
Assertion
Ref Expression
xrge0iifhmeo  |-  F  e.  ( II Homeo J )
Distinct variable group:    x, F
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem xrge0iifhmeo
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 15397 . . . . . 6  |-  <_  e.  TosetRel
2 tsrps 15391 . . . . . 6  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  <_  e.  PosetRel )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  <_  e.  PosetRel
43elexi 2982 . . . 4  |-  <_  e.  _V
54inex1 4433 . . 3  |-  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  e.  _V
6 cnvps 15382 . . . . . 6  |-  (  <_  e. 
PosetRel  ->  `'  <_  e.  PosetRel )
73, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  `'  <_  e.  PosetRel
87elexi 2982 . . . 4  |-  `'  <_  e. 
_V
98inex1 4433 . . 3  |-  ( `' 
<_  i^i  ( ( 0 [,] +oo )  X.  ( 0 [,] +oo ) ) )  e. 
_V
10 xrge0iifhmeo.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x
) ) )
1110xrge0iifiso 26365 . . . . . 6  |-  F  Isom  <  ,  `'  <  ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo ) )
12 iccssxr 11378 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR*
13 iccssxr 11378 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
14 gtiso 25996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 [,] 1
)  C_  RR*  /\  (
0 [,] +oo )  C_ 
RR* )  ->  ( F  Isom  <  ,  `'  <  ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo )
)  <->  F  Isom  <_  ,  `'  <_  ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo )
) ) )
1512, 13, 14mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( F 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  <-> 
F  Isom  <_  ,  `'  <_  ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo )
) )
1611, 15mpbi 208 . . . . 5  |-  F  Isom  <_  ,  `'  <_  ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo ) )
17 isores1 6025 . . . . 5  |-  ( F 
Isom  <_  ,  `'  <_  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  <-> 
F  Isom  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) ,  `'  <_  ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo )
) )
1816, 17mpbi 208 . . . 4  |-  F  Isom  (  <_  i^i  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) ) ,  `'  <_  (
( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )
19 isores2 6024 . . . 4  |-  ( F 
Isom  (  <_  i^i  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) ) ,  `'  <_  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  <-> 
F  Isom  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) ,  ( `'  <_  i^i  ( (
0 [,] +oo )  X.  ( 0 [,] +oo ) ) ) ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) ) )
2018, 19mpbi 208 . . 3  |-  F  Isom  (  <_  i^i  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) ) ,  ( `'  <_  i^i  ( ( 0 [,] +oo )  X.  (
0 [,] +oo )
) ) ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo ) )
21 ledm 15394 . . . . . . 7  |-  RR*  =  dom  <_
2221psssdm 15386 . . . . . 6  |-  ( (  <_  e.  PosetRel  /\  (
0 [,] 1 ) 
C_  RR* )  ->  dom  (  <_  i^i  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  =  ( 0 [,] 1 ) )
233, 12, 22mp2an 672 . . . . 5  |-  dom  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  =  ( 0 [,] 1
)
2423eqcomi 2447 . . . 4  |-  ( 0 [,] 1 )  =  dom  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
25 lern 15395 . . . . . . . 8  |-  RR*  =  ran  <_
26 df-rn 4851 . . . . . . . 8  |-  ran  <_  =  dom  `'  <_
2725, 26eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  RR*  =  dom  `'  <_
2827psssdm 15386 . . . . . 6  |-  ( ( `'  <_  e.  PosetRel  /\  (
0 [,] +oo )  C_ 
RR* )  ->  dom  ( `'  <_  i^i  (
( 0 [,] +oo )  X.  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( 0 [,] +oo ) )
297, 13, 28mp2an 672 . . . . 5  |-  dom  ( `'  <_  i^i  ( (
0 [,] +oo )  X.  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( 0 [,] +oo )
3029eqcomi 2447 . . . 4  |-  ( 0 [,] +oo )  =  dom  ( `'  <_  i^i  ( ( 0 [,] +oo )  X.  (
0 [,] +oo )
) )
3124, 30ordthmeo 19375 . . 3  |-  ( ( (  <_  i^i  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  e.  _V  /\  ( `'  <_  i^i  (
( 0 [,] +oo )  X.  ( 0 [,] +oo ) ) )  e. 
_V  /\  F  Isom  (  <_  i^i  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) ) ,  ( `'  <_  i^i  ( ( 0 [,] +oo )  X.  (
0 [,] +oo )
) ) ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo ) ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  (  <_  i^i  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) ) ) Homeo (ordTop `  ( `'  <_  i^i  (
( 0 [,] +oo )  X.  ( 0 [,] +oo ) ) ) ) ) )
325, 9, 20, 31mp3an 1314 . 2  |-  F  e.  ( (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
Homeo (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( ( 0 [,] +oo )  X.  ( 0 [,] +oo ) ) ) ) )
33 dfii5 20461 . . 3  |-  II  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) )
34 xrge0iifhmeo.k . . . 4  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
35 iccss2 11366 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( x [,] y )  C_  (
0 [,] +oo )
)
3613, 35cnvordtrestixx 26343 . . . 4  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  =  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( ( 0 [,] +oo )  X.  (
0 [,] +oo )
) ) )
3734, 36eqtri 2463 . . 3  |-  J  =  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( ( 0 [,] +oo )  X.  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
3833, 37oveq12i 6103 . 2  |-  ( II
Homeo J )  =  ( (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) ) Homeo (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( ( 0 [,] +oo )  X.  (
0 [,] +oo )
) ) ) )
3932, 38eleqtrri 2516 1  |-  F  e.  ( II Homeo J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972    i^i cin 3327    C_ wss 3328   ifcif 3791    e. cmpt 4350    X. cxp 4838   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841   ` cfv 5418    Isom wiso 5419  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419   -ucneg 9596   [,]cicc 11303   ↾t crest 14359  ordTopcordt 14437   PosetRelcps 15368    TosetRel ctsr 15369   Homeochmeo 19326   IIcii 20451   logclog 22006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-pi 13358  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-ordt 14439  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-ps 15370  df-tsr 15371  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-ii 20453  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-log 22008
This theorem is referenced by:  xrge0pluscn  26370  xrge0tmd  26376
  Copyright terms: Public domain W3C validator