Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifhmeo Structured version   Unicode version

Theorem xrge0iifhmeo 28735
Description: Expose a homeomorphism from the closed unit interval and the extended nonnegative reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x
) ) )
xrge0iifhmeo.k  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
Assertion
Ref Expression
xrge0iifhmeo  |-  F  e.  ( II Homeo J )
Distinct variable group:    x, F
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem xrge0iifhmeo
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 16458 . . . . . 6  |-  <_  e.  TosetRel
2 tsrps 16452 . . . . . 6  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  <_  e.  PosetRel )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  <_  e.  PosetRel
43elexi 3091 . . . 4  |-  <_  e.  _V
54inex1 4561 . . 3  |-  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )  e.  _V
6 cnvps 16443 . . . . . 6  |-  (  <_  e. 
PosetRel  ->  `'  <_  e.  PosetRel )
73, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  `'  <_  e.  PosetRel
87elexi 3091 . . . 4  |-  `'  <_  e. 
_V
98inex1 4561 . . 3  |-  ( `' 
<_  i^i  ( ( 0 [,] +oo )  X.  ( 0 [,] +oo ) ) )  e. 
_V
10 xrge0iifhmeo.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  0 , +oo ,  -u ( log `  x
) ) )
1110xrge0iifiso 28734 . . . . . 6  |-  F  Isom  <  ,  `'  <  ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo ) )
12 iccssxr 11717 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR*
13 iccssxr 11717 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
14 gtiso 28268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 [,] 1
)  C_  RR*  /\  (
0 [,] +oo )  C_ 
RR* )  ->  ( F  Isom  <  ,  `'  <  ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo )
)  <->  F  Isom  <_  ,  `'  <_  ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo )
) ) )
1512, 13, 14mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( F 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  <-> 
F  Isom  <_  ,  `'  <_  ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo )
) )
1611, 15mpbi 211 . . . . 5  |-  F  Isom  <_  ,  `'  <_  ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo ) )
17 isores1 6236 . . . . 5  |-  ( F 
Isom  <_  ,  `'  <_  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  <-> 
F  Isom  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) ,  `'  <_  ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo )
) )
1816, 17mpbi 211 . . . 4  |-  F  Isom  (  <_  i^i  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) ) ,  `'  <_  (
( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )
19 isores2 6235 . . . 4  |-  ( F 
Isom  (  <_  i^i  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) ) ,  `'  <_  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) )  <-> 
F  Isom  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) ,  ( `'  <_  i^i  ( (
0 [,] +oo )  X.  ( 0 [,] +oo ) ) ) ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,] +oo ) ) )
2018, 19mpbi 211 . . 3  |-  F  Isom  (  <_  i^i  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) ) ,  ( `'  <_  i^i  ( ( 0 [,] +oo )  X.  (
0 [,] +oo )
) ) ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo ) )
21 ledm 16455 . . . . . . 7  |-  RR*  =  dom  <_
2221psssdm 16447 . . . . . 6  |-  ( (  <_  e.  PosetRel  /\  (
0 [,] 1 ) 
C_  RR* )  ->  dom  (  <_  i^i  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  =  ( 0 [,] 1 ) )
233, 12, 22mp2an 676 . . . . 5  |-  dom  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) )  =  ( 0 [,] 1
)
2423eqcomi 2435 . . . 4  |-  ( 0 [,] 1 )  =  dom  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) )
25 lern 16456 . . . . . . . 8  |-  RR*  =  ran  <_
26 df-rn 4860 . . . . . . . 8  |-  ran  <_  =  dom  `'  <_
2725, 26eqtri 2451 . . . . . . 7  |-  RR*  =  dom  `'  <_
2827psssdm 16447 . . . . . 6  |-  ( ( `'  <_  e.  PosetRel  /\  (
0 [,] +oo )  C_ 
RR* )  ->  dom  ( `'  <_  i^i  (
( 0 [,] +oo )  X.  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( 0 [,] +oo ) )
297, 13, 28mp2an 676 . . . . 5  |-  dom  ( `'  <_  i^i  ( (
0 [,] +oo )  X.  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( 0 [,] +oo )
3029eqcomi 2435 . . . 4  |-  ( 0 [,] +oo )  =  dom  ( `'  <_  i^i  ( ( 0 [,] +oo )  X.  (
0 [,] +oo )
) )
3124, 30ordthmeo 20801 . . 3  |-  ( ( (  <_  i^i  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )  e.  _V  /\  ( `'  <_  i^i  (
( 0 [,] +oo )  X.  ( 0 [,] +oo ) ) )  e. 
_V  /\  F  Isom  (  <_  i^i  ( (
0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) ) ,  ( `'  <_  i^i  ( ( 0 [,] +oo )  X.  (
0 [,] +oo )
) ) ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,] +oo ) ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  (  <_  i^i  (
( 0 [,] 1
)  X.  ( 0 [,] 1 ) ) ) ) Homeo (ordTop `  ( `'  <_  i^i  (
( 0 [,] +oo )  X.  ( 0 [,] +oo ) ) ) ) ) )
325, 9, 20, 31mp3an 1360 . 2  |-  F  e.  ( (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
Homeo (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( ( 0 [,] +oo )  X.  ( 0 [,] +oo ) ) ) ) )
33 dfii5 21901 . . 3  |-  II  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) )
34 xrge0iifhmeo.k . . . 4  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
35 iccss2 11705 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( x [,] y )  C_  (
0 [,] +oo )
)
3613, 35cnvordtrestixx 28712 . . . 4  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  =  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( ( 0 [,] +oo )  X.  (
0 [,] +oo )
) ) )
3734, 36eqtri 2451 . . 3  |-  J  =  (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( ( 0 [,] +oo )  X.  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
3833, 37oveq12i 6313 . 2  |-  ( II
Homeo J )  =  ( (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( 0 [,] 1 )  X.  (
0 [,] 1 ) ) ) ) Homeo (ordTop `  ( `'  <_  i^i  ( ( 0 [,] +oo )  X.  (
0 [,] +oo )
) ) ) )
3932, 38eleqtrri 2509 1  |-  F  e.  ( II Homeo J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ifcif 3909    |-> cmpt 4479    X. cxp 4847   `'ccnv 4848   dom cdm 4849   ran crn 4850   ` cfv 5597    Isom wiso 5598  (class class class)co 6301   0cc0 9539   1c1 9540   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   -ucneg 9861   [,]cicc 11638   ↾t crest 15304  ordTopcordt 15382   PosetRelcps 16429    TosetRel ctsr 16430   Homeochmeo 20752   IIcii 21891   logclog 23488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13116  df-cj 13148  df-re 13149  df-im 13150  df-sqrt 13284  df-abs 13285  df-limsup 13511  df-clim 13537  df-rlim 13538  df-sum 13738  df-ef 14106  df-sin 14108  df-cos 14109  df-pi 14111  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-starv 15190  df-sca 15191  df-vsca 15192  df-ip 15193  df-tset 15194  df-ple 15195  df-ds 15197  df-unif 15198  df-hom 15199  df-cco 15200  df-rest 15306  df-topn 15307  df-0g 15325  df-gsum 15326  df-topgen 15327  df-pt 15328  df-prds 15331  df-ordt 15384  df-xrs 15385  df-qtop 15391  df-imas 15392  df-xps 15395  df-mre 15477  df-mrc 15478  df-acs 15480  df-ps 16431  df-tsr 16432  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-submnd 16568  df-mulg 16661  df-cntz 16956  df-cmn 17417  df-psmet 18947  df-xmet 18948  df-met 18949  df-bl 18950  df-mopn 18951  df-fbas 18952  df-fg 18953  df-cnfld 18956  df-top 19905  df-bases 19906  df-topon 19907  df-topsp 19908  df-cld 20018  df-ntr 20019  df-cls 20020  df-nei 20098  df-lp 20136  df-perf 20137  df-cn 20227  df-cnp 20228  df-haus 20315  df-tx 20561  df-hmeo 20754  df-fil 20845  df-fm 20937  df-flim 20938  df-flf 20939  df-xms 21319  df-ms 21320  df-tms 21321  df-ii 21893  df-cncf 21894  df-limc 22805  df-dv 22806  df-log 23490
This theorem is referenced by:  xrge0pluscn  28739  xrge0tmd  28745
  Copyright terms: Public domain W3C validator